2020-2021年上海市普陀区高三数学二模试卷

y学习是一件很有意思的事y普陀区2020学第学期高数质量调2021.4考注:本场考试时间120分.试卷4页，满分150分共页作答前，在答题准名，将核对贴在.所有必上号位.在试卷上作分用2B铅笔作钢答题.一填题本题有题，满分第1题每4分第～12题每分考应答纸相位直填结.1.设全集

U{0,1,2}

，若集合

A2}

，则

CAU

.若复数z

2i

（

i

表示虚数单位

.函数y

1x

的零点为.曲线

x

的顶点到其准线的距离为.若cos(

3

)

1

，则

cos

.6.设棱长2的方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为.设xx28

，则

aa18

.设无穷等比数{}

的前

n

项和为

，若

，且

lim

，则公比

.y设、均非实数且满足，则xy

的最小值为.某学校从

名男生3

名女生中选出2名任招生宣讲员在

名宣讲员中男生各

人的概率为（果用最简分数表示.设

Mx)

是直线

上的动点，若

1

，则

11xyyx

的最大值为.普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

第页(共4页)

1学习是一件很有意思的事1如图，在△中C

2

，

AC

3

，

.若

O

为△

内部的点且满足

OAOCOA|||

，|:|OBOC

.（第题）二选题本题有4题满分，题分每题且有个确项.考生在题的应置将表确项小格黑设

a

、

均为非零实数且

a

，则下列结论中正确的是（）(A)a

(B)

(C)

(D)a

设

7m

，则双曲线

22的焦点坐标是（）16m7(A)(0)(B)

(C)5)(D)

两不重合的平面，l,是两条不重合的直线，则//的个充分非必要条件是（）(A)l，l//m(B)l，m

，且

l//(C)l，m且

l//m

(D)l

，m，且

l//m已知函数x

3x1

，设（i1,2,3i

）为实数，且

x12

.给出下列结论：①若1②若1

00

，则，则

f(xf(x)f(x)123f(xf(x)f(x)123

3232

；.其中正确的是（）(A)(C)

①与②均正确①不正确，②正确

(B)(D)

①正确，②不正确①与②均不正确普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

第页(共4页)

PA学习是一件很有意PA三解题本题有5题，满分解答列题须答纸相位写必要步.17.（题分14分，小满分6，2小题分8）如图底面半径为2的锥的顶点面中心依次为PO，为其底面的直径.点

位于底面圆周上，BOC

.异直线与所角的大小为.）求此圆锥的体积；PBC）求二面角

的大小（结果用反三角函数值表示.

P18.（题分14分，小满分6，2小题分8）

A

O

B设函数fxlog

2

（

）的反函数为

f

().

（第题））解方程：

f(xf()

；）设

y()

是定义在

R

上且以

为周期的奇函数.

0

时，g(x

f

x)

，试求2

的值19.（题分14分，小满分7，2小题分7）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别i

（

i

AA1

米，A21

，

为对角线

AA24

和

3

的交点他

A2

、

A4

为圆心分别画圆弧一弧与A相交于另段弧与2

相于A这段弧恰与

AA均交于4设

AD1

.）若两段圆弧组成“甬路L（度忽略不计L的长（结果精确到米）记此园地两个扇形面积之和为S1

，其余区域的面积为

S

2

.对条件（）的

L

，当SAA

0.12时则称其设计“用心此的设计是否用心”？并说明理.A1AA（第题）2普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研第页(共4页)

A4

**学习是一件很有意思的事**20.（题分16分，小满分4，2小题分6，小题满6分已知曲3y2

的左、右焦点分别为

F1

、

F2

，直线

l

经过

F1

且与

相交于

A

、

B两点）求△FAF1

的周长；）若以F2

为圆心的圆截轴得的弦长为22且l与F相，l的程；2（3）设l的一向量

k，在轴上是否存在一点，使得|MAMB|

且tanMAB

55

？若存在，求出

M

的坐标；若不存在，请说明理.

yF1

O

F2

（第20题）21.（题分18分，小满分4，2小题分6，小题满8分记实数

a

中的较大者为

a,}

如

2}2

max{1,1}

对无穷数列

{

}

，记k

a

k

,a

}

（对任意的kN，均有

ck

，称数列k

{

}

为“趋势递减数列.）根据下列所给的通项公式，分别判断数{

}

是否为“趋势递减数列说理由①a

，②sin

n2

；（2）设首的差数{b}n

的前

n

项和为

、公差为

d

，且数列

{}

为“趋势递减数列求

d

的取值范围；（3）数列

{

}

满足d、均正实数，且2

d

n

n

n

，求证{}

为“趋势递减数列”的充要条件{}

的项中没有

.普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

第页(共4页)

V学习是一件很有意V2020学年第学期普陀高三数学量调研评分则一填题本题有2，分54分，1题每4分，7—12题每题5分生应答纸相位直填结.1．

{1}

2.

3.

4.

5.

12

6.

7.

8.

149.10.11.27

3

62

12.

::1二选题本题有4题满分，题分每题且有个确项.考生在题的应置将表确项小格黑题答

D

B

C

A三解题本题有5题，）解下各必在题的应位写必的骤17.（题分14分，小满分6，2小题分8）解（1）设圆锥的高为

.以

O

为坐标原点，以

O

、

OB

、

OP

所在的直线分别为

、

、

轴，建立空间直角坐标系，如图所.根据题设条件，可得

C

、

h、(0,

、y

.

PA(0,)CB

…分P由异面直线CB所角的大60

，|0得cos|PACB|44解得2.……5分18圆锥的体积sh分33

，

A

C

O

D

B

y）取BC的点,

连ODPD.

由OC，OD再由PBPC，PD.所以

PDO

即为二面角

PBC

的平面角.……10分

圆锥的底面，所以

OD

，故

为直角三角.普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

第页(共4页)

22A43422A434在△中，OD

学习是一件很有意思的事1POBC，PO2，故tanPDO……13分2OD即

arctan2

，故二面角

的大小为

2

…………14分（坐标法比照给分）18.（题分14分，小满分6，2小题分8）

f(xf()log(x2)2log22

log(x2)logx2

x2

{2}

f

x)

0

g)2

g(x

R

(x2)g(

x

g(log10)g(log10g(log2

2

58

)

0

55log)(log)88

g2

85

A1

A4（本满分，（）问分第2问7分解）据设条件，可得在△A中AA……1分12122AA23由正弦定理241即AAsinAA2141

……

A

故

arcsin34

……4分所以

a

……5分当30时L

3

米.答甬路的长约为36米.…7分（2由1）得

，在△

AAD12

中，由余弦定理，得

AD218001

，普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

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2学习是一件很有意思的事2故

cos

，所以

LAA3

2cos

……10分按思维架给分）S1

，

Ssin2

，故

S1Ssin2

……分按思维框架给分）当

34

时，

cos

sin

0.12

所以此人的设计是“用心”的.……分20.（本题满分16分，第1问4分第）问6，第3）问6分（1据题设条件得

24

a

据圆定义知

AFAF2a41

…c

，

FF|212

…分

由

AFAF|F122

，得△

FAF1

的周长为

…………4分（2圆F的程为(2

2

2

（r）令xr

r

2

，得

r3

……6分由

l

与圆

F2

相切，得

F2

到直线

l

：

y(x

的距离

k

解得k，…8分故直线l的程为

3(x

……10分（3假设在轴存在一点

(x,0)0

，设直线l的程

(（k0(x将直线l的程和椭圆的方程联立，得3x2

，消去并理，得

(3

2)x2k2xk

，有令

(xy)，(xy)11

，则

kxkxk2

……分|AB|(x)

(12)[(x)](121

)

232

……分普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

第页(共4页)

3k2322k学习是一件3k2322k故线段

AB

的中点

的坐标为

4k3

，则线段AB中线l的方程为

k1k2y33k

……分令，x

k3

2

，点

M

k

到直线l距离

k|

2

……15又因为

MAMB|

，所以

tan

|AB|

|k|112(2，即23k化简得

25

12k

，解得

2

，故

M(

419

,0)

…16分21.（本题满分18分，第1问4分第）问6，第3）问8分解1）①中

a

，

a

得

（为正整数且

3，①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递4减数列”②a

2

(

，

k

l01,l

（l为整数

，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列……4分）由数{}

为“趋势递减数列

cS,S},}112

……5分①若，则a,即a121

，也即

，故

.此时0aa23n

，所以

14故c

2k

2k

（

N

*

足件…分②若S，则S，da，d2331

，即

，解得

11，所以d2

.同理可以验证满足件…分由①②可得d

12

.………………10分）先证明必要性：用反证.普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

第页(共4页)

学习是一件很有意思的事假设存在正整数

(m3)

,使得

m

，则令

则数{}

从

m

项开始以后的各项为

aa,a

c

{}

势递减数列”矛.…14再证明充分性：由d

n

dn

n

，得

max{

}

……15分因{}

中的项没有

，所以对于任意正整数

n

，

.于是

k

（

为正整数）所

k

k

……16分①当

k

k

时，

c

max{d

2

,

2

}a

2

max{

2

,d}…2分②当

k

k

时，

c

max{

2

,d

2

}

2

max{d

2

,}2

所以均ck

k{}

为“趋势递减数列”的充要条件是数{}

的项中没有

.……18普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研

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学习是一件很有意思的事坚希一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。历经千辛万苦，头发开始斑白。有一天，那瘸子对瞎子说：“哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。“兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。”瞎子却说。可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了