2020届高考数学专题十等差数列与等比数列精准培优专练理

72n72n培点

等数与比列一等、比列基运例1：等比数列

{}n

的前n

项和为

Sn

，已知

a25

，且

4

与

a

7

的等差中项为

54

，则

S5

等于（）A．

B．

C．

D．36【答案】【解析】由

a2

，得

4

．又

a47

51，所以，以q2

，所以

1

，所以

S5

51

31

，故选B．例2：

{}n

是公差不为0的等数列，满足a24

5

6

27

，则该数列的前1

项和

S10

等于（）A．

B．

C．0

D．【答案】【解析】由题意，得

2

，即

(a)aa)4765

，即

(a))4

，又因为，以4

，则该数列的前0

项和

10

a)110)6

．故选C．例3：已知递增数列

{}n

对任意

nN*

均满足aNn

*

，

an

，记

(nN

*

)

，则数列

{}n

的前

项和等于（）A．

n

B．

n

C．

n

D．

n1

【答案】【解析】因为

an，所以a1

，若

，么1a

矛盾；若

，么1

成立；若

1

，那么

a3

矛盾，，21

an

，又有

aa

，333n

，于是得到n

2

3

2

n

，即

bb

，数列

{}首项为，比为3n

的等比数列，所以前n项和为

n3(13)n112

，故选D．二等、比列性及用例4：已知数列

{}{}满足bloga，*，中n

{}n

是等差数列，且

a8

2008

14

，则

122015

等于（）A．

log2

B．2015

C．

D．1008【答案】2

2*))2*))【解析】∵数列

{}n

，

{}n

满足

logan2n

，

n*

，其中

{}n

是等差数列，∴数列

{}n

是等比数列，由

a8

2008

14

，可得

a1008

14

，即

a1008

12

，∴

aa12015

2

1007

1009

21008

14

，∴

b132015

212015

1()2

2015

．例5：各项均为正数的等比数列

{}n

的前项和为S，10，则等（）n4128A．

B．

C．40

或

D．

或【答案】【解析】∵数列

{}n

为等比数列且数列

{}前项和为，nn∴

S4

，

S8

4

，

S128

也构成等比数列，∴)2(S)448

，∵

S10，S412

，各项均为正数的等比数列

{}n

，∴(S8

2

)∴8

．故选B．例6：等比数列

{}n

3的首项为，比为，项为S，则当时22

1

的最大值与最小值之和为（）A．

23

B．

712

C．

14

D．

56【答案】【解析】依题意得，

n

1)n212

n

．3

n1n2n1n2当

为奇数时n

12

随着

13的增大而减小2n2

1随S的大而增大，150

；当n

为偶数时，

Sn

31随着n的大而增大，4n

，

1

随着

Sn

的增大而增大，

712S

．因此S

S

577的最大值与最小值分别为、，最大值与最小值之和为6126

，故选C．三等、比列综问例7：已知等差数列

{}n

的公差为且212

．（1求数列

{}n

的通项公式

与前项n

Sn

；（2将数列{}n

的前4

项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数{}n

的前3

项，记{}n

的前项为T，存在mn

*

，使对任意

*

，总有

Snm

恒成立，求实数的值范围．【答案）

，nn

(9)

）(2,【解析）由

得a∴427121

，∴

，从而Snn

n)2

．（2由题意知

，2，12

，设等比数列

{}n

b1的公比为q，2b2

，4

1)11)1**∴Tm

11)

m

m，)随m增加而递减，∴

数列，得

．又

n)1981(n)(n)22224

，(S)故，nmax4若存在，对任意nN总有nm

，则10

，得

，即实数的值范围为四数与他识交例8：已知等差数{a}n

的

项和为

Sn

，若

BOA1

OC

，且A

，B

，

三点共(该直线不过S点)，则A．

2016

等于（）B．

C．

D．【答案】【解析】∵

，B

、C

三点共线∴

AB

AC

，∴OA

(OCOA)

，OB

，又∵OBOA2016

，∴

1

，

2016

，∴

12016

，∴

2016

2016(a)110082

，∴故选B．5

111201111201对增集一、选择题1．设等差数列

{}前n项和，若4，，则a等（）n1520A．【答案】【解析】等差数列

B．6{}前n项和为S，n

C．

D．∵

4，S3

，

dd60

，解得

a1

12

，

d

12

，∴

11ad1022

．故选C．2．等比数列

{}，，，则数列{lg}的前1项等于（）n4nA．2

B．

C．10

D．5【答案】【解析】∵等比数列

{}，，a，aaan471047

，∴数列

{a}n

的前

项和lglga110

a510

，故选D．3．在正项等比数列

{}n

中，已知

35

，则

1

的最小值为（）6

99A．64

B．32

C．16

D．【答案】【解析】在正项等比数列

{}中，∵aa，a64n331

，∴a216117的最小值为1，选C．∴17

，当且仅当

a17

时取等号，4．在等比数列

{}n

中

3

，

15

是方程

x

x

的两根，则

a17a

的值为（）A．

3

B．

C．

2

D．【答案】【解析】∵

3

，

15

是方程

x

的两根，∴

315

，

315

，∵

{}n

为等比数列，又

3

，

9

，

15

同号，∴

9

，∴a9

，3∴

aa2117a9

．故选A．5．一个等比数列的前三项的积2

，最后三项的积为4

，且所有项的积为64

，则该数列的项数是（）A．

B．12

C．11

D．10【答案】【解析】设等比数列为

{}其前项积为，已知得nn

aa，aa13nn

，可得(a)31n

，

a1n

，∵

an1

，T2n

a2

)

a)(2n

)()a)11

64

，∴

．6．若

{}n

是等差数列，首项

01

，

2016

2017

，

2016

2017

，使前n项和

n

成立的最大7

正整数

是（）A．

B．2017

C．4032

D．【答案】【解析】因为

01

，

2016

2017

，

2016

2017

，所以0，

2016

，

2017

0

，所以

4032

)4032()1403220162017

，

4033

4033(a)12017

，所以使前项n

成立的最大正整数是，选．7．数列

{}n

中，若

1

，且对任意正整数，k

，总有

m

，则

{}的前n项n

Sn

等于（）A．

nn

B．

nn2

C．

n(

D．

n2【答案】【解析】依题意得

n

n1

，即有

n

n1

，所以数列

{}n

是以

为首项，2

为公差的等差数列，2n2nn

，

nn)2

(n

，故选C．8．记S为正项等比列n

{}n

的前n

项和，若

S3SS3

，且正整数，n满足m

2a3

，则

mn

的最小值是（）8

A．

157

B．

95

C．

53

D．

75【答案】【解析】∵

{}n

是等比数列，设

{}n

S的公比为q，∴1266，3

，∴

6

3

，解得(负舍去)．又aa12

5

，∴a31

m

a21

4

)

3

1

，∴mn

，∴

18118()(mn)m15n

17

2m2817m15

，当且仅当

28n

，即

，6

时等号成立，∴

18的最小值是，选C．39列

{}n

是以

为首项

为公比的等比数列列

{}n

满足

n2

(nn

2

，

)

，数列

{}满足c2nn

(，，n

)

，若

{n

}

为等比数列，则a等（）A．

B．3

C．

D．【答案】【解析】由题意知，当

时，

{}n

不是等比数列，所以

b

．由aab

，则

n

)a

，得

n

ab(1n1abn1(11(1

2

，要使

{}n

2(1为等比数列，必有1

，得

，a3

，故选B．9

2210．我国古代著名的数学专著九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．

日

B．

日C．12

日D．

日【答案】【解析】由题可知，良马每日行程

n

构成一个首项为

，公差3

的等差数列，驽马每日行程

n

构成一个首项为97

，公差为

的等差数列，则

103n90n

，

970.5(n97.5nn

，则数列

{}n

与数列

{}n

的前n

项和为12250

，又∵数列

{}n

的前n

项和为

n2

(103n90)

，数列

{}n

的前

项和为

97.50.5n

，n(10390)(970.5n2

，整理得

25n9000，n

，解得：n9或n

(舍)，即九日相逢．故选B．11．在由正数组成的等比数列{a}中，若an34

，则

sin(logalog313

a)37

的值为（）A．

B．

C．1

D．

【答案】【解析】因为aa345

34

，所以

π4

，10

n2n2即

loglog(aa31332

)loglog373

π3

，所以a)1323二、填空题

32

．12．数列

{}n

的通项

a·(cos2n

3

sin

2

3

)

，其前

项和为

Sn

，则

S30

________．【答案】【解析】由题意可知，

an

2

23

，若n3k

，则

)

2

k

(N*)

；若k，a(3n

2

2k

(N

*

)

；若nk

，则)2(kN*)

，∴

a3

3

5k，*3k

，∴

5902

．13．已知数列

{}n

满足

1

，且

(

，

*)

，则

n

________．【答案】

an

n2n

(*)【解析】由

a

2n1n，，是(aaann

，

*)

．11

为首项，**min为首项，**min11又，数{an

1是以为首项，为比的等比数列，2故

n1an

，∴

an

n2

(

*

)

．14．数列

{a}kn

是首项为

，公差为

的等差数列，其中

，且k

．设

calgann

，若

{}n

中的每一项恒小于它后面的项，则实数k

的取值范围________．【答案】(0,

)(1,【解析】由题意得

logankn

，则

，∴

k2(nk2n

2

，即数列

{}n

是以

k

2

为公比的等比数列，clg2)

lgk

，要使

cn

对一切

n*

恒成立，即

(nnk

2

k对切恒立；当k

时，

k，

2

对一切nN恒立；当

时，

k

，

nk

2

对一切

n*

恒成立，只需

k2

nn

)

min

．∵

nn

单调递增，∴当

n时，取得最小值，即n

(

n)n

，∴

k

，且0

，∴

0

63

．综上，

k(0,

)(1,

．15．艾萨克·牛顿(1643年1月-1727年31日英国皇家学会会长，英国著名物理学家，时在数12

f'(x)nf'(x)n学上也有多杰出贡献牛顿用“作切线”的法求函数

fx

的零点时给出个数列

{}n

满足f(x)xxn

，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数

f(

2

(a

有两个零点，2，数列

{}n

为牛顿数列，设ln

xx

，已知

，，{}1nn

的通项公式．n【答案】【解析】∵函数

f((a0)

有两个零点1

，

，∴

，解得ab

，∴

f()

2

，fa

．则

xxn

axax2xnnnaxa2xnn

，∴

x2nxxx2(2xxnnn)xxxxnn2n

2

，则数列是2为比的等比数列，n又∵

1

，∴数列

{}n

是以

为首项，以2

为公比的等比数列，则a

．三、解答题16．已知数列

{}n

的前

项和为

Sn

，且(n

*

)

．（1求

1

，

2

，

3

的值；（2是否存在常数使数

{n

}

为等比数列？若存在，求出值和通项公式a；若不存在，n请说明理由．13

nnn3nnn3【答案）

1

，

2

，

213

）在，

，3(2n*)n

．【解析）当

时，由

1

，得

1

；当n

时，由

S22

，可得

2

；当n

时，由

233

，得

213

．（2令(a2

2

a13

2

，解得由

及nn

n

2an

n

，两式相减，得

n

2n

．由以上结论得

n

nn

，所以数列

{n

是首项为6

，公比为2

的等比数列，因此存在

，使得数列

{n

为等比数列，所以an1

n

，an*)n

．17．已知数列

{}前n项和为S，S3(ann

*

)

．（1求数列

{}n

的通项公式；（2设数列

{}足nn

3)2

a

，若

n

对于任意正整数n都立，求实数的