2020-2021学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

))20202021年北京市西城区一（下）期末学试卷一、单选题（本大题共10小题共40.0分

设向量，则⋅)

B.

C.

D.

B.

C.

D.

在复平面内z对应的点如所示B.C.D.

某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3，则该圆锥的体积为

B.𝑐

C.

D.

函数

的小正周期是

B.

C.

D.

若，,，则符合条件的有

B.

C.

D.

个

函数其中，，图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是

B.

C.

8

D.

𝑖)8

向量𝑠与

=(的角

B.

C.

D.

在中内角B对的边分别为和b，𝑖第1页，共页

，，C.

充分不必要条件充要条件

B.D.

必要不充分条件既不充分也不必要条件已单位向量

满足

⋅

若非零向

中x，则的最大值为

43

B.

3

C.

D.

33二、单空题（本大题共5小题，25.0分1+2𝑖设数，则．𝑖已半径为r的的表面积为3

半径为r的的表面积为

．在eq\o\ac(△,)中所的边分别为若𝑖𝑛𝐵

______．已向，满|𝑏4𝑏)那么______．设数𝑠𝑖，

，以下四个结论．函周期函数；函图像是轴对称图形；函⋅的图像关于坐标原点对称；函存最大值．其中，所有正确结论的序号______三、解答题（本大题共6小题，85.0分已t．4Ⅰ求的；Ⅱ求的值．如在四棱柱

中

平𝐵，，且，．Ⅰ求棱的积；第2页，共页

Ⅱ求：平

；Ⅲ求：

D在中，，，Ⅰeq\o\ac(△,)的积；Ⅱ求

．已函同满足下列三个条件中的二个：；最值为2最正周期．Ⅰ求所有可能的函，说明理由；Ⅱ从合题意的函数中选择一个，求其单调增区间．第3页，共页

如，在正方体为的中点，O为的中点．

中，

，Ⅰ求：平面平面Ⅱ求：平ABCD

；Ⅲ设为正方体

棱上一点给出满足条的点P的数，并说明理由．设数的义域为若存在常数，𝐴，得对于任意，成，则称函具性P．Ⅰ判函和有性质P？结不要求证明Ⅱ若数具性质，其对应已，函在间上最大值；Ⅲ若数有性质P，且直线为其图像的一条对称轴，证明为周期函数．第4页，共页

第5页，共页

，．，．1.【答案】D【解析】解：向量，则⋅故选：D直接利用向量的数量积的运算公式求解即可．本题考查向量的数量积的求法，是基础题．2.【答案】【解析】解：

．故选：B．由诱导公式𝑜，由此能求出其结果．本题考查诱导公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号．3.【答案】【解析】解：由图可知，点Z对的复数，则

，故选：B．由图可得z，再由共轭复数的概得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．4.【答案】【解析】解：圆锥的母线长，底面半径长，所以圆锥的

22

，所以该圆锥的体积为

4

．第6页，共页

3𝜋𝜋3𝜋3𝜋故选：A3𝜋𝜋3𝜋3𝜋根据圆锥的母线长和底面半径求出圆锥的高，再计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．5.【答案】【解析】解：因为(

2

，所以(的最小正周期

2𝜋

𝜋2

，故选：A．利用二倍角的余弦公式化，求的最小正周即可．本题考查了二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：利用正弦函数，所以这两个函数的图象有个交点如图所示：

,的象，和函数的象，22故满足条件的角有．故选：．直接利用正弦函，

,的象，和函的象求出交点的个22数．本题考查的知识要点数的图和性质的应用要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．第7页，共页

，由𝜋，得，由𝜋，得，，，【解析】解：图象得函数的小正周为，以𝜔

𝜋

𝜋

；由图象的最高点，，，即

𝜋𝜋

．故选：．利用相邻的对称及称中求期而的用高求，．本题考查由三角函数的图象求解析式，考查三角函数的性质，属于基础题．8.【答案】【解析】解：根据题意，设两个量的夹角，向量𝑠𝑠则|，|则

，又由，两个向量的夹角，故选：B．根据题意，设两个向量的夹角，由向量的坐标可得、

的模以𝑏

的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量的夹角，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：在三角形中，，正弦定理𝑖𝑖

，得𝑖𝐵．若𝐵，则正弦定理𝑖𝑖𝐵

，得所以，是𝑖的充要条件．故选：．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用用正弦定理确定边角关系是解决本题第8页，共页

2223323𝑦𝑦233322𝜋3222223323𝑦𝑦233322𝜋32223|【案【解析】解：因为单位向量2𝜋，所以3

，满

⋅2

，2设

，,)2

，所以,,222

，所以|22

22

，所以

2

2

2

2

2当时

，当时

𝑥𝑥

22

，，令则

2

3324

，所以

2

，3所以的大值为．故选：D由单位向量

满

⋅2

出,，322进而可,，22

2

2

2

，分两种情况：时当时，求出的大值．本题考查向量的运算，最值，解题中需要理清思路，属于中档题．【案】2第9页，共页

2，2【解析】解：因为2，2

𝑖3𝑖

(12𝑖)(3𝑖)𝑖)(3𝑖)

35𝑖2

7

𝑖，所以√(

722故答案为：．2利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则模的求法了理能力与计算能力基题．【案【解析】解：由题意，

2

36，，那么半径为r的的表面积

2

2

，故答案为：．由已知球的表面积求得r进一步可得半径为2r的的表面积．本题考查球的表面积公式的应用，是基础题．【案】【解析】解：因为𝑖

2

，所以由正弦定理可得𝑖因为𝑖，所以𝑖，2又A为角，

2

𝑖，所以

．故答案为：．利用正弦定理化简已知的等式sin为边时除以sin后得到值，由A为角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出度数．此题考查了正弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．第10页，共16页

，22|2⋅，22|2⋅25+，，对称轴为2，则222【解析】解：向量

满足|，|，(

，

，|

，故答案为：．由题意，求

的值，再根据

|2

，求出

．本题主要考查向量垂直的性质和向量的模，属于基础题．【案【解析解对：因为函是期函数但周期函数，所以不周期函，故不确；

2

不对于：因为函对轴

2

，，所以是的一条对称轴，2因为(

2

22所以的称轴为，正确；2对于：因为函𝑖是于原点对称，但称，所以⋅不关于原对称，故不确；

2

不关于原点对对于：

𝑖

，𝑖𝑥，

时，2

𝑚𝑥

，因为(

2

𝑚𝑖𝑛

，所以

有最大值为，故正确．故答案为：．由函数的周期性，对称性，最值定义，逐个判断即可得出答案．第11页，共16页

𝐵𝐴𝐵𝑆⋅+𝐵𝐶𝐴𝐵2𝐵𝐵𝐴𝐵𝑆⋅+𝐵𝐶𝐴𝐵2𝐵【案】解：Ⅰ

𝜋𝑡𝑎𝑛4

，𝑡𝑎𝑛．Ⅱ𝑛2

𝑖𝑛𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛44𝜃+cos24+15

．【解析Ⅰ由意利用两角和的正切公式，计𝑡𝑎𝑛的即可．Ⅱ根据𝑛2=

𝑡𝑎𝑛

，结合𝑎𝑛𝜃=，出𝑛2的．本题考查两角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．【案Ⅰ

1

eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐷

．Ⅱ证：因为，平𝐴𝐷𝐷𝐴．所以平面𝐴

，平面𝐴𝐷𝐷𝐴

，Ⅲ证：因为底ABCD，底ABCD所以

𝐴又为𝐵𝐷，𝐵𝐷，所以平D又因为

平𝐷，所以𝐵

D【解析Ⅰ根三棱锥的体积公式求解即可；Ⅱ结合可明平𝐴𝐷𝐷𝐴

；Ⅲ结合平面𝐷可𝐴𝐵

D本题考查三棱锥体积的求法考线面平行和线线垂直的证明考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．【案】解：Ⅰeq\o\ac(△,)𝐴𝐵中由余弦定理可知：

𝐴𝐶

2

22⋅

=−，4解得：或

7

舍，又𝑐𝑜，，4

4

，

𝐴𝐵𝐶

154

；第12页，共16页

√𝑖𝑛=4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋，其增区间与𝑖相同，[√𝑖𝑛=4𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋，其增区间与𝑖相同，[𝜋,𝜋𝜋𝜋𝑠𝑖𝑛

𝑖𝑛

，则𝑠𝑖𝑛𝐶，4，为锐角，𝑠，

，4×3

4

．【解析Ⅰ根余弦定理求出的，求出C，求出三角形的面积即可；Ⅱ根正弦定理求出sinB，从而求出cosB的值，本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的数量积，是中档题．【案】解：𝑠𝑖𝑛(

𝜋

；若选，则，解不在；若选，则𝜋若选，则𝜋

，解得，，𝑠𝑖𝑛(2，解得，，𝑠𝑖𝑛(2

𝜋𝜋

；．若(𝑠𝑖𝑛(2，令𝜋𝜋,𝑘

，所以增区间为𝜋,

．若(𝑠𝑖𝑛(2

𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋](【解析分、，三情况讨论，利用三角函数的图象与性质列方程求解；令2𝑘𝜋𝜋,

得(的区间．本题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．【案Ⅰ证：在正方

中，平面，平面

，平平面

．Ⅱ证：连接，AC设，接．第13页，共16页

为正方体，

，且

2

，且是中点，又因为O是的中点，

，且，2，且，即四边形AGOE是平行四边形，所以，又平，平面ABCD所以平面．Ⅲ解满足条件的P有个．理由如下：因为𝐴所以𝐴2．

为正方体，

2，所以

2

．在正方

中，因为𝐴所以𝐴

平ABCD，平ABCD，又因为，所以𝐴

，则点O到棱的距离为，所以在上有且只有一个即中到点的离等于，同理，正方所以在正方

每条棱的中点到点的距离都等，棱上使的点P有12个【解析Ⅰ在方

中，因为平平面

，利用面面垂直的性质推断出平平第14页，共16页

．

时，在间上最大值00时，在间上最大值00

为正方体，进而可知𝐴，且

2

，且G是BD中点，又因为O是的点，所以，且

2

，所以，，四边形是行四边形为平平所平面．Ⅲ解根

为正方体

以求得所求得在正方

中，