高等数学之对坐标的曲线积分

第二节对坐标的曲线积分一

对坐标的曲线积分的概念与性质1.变力沿曲线所作的功设一个质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B.在移动过程中,这质点受到力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用,其中函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续,要计算在上述移动过程中变力F(x,y)所作的功.力F作的功W等于两个向量F和AB的数量积我们知道,如果力F是常力,且质点沿直线从A到B点，则常现在是一个变力,力在变化,方向也在变化，要解决这种变力使物体做曲线运动时所做的功，我们按定积分的思路和方法做.

可看成直线段,即质点沿小弧段的运动可为沿直线段的运动.上可视为常数.力在小弧段所作的功为(1)分割从A到B将曲线分成n个小弧段.由于每个小弧段很小,(2)取近似由于F的变化的连续性,及直线段很小,F在小弧段xyABMi-1MiF(ξ,η)再设点Mi的坐标为(xi,yi)(i=1,2...n),记是F(x,y)在x轴和y轴上的投影.设F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P(x,y)和Q(x,y)在x轴,y轴上的投影为则(3)求和(4)取极限令这就是变力沿曲线所做的功.现在我们抽去问题的物理意义,于是则得到下面的定义:在L上有界,按L的方向顺序用分点把L分成n个小弧段(i=1,2...n)，小弧段在x,y轴上的取任意点定义:设L是从点A到B的一条有向光滑曲线,函数P(x,y)和Q(x,y)坐标增量记为对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分.记作若和式值为函数P(x,y)，Q(x,y)沿曲线L从A到B的对坐标的曲线积分.当各小弧段长度的最大值时极限总存在，则称此极限当Q=0时,为P(x,y)对坐标x的曲线积分；当P=0时,为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.上述定义可推广到空间曲线Γ的情况：

按定义,变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j沿曲线L从A到B对质点做的功,可表示为曲线积分性质1性质2若光滑曲线L=L1+L2，则性质3设L是有向曲线，L--是与L方向相反的有向曲线，则性质4说明,对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关，性质4这是区别对弧长的曲线积分的重要特征.二对坐标的曲线积分的计算方法定理设P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为当参数t单调地由α变到β时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,φ(t)和ψ(t)在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且则曲线积分存在，且根据对坐标的曲线积分的定义，有它们对应于一列单调变化的参数值在L上取一点列证

之间.与在其中即对应于参数值设点

应用微分中值定理，有由于之间，于是与在其中)上的一致连续性,可将上式(或在利用从而换成中的点连续，这个定积分存在，因此由于函数上式右端的和的极限就是定积分存在，并且有同理可证：(1)式推广到空间曲线,得到如下公式：P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在空间曲线上的连续函数.,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点B(1,1)的一段弧.解法一：把x作为参数,利用对x的定积分来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数可用积分路线的方程来处理.A(1,-1)B(1,1)xyo例1计算解法二：把y作为参数,利用对y的定积分来计算,x=y2,dx=2ydy，y:-1→1，则注意:对弧长的曲线积分的上限必须大于下限.对坐标的曲线积分的上,下限是按积分的起点为下限,而积分的终点为上限的.不管对弧长或对坐标的曲线积分,都应该把积分曲线方程代入被积函数中计算.例2计算其中C是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.解:直线段AB的方程是化为参数方程得到x=3t，y=2t，z=t，t从1变到0，所以例3计算其中L为xA(a,0)B(-a,0)y(1)半径为a，圆心为原点，按逆时针方向绕行的上半圆周；(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段.解:(1)L是参数方程为x=acosθ,y=asinθ参数θ从0到π的曲线弧(按逆时针方向)，故注意：θ从0到π是按逆时针方向.由于曲线积分的被积函数和积分路线有关，所以尽管被积函数相同，积分的起点和终点也相同，但积分路径不同，得到的值也不同.(2)L的方程为y=0，x从a变到-a，所以例4计算其中C为(1)抛物线y=x2上从(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线x=y2上从(0,0)到B(1,1)的一段弧；(3)有向折线OAB，这里O，A，B的坐标为(0,0)，(1,0)，(1,1)x=y2y=x2B(1,1)A(1,0)xy解:(1)化为对x的定积分，C：y=x2，x从0变到1，所以(3)在OA上，y=0，x从0变到1，故(2)化为对y的定积分，C：x=y2，y从0变到1，所以从例4中可以看出，虽然积分路线不同，曲线积分的值可能相等.在AB上，x=1，dx=0，y从0到1，所以三两类曲线积分之间的联系设有向曲线弧L的参数方程为L的起点A、终点B分别对应参数，在以为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且P(x,y)，Q(x,y)在L上连续.根据对坐标的曲面积分公式有

，其方向余弦为