2020中考数学 二次函数培优专题二次函数与圆综合

.所以=x，得.所以=x，得所以点的坐标为2020考数学优专题：二函数与圆综（含答案）例1在面直角坐标系中，抛物线y

与x轴于A两（点A在点的侧轴于点，点的坐标为(0)，将经过、两的直线ykx+b沿y轴下平移3个位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

．（）直线AC及物线的函数达式；（果P线段AC上一点三角形ABP形BPC的积分别为，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)且S:3，点的坐标；eq\o\ac(△,)（设的半径为，圆心在抛物线上运动，则在运动的过程中是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心的标；若不存在，请说明理并探究：若设半径为r，圆心Q在物线上运动，则当取值时，Q与坐标轴同时切？y1x【答案】（）为ykx+b沿y轴下平移3个位后恰好经过原点，所以bC(0,3)，代入y，得解得k

．

所以直线为yx+3因为抛物线的对称轴是直线x所以，得.cba所以抛物线的函数表达式为：x

（）图，过点B作BDAC于D因为::，以APPC:3eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)过点作轴于点，PE//CO，所以APEeq\o\ac(△,).所以

PE2COAC5

.所以

26695555

.（）在，设点Q的坐标为,y①当与y轴切时，有x，x

(0,0)(4,0)(0,0)(4,0)当x，，以Q(.当时得，以Q，②当Qx轴切时，有y，y当，得x，即，得x，所以当时得x，，解得x，以Q((2,1)综上所述，存在符合条件的，圆心的标分别为(1,0)Q，Q，Q(，Q(2,1)探究：设点的标为x.当Q与坐标同时轴相切时，有y.①当y时得x，x，此时eq\o\ac(△,)0，所以次方程无解②当y时得xx，xx.解得

132

.∴当Q半径为rx

13时与坐标同时轴相.例2

在平面直角坐标系中，抛物线经过、、

三点.（）此抛物线的解析式；（以OA的点M为圆心OM的长为半径作M，（中抛物线上是否存在这的点P，过点作M的切线，与轴的夹角为存，请求出此时点P的标；若不存在，请说明理.（意：本题中的结果保留根号）1x【答案】（）抛物线的解析式为ax

bx，

29CD3b3229CD3b32232223由题意，得

2a9c816a，得.9所以抛物线的解析式为

23x.92（）在，抛物线x(999所以抛物线的顶点为

8

，作抛物线和M（图）设满足条件的切线与x轴于点B与M相于点C连接MC，过点C作轴点D.因为MCOM，CBMCMBC，所以CM.所以，以.在eq\o\ac(△,Rt)CDM中，DCMCM.所以DM，3所.设切线的解析式为y=kx+b，可得

3，解得.3所以切线BC的析式为y=

33.33由题意

y=

393x+

，解得，.3y28.所以点的坐标为PP因为抛物线和M都于直线对，则存在切线关对称的直线l'也满足条件同样得到满足的点关于和P对称，则得到2

3,P

.83综上所述，这样的点有，PP,

.1例3如物线yx2与轴于点与y轴交于点C点为点，4

2222对称轴l与线BC交点，与x轴交于点．（1）求直线解析式．（）点P为抛物线上的一个点，以点为圆心、为径作．①当点运动到点时⊙P与线BC相，值范围；4②若r，否存在点使⊙与直线5存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理

DOF

求r的相切？若由．l【答案】（）物线x中，1令y，0x4

，得，x；令，得；(0)，0)，3)；设直线BC的析为，有：

6kb

，解得

，1∴直线BC的析为：y2（）4)

，E2)

；∴EFDE，BF；①过D作DGG，△∽△BEF；∴DE::EF，GERt△DGE中，设GE，DGx，由勾股定理，得：22DE2即：

255，得；；54故D、重合时，若⊙P与直线相，则r，r；5②存在符合条件的P点且点坐标为：P，P3)；过点作于M；17,

，

，∵DEEF，△≌FME；FMDGr

45

；分别过D、作直线m、平于直线，则直线m与线、直线n与线之的距离都等于x；所以P点为直线m、与物线的交点；设直线m的解析式为：，1由于直线m与线m与线BC平，则；21∴，h，即直线的析式为y；21同理可求得直线的解析式为：x；2联立直线m与物线的解析式，

2222，，图1得：，得，；1∴P，P3)；同理，联立直线n与物线的解析式可求得：

A

CO

G

DEF

M

B

17,

；

l故存在符合条件的点，且坐标为：P，P3)

，P

P17,

．例4已如图4-1抛线

y2bx

经过点

A,0)Bx0)

其点为D．为径的M交y轴点E、，点E作M的切线交x轴于点NONE

x|

．（）抛物线的解析式及顶点坐标；（）图4-2，为EBF上的动点Q不与E、重结AQ交轴点H，：否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．E

E

QN

O

N

HA

M

Bx

AO

M

BF

C

D

F

C

D图4-1

图4-图【答案】（1）圆的半径AB8r．22连接ME，∵是线，∴⊥NE．在△中，ONEMA．

y∴，∴OM

N

M

x∴，OB．∴点、的标分别为(0)、0)

F

C

D∵抛物线过A两点以可设抛物线解

析式为：

3128231282y2)(x6)，又∵抛物线过点，∴2)(0，得

．12∴抛物线解析为：(x2)(xx，632∴当x时．1636即抛物线顶点的标2,．3（）接AF、，在AQF和AFH中由垂径定理易知：AE∴，，∴AFH，∴

AH

，∴AH

在

中，AF

(23)

（或利用AFAO）∴AH即AH为值．

或y或y例5如，已知点的标是(，B的坐标是,，AB为径作O，交y的负半轴于点，连接AC，，，，三作抛物线．（）抛物线的解析式；（）E是AC延长线上一点，的分线交O'点D，接，直线的解析式；（））的条件下，抛物线是否存在点，得PDB？如果存在，请求出点的标；如果不在，请说明理由．【答案】（）接'C因为A(，B(9,0)，1所以'BOCAB，OA，'A，2由勾股定理，得OC所以C设抛物线的解析式为y2

，则

a，得b

8，18所以抛物线的解析式为x；3（）接D，由圆周角定理，ACB又CD分BCE，所以DBCD所以可以得到，B(9,0)，以直线BD的析式为：y（）在，①当DP//CB时能使CBD，又可得k

，1所以，点D(4,，以直线DP的析式为y，33由题意

19x833

，解得

41941xx241416

（舍去）

61486148MMMMM414129所以此时点P,

.②过点作BD的行线，交O'

于点，此时有，GDBGCB.又可得，，以直线CG的析式为：y设点G(m，GHx轴交x轴于点H，连接

，则在O'中，由勾股定理可得，m，以此时，所以直线DG的析式为：yx，y由题意，得x所以此时点(14,25).

x或y

（舍去4129综上所述，,

，(14,25)．例6如所示物线与x交于点A0)

、B点轴交于点C以为径作，过抛物线上一点P作的线，点为，并与的切线相于点E，结并延长于点N，结、．（1）求抛物线所对应的函数关式及抛物线的顶点坐标；（）四边形的积为3，直线PD的数关系式；（抛物线上是否存在点P使得四边形EAMD的积于DAN的面积？若存在求出点的标；若不存，说明理由．y

yP

E

D

DAM

B

OMFBxN【答案】（）为抛物线与轴于点A(1,0)，0)两点，设抛物线的函数关系式为：x3)，∵抛物线与y轴交于点C(0,3)，∴(0，∴所以，抛物线的函数关系式为：x2x又yx

，因此，抛物线的顶点坐标为(1,4).（）结EM，EAED是的两条切线，

MM∴EAEAED，∴△≌EDM，又四边形EAMD的积为3，∴S

3，∴

12

3，又AM，∴AE3，因此，点的坐标为(23)或E(当点第二象限时切点D在一象限．

.在直角三角形EAM中，tan

2EMA，AM2∴

∴过切点D作DFAB垂足为点F，∴MF，DF.因此，切点的标为(2,3)，设直线PD的数关系式为

ykx

，将(23)、D3)的坐标代入得

32

33解之，得所以，直线PD的数关系式为y

3x3当点第三象限时切点D在四象限．同理可求：切点D的标为，线PD的数关系式为y

33x3因此，直线PD的数关系式为y

3353x或x.333（）四边形的积等于DAN的积又

S2，S∴∴D两到x轴距离相等，∵与相切，∴点D与点在同侧，∴切线PD与x平行，此时切线PD的数系式为

或

当

时，由yx

x得x6；当

时，由yx

x得x.故满足条件的点P的置有4个分别是P

、6,、P2)、2,2)

.

133133例7.

如图，在直角坐标系中，以点A(为心，以23为径的圆与轴交于B、C两，与y轴于D、两.（）出B、、D三的标；（2）若、C、D三在抛物线y

这个抛物线的解

析式；（圆的切线交x轴半轴于点负半轴于点N，切点P且线MN是否经物线的顶点？说明理.【答案】（）B(，，

，交y轴过所求抛（）题意得，

1a27a3b，解得，所以抛物线的解析式为yx233（）接AP，则AP，

，在eq\o\ac(△,)中，AMP

，则AM3，以(5所以直线MN解式为3

，13又（）抛物线x(x，333所以抛物线的顶点为4)得顶点在直线MN上

，将顶点代入直线MN验，例8.

已知抛物线yax与y轴交点为，点为M，直线的析式为y，且线段CM的为22；（）抛物线的解析式；（设物线与x轴两个交点,0)、x,0)且在B的侧求线段的；（）以为径作N，请判断直线CM与

的置关系，并说明理由．【答案】（为直线CM的析式为y以2)线CM的为22以

或M(，以抛物线的解析式可得

x或y2

x.（为抛物线和轴有两个交点A(,0)(x,0)以时抛物线为y

x，令y，x和是程x

x=的根，且x，则由韦达定理得，，，所以xx32，以x（相由意抛物线的对称轴应为x

所(作CM于点P设直线CM与x轴相交于点D，则

，且D(2,0)，

，所以得NP，AB为N直径，且AB，点直线CM的离等于N的径，所以直线与N相切

yaxB(6,0)yaxB(6,0)例9如，在平面直角坐标系中，已知抛物线C(0,23)．两点，交轴点

交x轴，（）此抛物线的解析式；（若抛物线的对称轴与直交点作F两点，求劣弧所对圆心角的度数；（