2020北京101中学高二(上)期末数学

学习是一件很有意思的事2020京101中学高二（上）期末数

学一、单项选择题：认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。共8小每小题5分共40分.1．（5分）复数＝，则|＝（）A．1B．2CD．2．（5分）设a、分是ABC中A、B、∠所对边的长，则直线xsin+ayc＝0与﹣sin+sin＝0的位置关系是（）A．垂直C．重合3．（5分）已知下列三个命题

B．平行D．相交但不垂直①若复数z，的相等，则z，是轭复数②，都复，若z+是虚，则z不是z的轭复数③复数z是实的充要条件是＝则其中正确命题的个数为（）A．0个4．（5分）椭圆

B．1个C．2个D．3+＝1长轴为，轴为BB，坐标平面沿y轴折成一个锐二面角，使点A在面BAB上射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二角的大小为（）AB．45°

C

D．arctan25．（5分）已知两圆：（x﹣4）+＝169，：（x+4）+，动圆在圆部且和圆相切，和圆C相外切，则动圆圆心M的轨迹方程（）A．﹣＝1B+＝1C．﹣＝1

D．+6．（5分）已知F是物线焦点A，是抛物线上的点，|AFBF＝3则线段的点到y轴的距离为（）A．BC

D．1/

学习是一件很有意思的事7．（5分）正四棱锥﹣ABCD底面边长为2，为1，是BC的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持A．

，则动点P的轨的周长为（）B．C．D．8．（5分）设点P为曲线＝1（＞0，＞0）右支上的动点，过点P向条渐近线作垂线，垂足分别为A，，若点始在第一、第象限内，则双曲线离心率的值范围是（）A．（1，]B．（1，C．[，+）D．[，+）二、填空题共6小题小题5分30分9．（5分）若抛物线＝2的焦点与双曲线﹣＝1的右焦点重合，则p的为．10．（5分）已知空间四边形的条边和对角线的长都等于2点分是边，的中点则值为．11．（5分）已知（﹣1，0，B（1，0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足N，若λ≠0时动点的迹可以是（把所有可能的序号都写上）①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线

•

的，当12．（5分）过点l的方为．

的直线l与：（x﹣1）+＝4交于、两，圆心，当∠ACB小时，直线13．（5分）斜率为1的直线l与椭圆+

＝1相于A，两点，||得最大值为．14．（5分）如图，正方体﹣ABCD的长2点在方形ABCD的边界及其内部运动．面区域W由所有满足≤||

的点成，则的积是；面体PA的体积的最大值是．三、解答共5小共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证男过程15．（8分）已知复数满||（1）求复数；

，的部大于，

的虚部为2；2/

学习是一件很有意思的事（2）设复数，﹣

之在复平面上对应的点分别为，，，求（

+）

的值．16．（8分）如图在中∠AOB＝90°，AO＝2，OB＝1△AOC可通eq\o\ac(△,过)AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥，点D为边的点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线OB平面COD成角的正弦值．17．（12分）已知三棱锥P﹣ABC如图1的平面展开图（如图2）中，四边形为长为ABE和均为正三角形，在三棱锥﹣中：（Ⅰ）证明：平面PAC⊥面；（Ⅱ）求二面角A﹣﹣的弦值；（Ⅲ）若点M在棱上，满足，，点在BP上，且⊥，

的正方形，△的取值范围．3/

学习是一件很有意思的事18．（10分）如图，在平面直角标系xOy中，知直线：﹣﹣2，抛物线：（1）若直线过物线的点，求抛物线C的程；（2）已知抛物线C上在关于直线l对称的相异两点和Q①求证：线段的中点坐标为2﹣，）；②求p的取值范围．

＝2（＞0．19．（12分）一种画椭圆的工具图1所示是滑槽AB的中点，短杆ON可绕转，长杆MN通处链与ON连接，上栓子可滑槽滑动，且DN＝＝1MN＝3，当栓子在槽AB内往复运动时，带动N绕动处笔尖画出的椭圆记为，以O为原，所在的直线为x轴立图2所的面直角坐标系．（1）求椭圆的程；（2）设动直线l与定直线l：﹣2＝0和l：+2＝0别交于P，两．若直线l总椭圆C有且有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．4/

学习是一件很有意思的事2020京101中学高二（上）期末数学参考答案一、选择题共8小题小题5分40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项1．【分析】利用复数的运算法即可得出．【解答】解：∵

＝＝＝i，∴||＝1故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．【分析】先由直线方程求出直线的斜率，再利用正弦定理化简斜率之积等于1，两直线直．【解答】解：两直线的斜率分别为

和，△中由正弦定理得＝2，三角形的外接圆半径，∴斜率之积等于

，故两直线垂直，故选：．【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率，正弦定理得应用，两直线垂直的条件．3．【分析】①举反例，例如z＝1+，＝﹣；②利用逆否命题与原命题同真同假来判断；③分别阐述充分性和必要性即可．【解答】解：①z，＝﹣1﹣的相等，但不是共轭复数，即①错误②其逆否命题为“若的轭复数，则z+z不是虚数”，显然该命题是真命题，即②正确③充分性：若z是实数，不妨设＝a，则，以＝，是充分条件；必要性：若＝，复数z的虚一定为0，以复数是实数，是必要条件，即③正确．故选：．【点评】本题考查的是复数的概念，正确理解共轭复数是解决本题的关键，属于基础题．4．【分析】由已知中椭圆

的长轴为AA短轴为，坐标平面沿y轴折一个二面角使点A在平面BA上射影恰是该椭圆一个焦点，我们可以画出满足条件的图象，利用图象的直观性，分析出FOA即为所求二面角的平面角，解三角形可求出二面角的大小．5/

学习是一件很有意思的事【解答】解：由题意画出满足条件的图象如下图所示：由图可得∠即所求二面角的平面角∵椭圆的标准方程为则OA＝2，＝

，∴cos∠＝

＝∴∠FOA＝30°故选：．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中根据已知条件画出满足条件的图象，合图象分析出满足条件的二面角的平面角是解答本题的关键．5．【分析】根据两圆外切和内的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为，消去，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程．【解答】解：设动圆圆心Mx，），半径为r，∵圆M与圆C：﹣4+＝169内，与圆C：x+4）+＝9切，∴|MC|＝13﹣，||＝r，∴|MC|+||＝16＞8由椭圆的定义，的迹为以C，为点的椭，可得a＝8，＝4则b

＝﹣

＝48；∴动圆圆心M的轨方程：

+＝1故选：．【点评】考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，要注意椭圆方程中三个参数关系＝a

﹣，属中档题．

6/

学习是一件很有意思的事6．【分析】根据抛物线的方程出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，的点横坐标，即可得到线段AB的点到轴距离．【解答】解：由于F是物线y＝的点则F（，0），准线方程x＝﹣，设A（，），（，）∴|AF|+||＝x+++＝3解得x+x＝，∴线段AB的中点横坐标为．∴线段AB的中点到y轴距离为．故选：．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．7．【分析】根据题意可知点P的轨为三角形EFG，其中、为点，根据中位线定理求出、GEGF，从而求出轨迹的周长．【解答】解：由题意知：点P的轨迹为如图所示三角形EFG，中G、F为中点，∴＝∵＝∴＝＝

＝＝

，＝∴轨迹的周长为故选：．【点评】本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，算推理能力，属于中档题．7/

学习是一件很有意思的事8．【分析】求出双曲线的渐近方程，由题意可得渐近线y＝的斜角不大于45°即有斜率大小于等于，即为≤1，运用离心率公式和双线的离心率范围，即可得到所求范围．【解答】解：双曲线＝1＞0b）渐近线方程为y＝±x，由题意，，始在第一或第四象限内，则有渐近线＝的斜角不大于45°，有斜率小于等于1，即为≤1双曲线离心率e＝＝＝＝≤，又e＞1，即有e的围为（，

]．故选：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用和离心率的求法，查运算能力，属于中档题．二、填空题共6小题小题5分30分9．【分析】先根据双曲线的方求得其右焦点的坐标，进而根据抛物线的性质求得q．【解答】解：双曲线

的a＝，＝∴＝＝3∴右焦点（3，0∴抛物线的点3，0），∴

．故答案为：【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．考查了考生对双曲线和抛物线简单性质的应用．10．【分析】由题意可得，•＝•，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．8/

【解答】解：由题意可得，•＝＝1，

学习是一件很有意思的事•＝×＝故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，于中档题．11．【分析】利用，可得轨迹方程，利用≠0，可得动点的迹【解答】解：设（，）则N（，0因为

，所以y＝（+1）（1﹣）即λ+＝λ，当λ＜0时，是双曲线的轨迹方．当λ＝1时，是圆的轨迹方程；当λ＞0且λ时是椭圆的轨迹方程；故答案为：①②③【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分析问题解决问题的力以及计算能力12．【分析】研究知点

在圆内，过它的直线与圆交于两点A，，当ACB小时，直线l与垂直，故先求直线的率，再根据要条件求出直线l的率，由点斜式写出其方程．【解答】解：验证知点

在圆内，当∠最小时，直线l与CM垂直由圆的方程，圆心C（1）∵＝＝﹣2，∴＝∴：﹣1（﹣）整理得2﹣4+3＝0故应填2﹣4+3＝09/

学习是一件很有意思的事【点评】本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为1，以及用点斜式写直线的方程．13．【分析】设出直线的方程，入椭圆方程中消去y，根据判式大于0求得范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得AB|的最大值．【解答】解：设直线l的程为＝x+，入椭圆

+＝1去得x+2+﹣1＝0由题意得△＝（2）﹣5（﹣1＞0即＜5．弦长|AB|＝4×≤．＝0时取最大值．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用达定理，判别式找到解决问题的突破口．14．【分析】由已知可得平面区W是为心，以1和

为半径的圆环，由圆的面积公求得W的积由题意可得，当P在边上时，四面体﹣的体积有最大值，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：连接AP，则AA，∵A＝2，由≤||≤≤，以A为圆，以1和

为半径作圆交正方形ABCD得圆，∴的面积是＝；由题意可知，当P在边上时，四面体﹣BC体积的最大值是．故答案为：，．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答共5小共知分，解答应写文字说男、演算步骤成证男过程15．【分析】（1）设复数zx+，、∈R；方程组求得x、的值，得出复数；（2）求出复数、和﹣应的点、、坐标，计算（【解答】解：）复数z＝+yi，、∈R；由|＝，得x+＝2；又z的实大于＞010/

+）

的值．

学习是一件很有意思的事z

＝﹣

+2的虚部为2＝2，所以＝1；解得x＝1，＝1所以复数＝1+；（2）复数z＝1+，＝（1+）＝2，﹣

＝（1+）﹣2＝1﹣；则A（1，1），（0，2）C（1，﹣1）；所以（+）＝，3）•（1﹣1）＝1×1+3×﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了复数的代数形式运算问题，也考查了平面向量的运算问题，是基础题．16．【分析】（1）以O为原点为轴为y轴，OA为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OB与所角的余弦值（2）求出平面COD法向量，利用向量法能求出直线与平面COD成角的正弦值．【解答】解：）O为原点，OC为轴为轴为轴，建立空间角坐标系，O（0，0），（0，1，0），（1，0，0，A，0，2），（0，1，＝（0，1，0），＝（﹣1，），设异面直线与所成角为θ则cosθ＝＝＝，∴异面直线与所成角的余弦值为．（2）＝（0，1，0），＝（1，0），＝（0，1，设平面COD法向量＝（，y，），则，y＝2，得＝，2，）设直线OB与平面COD所成角为，则直线OB与平面COD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．11/

学习是一件很有意思的事【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】（Ⅰ）法一：设的中点为O，连接，PO推导出⊥，⊥，从而⊥面ABC，由此能证明平面⊥平面ABC．法二：设的中点为，连接BO，PO．推导出⊥，POA△≌△，∠POA∠POB＝∠POC＝90°，进而⊥，此能证⊥面，从而平面⊥平面ABC．法三：设的中点为，连接PO，推导出PO，的中点Q，连接及OB．推导出⊥．⊥AB．从而⊥平面OPQ，进而⊥，此能证明PO⊥平面ABC，而平面⊥平面．（Ⅱ）由⊥平面ABC，OB⊥，立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角﹣﹣的弦值．（Ⅲ）设，0μ≤1利用向量法能求出

的取值范围．【解答】（本题满分14分证明：（Ⅰ）证法一：设AC的中为O，连接PO由题意，，AO＝＝CO＝1因为在△中，PAPC，为AC的中点所以POAC，因为在△中，PO＝1OB＝1，所以PO因为ACOB＝，ACOB平面所以PO平面12/

学习是一件很有意思的事因为PO平（4分）所以平面⊥平面证法二：设的点为，连接BOPO因为在△中，PAPC，为AC的中点，所以POAC，因为PAPB＝PC，POPO＝AO＝BO＝CO所以△POA≌△POBPOC所以∠POA＝∠POB＝90°所以PO因为ACOB＝，ACOB平所以PO平面因为PO平（4分）所以平面⊥平面证法三：设的点为O，连PO因为在中，＝，所以PO设的点Q连接，及OB因为在△中，OAOB，为AB的中点所以OQAB．因为在△中，PAPB，为AB的中点所以PQAB．因为PQ∩＝，PQOQ平所以AB⊥平面因为平所以OP⊥AB因为ABAC＝，ABAC平所以PO平面因为PO平（4分）所以平面⊥平面13/

学习是一件很有意思的事解：（Ⅱ）由⊥平面ABC⊥，图建立间直角坐标系，则O（0，0），（1，0，0），（0，1，0，A（﹣1，0，0）（0，0）由⊥面，故平面APC的法向量为由，设平面PBC法向量为，则由

得：令x＝1，得y＝1，，即由二面角﹣PC是二面角，所以二面角﹣﹣的余值为（9分）（Ⅲ）设，0≤μ≤1

，，令得（1﹣λ）（）（1μ）+λ•μ＝0即，是关λ单调递增函数，当

时，，所以．分14/

学习是一件很有意思的事【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两线段比值的求法，考查间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．【分析】（1）求出抛物线焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点（，）（，），通过抛物线方程，求解k，过P，Q关于直线l对称点的kPQ﹣1，推出﹣）；

，的点在直线上推出＝2﹣p即可证明线段的点坐标为（﹣，②利用线段中坐标（﹣，﹣）．推出

，得到关于+2py+4p﹣4＝0，两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范．【解答】解：）∵l：﹣﹣2＝0∴与x轴的交点坐标2，0，即抛物线的焦点坐标2，0）．∴，∴抛物线：＝8．（2）证明：①设点（，）（，）则：，即：，＝＝，15/

P学习是一件很有意思的事P又∵，关直线对，k＝﹣1即y+y＝﹣2p，∴，又的点在直线l上∴＝＝2，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣，﹣）；②因为PQ中点坐标（﹣，p．∴，∴，关于y+2py+4﹣4p＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0