2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷

2020-2021学年安徽省合肥一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题共60.0分）

设集合

B.D.

下列命题中正确的是B.

若为真命题，为命题在中“”“”充分必要条件C.

命题“

则或”逆否命题是“或

”D.

命题：

，得，：，使

命题：“”是“

”的充要条件；

是奇函数；若”为真则“”真；若𝐵，，其中真命题的个数有

个

B.

个

C.

个

D.

个

定义“正对数”{

，现有四个命题：若，则

若，则若，则若，则

其中正确的命题

B.

C.

D.

锐eq\o\ac(△,)𝐴中已𝐴

𝜋

，则

取范围

B.

C.

D.

1113,11113,1

已知函{3𝑥,

，若，实的值范围

(

1

,1)

B.

(,

C.(1,0]，函数(的大致图象𝑥𝑥

D.

(

1

,B.C.D.函那么此函数图象与

在区间轴交点的纵坐标为

上单调递减函值从减到，

已知函1+

B.𝑠𝑖𝑛𝑥2

C.D.，若的最大值和最小值分别和，等

B.

3

C.

D.

10.eq\o\ac(△,)中，，分别为内，，的边，若

𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛，𝑠𝐶

，且

，

B.

C.

D.

333,𝑥111.已函{，设，关于的等|

3

在上恒成立，则最大值是

B.

C.

D.

3312.定义在上的函满足{

,1，且1)，函,1

3

在区间上所有零点之和

B.

C.

D.

二、单空题（本大题共4小题，20.0分

𝜋𝜋22𝜋𝜋22一扇形的中心角为弧，半径为，其面积为_．已，

2

2

，______．已函

，

，那么⋅______．已函区间,单调递减，则实的取值范围_____三、解答题（本大题共6小题，70.0分已全{，集合{，求𝐴∁∁已eq\o\ac(△,)𝐴的积√，，𝑎和的；的．

，求：已函，等式(的集为求的；若等对意恒立，求实数的取值范围．选：标系与参数方

或．在平面直角坐标椭

在一象限内的一分作轴轴的两条垂线，垂足分别为，矩周最大值时的标．已函数Ⅰ若，且

在

上的最大值为，

；Ⅱ若，函数

在

上不单调，且它的图象与轴切，求

的最小值．

22.

设，等式

2

对任意恒成立，求的值范围．

参考答案解析1.

答：解：题分析：由题意可知，考点：本小题主要考查集合的运算．

，所以．点评：由题意得出

是解题的关键，还要注意到．2.答：解：：对：若真命题，则

真真，

假真，

真假当真真则为真命题，故A错；对于：eq\o\ac(△,)中“““所以eq\o\ac(△,)中“”“”的充分必要条件，故B正；对于命“

则或”逆否命题是“且

”C错误；对于：命

，，，得，故错误．故选：．直接利用真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系判、、、的论本题考查的知识要点：真值表，正弦定理，命题的否定，四种命题的关系，主要考查学生对基知识的理解，属于基础题．3.

答：解解

”“”不成立如此”“

”的必要不充分条件，是假命题；

，是奇函数，是真命题；若”为真则“”一定为真，是假命题；若𝐵，，真命题．其中真命题的个数有．故选：．由2

”“”反不成立，例如，可判断出真假；利函数的奇偶性即可判断出是否是奇函数，即可判断出真假；利复合命题真假的判定方法即可判断出真假；

利集合运算的性质即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、集合的性质、不等式的性质，考查了推理能与计算能力，属于中档题．4.

答：解：：定“正对数”：{

，当时，

，右；当，时，

，端

𝑎右，真；若时可例下33，故错误；若，，，端，左右端，成立；当，

<1ln，端，右端=，端右，成立；当时，，，，右，成立；同理可知，，，时，总有左右端；当时左右端，不等式也成立；综上，真；若时左，端，然成立；若则

成立，故真综上所述，正确的命题有．故选：．根据“正对数”概念，对逐分析判断即可．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数的性质，考查新定义的理解与应用，突出查分类讨论思想与综合运算、逻辑思维及分析能力，属于难题．5.

答：解：本题综合考查了正余弦定理及两角和与差的三角函数公式，属于拔高题．

由正弦定理可得，222𝑎𝑏𝑐，2𝑎当𝑎时1，由正弦定理可得，222𝑎𝑏𝑐，2𝑎当𝑎时1，解得，𝑎𝑏𝑐3sinsinsin√32

，可先表示，𝑐，后eq\o\ac(△,)𝐴𝐵为锐角三角形及可求范围，再用𝑐表，利用三角恒等变形公式进行化简后，结合正弦函数的性质可𝑏的围，由余弦定理可得𝑏𝑐3𝑏𝑐𝑏𝑐，而可求范围．解：由正弦定理可得，sinsinsin√32𝑏2，2，𝐴为角三角形，

2，，

且，𝐵(𝑐𝑜𝑠𝑖𝐵)22𝑖𝐵𝑐𝑠𝐵+，

2

，，，，即𝑏𝑐3，𝑎

𝜋3

，由余弦定理可得3𝑏

𝑐

2

𝑏，得：𝑏2

𝑐

2

𝑏𝑐，𝑏2

𝑐

2

𝑏𝑐𝑏𝑐3．故选：6.

答：解：：𝑎时，2

2，得，−𝑎即，得𝑎𝑎<23

𝑎<．

=−，，时𝑓(2)，𝑒𝑒=−，，时𝑓(2)，𝑒𝑒𝑒231𝑒时

，，故选：．将变量分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，于常规题．7.

答：解：：函数

𝑒

𝑥

𝑒−𝑥−𝑥𝑒𝑥𝑥𝑒

−𝑥

，是函数，故错误；时，

𝑥𝑒−𝑥𝑥𝑒

−𝑥

，故误；当时，由，

𝑥𝑒𝑒

，−𝑥𝑒𝑒22212214𝑒𝑒

，

𝑒

3

3

，得：当时

𝑥𝑒

−𝑥

，先增后减，故D错．由排除法得确．故选：．推导出(是函数时

𝑥𝑒−𝑥𝑥𝑒

−𝑥

时𝑥𝑒

−𝑥

先增后减，由此利用排除法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形合思想、函数与方程思想，是基础题．8.

答：解：题分析：依题意，利用正弦函数的单调性可求𝜔的析式，从而可求得此函数图象与轴点的纵坐标解函𝜔区间

上单调递减且数值从减，

，又

又

，2𝜋

，2

，

，

𝑚44𝑚44𝑥，令，此数图象轴点纵坐标为

故选A．考点：三角函数图像点评：本题考查由𝑖部分图象确定其解析式，求得与值是关键，也是难点，考查分析与理解应用的能力，属于中档题．9.答：解：：

2

，设

2

，

2

，为奇函数，𝑚𝑎𝑚

𝑚𝑎

，，，故选：．

2

，得到为函数，得到(

𝑚𝑎

，加可得答案．𝑚本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的最大值与最小值，属于中档题．10.

答：解：：3，，5由弦定理可得𝑎

，可得

，5eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

𝑎𝑎4，得：𝑎，5由弦定理可得𝑎𝑎2𝑎𝑏𝑎⋅5故选：．

得．由已知及正弦定理可得3𝑎

，利用同角三角函数基本关系式可利用三角形面积公式可求，余弦定理即可解的．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．11.

答：

22226的称轴为，得处取得最小值，23当且仅√22226的称轴为，得处取得最小值，23当且仅√取；得最大值√−2√√6(2√44√,)代入，解得；22解析：：函数{

2,𝑥

，当时关的等式

在上成立，即为

2

2

，即有

2

2，由

2

的称轴为，得

处取得最大值；由

2

4226则当时关的等式22，即为4222，即有

在上成立，由

42444由

22𝑥4

当且仅取得最小值．则

；由得，

26

，的大值为．另解：作出(的象和折线|

，如图所示；当时，

2

的数′2，由，得，切点为

2526当时，的导数为′2

，由

22

，可得舍，

144144切点为

，入

，解得；由图象平移可得的大值是．

26

，故选：讨论1时，运用绝对值不等的解法和分离参数，可得关的等式，再由二次函数的最值求出的范围；当1时，同样可得关的等式，再由基本不等式求的范围，取交集可得所的范围．另解：作出(的象和折线|

1

，利用导数求得函数切的斜率与切点，结合题意求的值范围．本题考查了分段函数的应用以及不等式恒成立问题，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转思想．12.答：+2解解数(−

,1,

(1)数的周期为数

，的零点，就是与图象的交点的横坐标，关于点中对称，将函数两次向右平个位，得到函在上图，每段曲线不包含右端如下，去掉端点后关于中对称．又

1

关于中对称，故方程(在间上根就是函和的点横坐标，有三个交点，

121312311112111112131231111211111222自左向右横坐标分别，，，其中和关中对称，，1，132故．故选：．把方程(在间上根转化为函和的点横坐标，画出函数图象，数形结合得答案．本题考查分段函数，函数平移，零点与方程根的关系，属于中档题．13.

答：解：：扇的中心角为弧，半径，𝑟211，22故答案．直接利用扇形的面积计算公式，即可求解．熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．14.答：解：：−2，

2

2

，

2

2

，22故答案为：．

1+()424

．由已知2

1+𝑥2

2

，此根据2，求22本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答：+解：：函

2，

，那么

+

(．故答案为：

+

直接相乘即可，一定要注意定义域．本题考查了求函数解析式，要注意定义域，属于基础题．16.

答：，，解：本题考查了余弦函数的图象与性质，分类讨论思想，属于中档题．

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋对的符号进行讨论利用符合函数的单调性及余弦函数的单调性列不等式组求的区间令,为(单调减区间的子集解的围．区间43解：当时令𝜋𝜋，得函数在区,单调递减，43

，，{

𝜋4𝜋3

𝜋

𝜋

，解得{+

，，3或．当时令𝜋𝜋𝜋，得

𝜋

，，函数在区,单调递减，43{

𝜋4𝜋3

𝜋𝜋

−，解得{

，，，，综上，的值范围是−4]，{．故答案为：，，{．17.

答：：集{，{1,2,3,4,5,6}{2,3,4}.．{3,4}𝐶{1,5,6}{1,3,4,5,6}(3)，．解：首根据集合进化简，用列举法表示集，；后求；由得再与求集根得的，后求出．本题考查交并补集的混合运算，通过已知的集合的全集，按照补集的运算法则分别求解，属于础题．18.

答：：，，

7

，

，727𝑖2𝜋，272234eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)，727𝑖2𝜋，272234eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)，，eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

4222

4，得，由余弦定理可得．

22222，(2)

𝑖

𝑖

，

2

，，2)2𝐴

42

．27解：根已知条件，用三角函数的同角公式，可𝐵

，即可

22

4

，解得，结合余弦定理，即可求的．根已知条件，运用正弦定理，可得

，再结合三角函数的同角公式和正弦函数的两角差公式，即可求解．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属中档题．2,19.

答：：