山东省青岛市经济技术开发区致远中学(高中部)高二数学文期末试题含解析

山东省青岛市经济技术开发区致远中学(高中部)高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线x－=1的渐近线方程和离心率为

（

）

A.y=2x.

e=.

B.y=x,

e=.

C.y=x,

e=

D.y=2x,

e=参考答案：D略2.直线2x＋1＝0的倾斜角为()A．不存在

B.

C.

D.参考答案：C略3.定义在上的偶函数满足，且当时，，若函数有个零点，则实数的取值范围为（

）．

A． B．C． D．参考答案：A∵函数可得图象关于直线对称，且函数为偶函数则其周期，又∵，当时，有，则函数在为减函数，其函数图象如图所示，当，，当时，符合要求，由函数的对称性，当时，符合要求，综上．故选．4.已知关于的不等式的解集为，则实数的值分别为(

)

参考答案：B5.已知函数f（x）=x﹣2sinx，则的大小关系为（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数值的大小即可．【解答】解：f（x）=x﹣2sinx，f′（x）=1﹣2cosx，令f′（x）＞0，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ﹣，令f′（x）＜0，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，故f（x）在（﹣，）递减，而﹣＜﹣1＜﹣＜3log1.2＜，故f（﹣1）＞f（﹣）＞f（log31.2），故选：D．6.是成立的

A.不充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分不必要条件

D.充要条件参考答案：C略7.已知为虚数单位，复数的虚部是（

）．A． B． C． D．参考答案：A，则其虚部为，故选．8.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）种

A

480

B

720

C

960

D

1440参考答案：A略9.已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*） B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*） D．f（2n）＞（n∈N*）参考答案：D【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】根据已知中的等式f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．【点评】本题主要考查了归纳推理的问题，其一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．10.已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=4,则f(-1)=

（

）

A．

-2

B．

1

C．

0.5

D．

2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的奇函数f（x），对于?x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是．参考答案：{m|m＜﹣1或0＜m＜3}【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据，然后用代换x便可得到，再用代换x便可得出f（x+3）=f（x），从而便得到f（x）是以3为周期的周期函数，这样即可得到f（1）＞﹣2，，从而解不等式便可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵；用代换x得：；用代换x得：；即f（x）=f（x+3）；∴函数f（x）是以3为周期的周期函数；∴f（4）=f（1）＞﹣2，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）＜2；∴；解得m＜﹣1，或0＜m＜3；∴实数m的取值范围为{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．故答案为：{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．12.若实数满足，则的最小值为

参考答案：略13.已知圆C：x2+y2﹣2x﹣5y+4=0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为

．参考答案：y2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意求得双曲线的顶点、焦点的坐标，可得b的值，再根据双曲线的标准方程的特征求出双曲线的标准方程．【解答】解：根据圆C：x2+y2﹣2x﹣5y+4=0，可得它与坐标轴的交点分别为A（0，1），B（0，4），故要求的双曲线的顶点为A（0，1），焦点为B（0，4），故a=1，c=4且焦点在y轴上，∴b==，故要求的双曲线的标准方程为y2﹣=1，故答案为：y2﹣=1．【点评】本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．14.．已知，，根据以上等式，可猜想出的一般结论是

.参考答案：，．略15.设p：|4x﹣3|≤1，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案：0≤a≤考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：分别求出关于p，q的解集，根据p?q，得到不等式组，解出即可．解答：解：∵p：{x|≤x≤1}，q：{x|a≤x≤a+1}，若p是q的充分不必要条件，则p?q，∴，解得：0≤a≤，故答案为：0≤a≤．点评：本题考查了充分必要条件，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，若A为线段F1F2的一个三等分点，则该双曲线离心率的值为

▲

．参考答案：3由题可知：故双曲线离心率的值为3.

17.若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为

．参考答案：4【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为4．故答案为：4【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，要求该点的横坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

如图所示，在矩形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角。（1）证明：（2）求二面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ），是的中点，，是等腰直角三角形，易知,，即.又平面平面，面∩面面，又面,；…………………分（2）法一：设是线段的中点，过作垂足为，连接，，则 平面平面,平面, 是在平面上的射影，由三垂线定理得： 是二面角的平面角. 在中，，,二面角的余弦值为.………………分 法二：分别以，所在的直线为轴、轴，过垂直于平面的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.则，，, 设平面的法向量为；平面的法向量为

二面角的余弦值为.………分19.哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元、乙每份售价0.40元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分别为10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分别为2、3、9毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A、B、C分别为20、18、36毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？参考答案：当时，最小值为2.55元20.已知函数．当时，函数取得极值．（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数k的取值范围．参考答案：解：(1),-----------------------------------------2分

所以,.即,由此可解得,， 所以函数的解析式为-------------------6分

(2)，=0,解得,-------------------------------------------8分

所以在处取得极大值,在处取得极小值，----12分

要满足函数有3个解，须有

.

--------------14分

略21.为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克），如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于16毫克时，该产品为优等品.（1）从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望；（2）从甲厂的10年样品中有放回地逐个随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回地逐个随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂所2件的概率.参考答案：（1），分布列见解析（2）试题分析：（1）的所有可能取值为，由古典概型分别求概率，得到的分布列，再求期望即可；（2）抽取的优等品数甲厂比乙厂多两件包括两个基本事件：“抽取的优等品数甲厂件，乙厂件”，“抽取的优等品数甲厂件，乙厂件”,分别计算出它们的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多件的概率即可。（1）由题意知，的值为0,1,2,3，，，，，∴的分布列为0123．（2）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为，乙厂抽取的样本中有5件，优等品率为，抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，，，∴抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率：．点睛：离散型随机变量均值与方差的求解方法数学期望与方差、标准差都是离散型随机变量中重要的数字特征，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定程度、集中与离散的程度．求解离散型随机变量的分布列、期望与方差时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的取值，然后根据概率类型选择公式，求解变量取某一个值的概率，列出分布列，最后根据期望与方差的定义或计算公式求解．22.为了了解某年级1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.参考答案：解：（1）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32.0.321000=320∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。

……2分（2）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.321+0.081=1，∴x=0.02

……4分设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，则

∴n=50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩.

……6分（3）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c百米成绩在第五组的学生数有0.08150=4，记他们的成绩为m，n，p，q则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本