(必考题)高中数学高中数学选修4第一章《不等关系与基本不等式》测试

nn242，88，88，8，88nn242，88，88，8，88一、选题1．某单位计划今明两年购买某物品，有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、

p1

，则这两种方案中平均价格比较低的是（）A．甲

B．

C．甲、乙一样

．法确定2．若a＞，下列不等式一定成立的是（）A．

11ab

B．a

5

5

C．ac

2

bc

2

．

b3．已知

，ab

a，则a的最小值（）A．B．C．

．4．已知函数f(x)

，若

x[2,

，

f)0则实数的取值范围是（）A．

(

B．

(0,

C．

[0,

．

(1,5．设

0.6，0.3

12

，则（）A．C．

mmmmn

B．．

mmn6．等差数列{a}的n项和S，S≤615≤≤21，则的取值范围为（）A．

47

B．

C．

．

7．如果

2

，

，

c

10.53

，那么)A．

B．

c

C．

．

ca8．如关于的等式

x

的解集不是空集，则参数a的值范围是（）A．

B．

C．

．

9．若A．

，则下列结论不正确的是B．

C．

．10．知

bR

，且

a2

，

，则，的关系是（）A．

P

B．

P

C．

P≤

．

P11．，下列不等式成立的是（）

a,2p::xxa,2p::xxA．2

B．

11ab

C．

ab

．e12．x是x

成立的)A．充分不必要条件C．要条件二、填题

B．要不充分条件．非充分又非必要条件13．知平面向量a，，

满足|b，

，则|

的最大值为___________．14．出下列语句：①若a为正实数，a，a

3；②若为正实数，

a

，则

abb

；③若

abc

，则；④当

x

2

)时

2x

的最小值为，中结论正确的___________．15．较大小：7_______

25

．16．知不等式xyax，对任意

xy[4,5]

恒成立，则实数a的值范围是__________．．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支瑰与1支乃馨所需费用之和大于8元而购买4支瑰与5支乃馨所需费用之和小于22元设买支瑰花所需费用为元，购买支乃馨所需费用为元则、B的大小关系_18．关于的等式

(ab)

的解集为

{5}

，则

________.19．知二次函数（（R）值域为0，∞），为．

acca

的最小值20．函数

f(x)

|

(a0)

，若

f

，则

a

的取值范围是_____.三、解题21．知函数

fx

的最大值为m．f的解集；（）不等式（）、均正数，且满足

b2，求证：ab

．22．实满2ax，实数满足（），为，求实数的取值范围；

x

.（）其中

a0

且是的分不必要条件，求实数的取值范.

xxm12112xxm1211223．知函数

f(x

.（）时求不等式

f(x

的解集；（）a，若

f(

的图象与轴成的三角形面积于，求的.24．知函数

f(x)x|

.f(x)的解集；（）不等式（）存在实，使得不等式

m

mf(x)

成立，求实数的值范围25．下列关于的等式的解集（）

2x

；（）x|．26．函数

f(

1132cx32

，

f

x

为

的导函数，

f

a2

，3cb

.（），表，证明：

a0

时，

ba

；（）

a

12

，b，

，求证：当时，

f

.【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结.【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为，两年的购买的总金额为

xx12

，平均价格为

pp1x2

；y对于乙方案，设每年购买的总金额为y，则总数量为，2平均价格为

yp12

11

.因为

pp2pppp12122pppp2pp122

，所以，

p2p2p

.因此，乙方案的平均价格较低故选：【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差—形判正负．所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商2．B解析：【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论．【详解】a＞，则

与的小关系不确定；由函数y=x5在R上调递增∴a5b5；b=0时，ac=bc；取，=-2|a|＞b不立．因此只有B成立．故选．【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．C解析：【分析】令

a

，得

a

，代入2ab

2

，简后利用判别式列不等式，解不等式求得【详解】

的最小值令

z

，得

a

，代入2ab

2

并简得b2

，关于的一元二次方程有正解所以首先

，即

，由于,是正实数，所以

z，即z

，也即a的小值为.此时对称轴

12z22

，所以关于的元二次方程

有正解，符合题意.故选：【点睛】

220.60.60.60.6220.60.60.60.6本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档.4．B解析：【分析】结合已知不等式可转化为即

2

结合二次函数的性质求

2

x在

[2,

上的最大值即求解．【详解】解

,

f()

,即

2

x在

x[2,

上恒成立结二次函数的性质知当

2

时x取最大值为0.即

a

.故选B．【点睛】本题考查了由不等式恒成立问题求参数的范对关于

f(x)

的不等式在的段区间上恒成立问题一情况下进行参变分,

ah()

在区间上恒成立只求出

h(x)

的最大值令

()

max

即可若

a(x)

在区间上恒成立只求出

(x)

的最小值令

min

即可.5．A解析：【分析】根据对数函数的单调性可得,n

,根据不等式的性质可知

m

;通比较11m

与1的小关系即判断

,从可选出正确答案【详解】解

0.6

,

1log0.6log12

,则

mn1log0.3loglog0.6mmnm故选【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调.比较对数的大小常结合对数函数的单调性比较大小对

f()a

,若

,则1)0

时

fx0

;当

x时

fx

;当

x

时

f(

;若a,则1)x

时

f()

;当

时

f)0

;当时

fx0

.6．B解析：

22222222222212222222222221【分析】首先设公差为d

，由题中的条件可得

a2

和

152122

，利用待定系数法可得

a2

112aa4

，结合所求的范围及不等式的性质可得【详解】

.设公差为d

，由

2

，得

1

，即

a2

；同理由

4

可得

15a2

.故可设

ax22

，所以有

ay2

，所以有

yxy

，解得

x

14

，即

1aa44

，因为

1

1315212，428

.所以

231333322，即84

.故选：【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准.7．D解析：【分析】由题意可知，

asin

34

，

，

1c3

，从而判断ac

的大小关系即可【详解】2

43sinsin21123

2，即2

11log，log23

11

2b故选：【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档.8．A解析：【分析】先求最小值是，即得解【详解】由题得＜有，由绝对值三角不等式|≥|x-3-x+4|=1所以最小值为，所以＜即＞故选【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能.9．D解析：【分析】不妨令【详解】

，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．由题，妨令，故正；

，可得a＜2，故A正；，故C正．故不确．故选．【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题10．解析：【解析】分析：因为P﹣2=﹣

(

≤0，以P≤Q，则P，

详解：因为a，∈，P=

aa，，2所以2

a

2

2a，24

2

，则2﹣2=

a22a2ab()﹣=﹣≤0424当且仅当a=b时取等成立，所以2﹣2≤0，即P≤Q

2所以P≤Q故选：．点睛：比较大小的常用方法（）差法：一般步骤：作②变；定；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方当个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差（）商法：一般步骤：作②变；判商的大小；结.（）数的单性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关.（）助第三比较法11．解析：【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A、、不确根据指数函数的性质，即可得到是确.详解：当

b

时，满足，时

2

ab

，所以A、、不正确；因为函数

是单调递增函数，又由所以e

a

b

，故选点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力12．解析：【解析】分析：先化简x和x详解：因为，以2≤x≤2.

，再利用充要条件的定义判断因为

，所以1≤x+1，所2≤x≤0.

因为2≤2成，-2≤x≤0不一定成立，所以

成立的非充分条.因为2≤x≤0成，-2≤x≤2一定成立，所以x

成立的必要条件所以是x

成立的必要不充分条.故答案为：点睛：1）题主要考查解绝对值不等式和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力(2)判充要条件常用的方法定义法、集合法和转化.二、填题13．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与解析：2【分析】只有不等号左边有

c

，当

c

为定值时，相当于存在

c

的一个方向使得不等式成立．适当选取【详解】

c

使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边．当

c

为定值时，|)|

当且仅当c与向时取最小值，此时||a|

，所以c|

aa

．因为ab|，以())a)，所以

a)

a

|a)

a

]所以|a2，且仅当a且与同时取等号．故答案为2．【点睛】本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．14．③分析】利用作差法可判断出确；通过反例可排除②根据不等式的性质可知③确；根据的范围可求得的范围根据对号函数图象可知错误【详解】①为正实数即可知正确；②若则可知错误；③若可知则即可知解析：③.【分析】利用作差法可判断出正；通过反例可排；根据不等式的性质可正确；根据

的范围可求得x

的范围，根据对号函数图象可④错.【详解】

22y22y①

a2

a

，b为实数

，32，a332，知正；②若，

，

，则

a1b2b

，可知错；③若

acc

，可知c

，

abc2

2

，即a，可③确；④当

x0,

时，sin象可知：

sinsin

，可知④错.本题正确结果：③【点睛】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于常规题型15．【详解】试题分析：要比较的大小只须比较要比较两数的大小只须比较的大小显然从而考点：1数或式的大小比较；2分析法解析：【详解】试题分析：要比较7、

25

的大小，只须比较(7)42、21040，比较42、13两数的大小，只须比较40的小，显然

，而67

25

．考点：．或的大小比较2．析法．16．【分析】先将不等式对任意恒成立转化为不等式对任意恒成立再令转化为对任意恒成立求解即可【详解】因为不等式对任意恒成立所以不等式对任意恒成立令所以对任意恒成立令所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查不等解析[【分析】先将不等式2y2，任意

xy[4,5]

恒成立，转化为不等式a，任意

xy[4,5]

恒成立，再令tx

，转化为at，任意t[2,5]恒立求解.【详解】因为不等式

，对任意

xy[4,5]

恒成立，

所以不等式a

，对任意

x[4,5]

恒成立，令t

yx

，所以at

，对任意t恒成立，令yt，所以所以

ya

，故答案为：

[【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题以及不等式的性质，二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题17．A>B【分析】设每支支玫x元每支康乃馨y元则由题意可得：代入可得：根据不等式性质联立即可得解【详解】设每支支玫瑰元每支康乃馨y元则由题意可得：代入可得：根据不等式性质可得：而可得故故答案为：【点解析：A【分析】设每支支玫瑰x元每支康乃馨y元，则

AB

，由题意可得：

xyx22

3，代入可得：

，根据不等式性质，联立即可得解.【详解】设每支支玫瑰x元每支康乃馨y元，则

2xAyB

，由题意可得：

xyx22

，3代入可得：

，根据不等式性质可得：

B

，而

，可得

A

,故AB，故答案为：A

【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题18．【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得【详解】由得即所以解得所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式掌握绝对值的性质是解题关键解析【分析】利用绝对值的性质【详解】

解不等式后与已知比较可求得b由

|

得

x

，即

x

，所以，得，所以

a

．故答案为：．【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键．19．【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：【分析】先判断、是数且ac把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】由题意知，

＞ac＞0，则

c1a1ccaaaac当且仅当ac取等号．

cca

的最小值为4．【点睛】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档.20．【解析】分析：即再分类讨论求得的范围综合可得结论详解：函数函数由可得其中下面对进行分类讨论①可以解得②可以解得综上即答案为点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法体现了转化分类讨论的数学思想属于中档题

22121解析()2【解析】分析：

f

，即

x

1a

，再分类讨论求得a的范围，综合可得结论．详解：函数函数

f

x(a0)

，由

f

x

，其中，下面对进分类讨论，①3时

5

521，可以解得＜＜2②＜

时，

＜5

1，可以解得＜2综上，a55即答案为点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解题21．1）

；（）明见解.【分析】（）段讨论绝对值即可求解不等式；（）求出m，由基本不等式即可证.【详解】（）：当

x

时，

f

，令

，x

，解得此时

；当

14

时，

f

，令

f

，即

，解得

x

55，此时33

；当x4时

f

，令

，，得x，此时x．

qxqp,p综上所述，不等式

的解集为

5

；（）：由（）知，当时

f

；当

时，

f

；当x4时

f

．综上所述，函数

的最大值为

，∴

a

．由基本不等式得a2b2abacb

，当且仅当

a

时，等号成立，所以

c2abc

．【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值不等式的求解和不等式的证明，解题的关键是分段去绝对值求解，能正确利用基本不等式建立关.22．1）

2

43

【分析】（）一元二不等式求得x的值围，解绝对值不等式求得中x的值范围，根据为，即都真题，求得的取值范围.（）一元二不等式求得中的值范围，根据是的分不必要条列不等式组，解不等式组求得实数的值范.【详解】对于：

得

x

，解24（）时对于：

x

x

，解得

1x

，由于p为真，所以都真命题，所以

解得

x

，所以实数的值范围是（）

a0

时，对于：

2

axa

2

，解得axa由于

是的分不必要条件，所以是的要不充分条件，所以，得4a.所以实数的值范围是

.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取

aa,aa,值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档.23．1）

3[,]2

；（）

a

.【分析】（）代

f(x)

中，然后根据

f(4

，利用零点分段法解不等式即可；（）据条件求出

f(x)

的图象与轴成的三角形底边和高，然后根据面积为6得到关于的方程，再求出的.【详解】解：（）时

xf()xx

.fx)

，

4或或，x1x1

32

或

x

5x，22

，

不等式的解集为

.（）时，

(1a),xf()xa(a1

，当a，令

f()，x

12或，a又由

yxay

，得，fx)

的图象与轴成的三角形面积于，1a1a2

，解得

或

a

12

（舍

)

.

mm【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档.24．1）

(

(

；（）

(1,4)

.【分析】（）函数

yf(x)

的解析式表示为分段函数，然后分

、

x

、

x

三段求解不等式

f()

，综合可得出不等式

f(x)

的解集；（）出函数f(x)的最大值即可得出实数的值范围

f)

，由题意得出

m

2

f(x

，解此不等式【详解】xf(x)x

.

（）

x

时，由

(x

，解得x，时；当

时，由

(x

，解得

x此时

；当