山东省青岛市第二十四中学2022年高三数学文联考试题含解析

山东省青岛市第二十四中学2022年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等式成立是成等差数列的 （

）A．充分不必要条件

B.充要条件

C．必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：【答案解析】A

解析：若等式成立，则，

此时不一定成等差数列，

若成等差数列，则，等式成立，所以“等式成立”是“成等差数列”的．必要而不充分条件．

故选A．【思路点拨】由正弦函数的图象及周期性以及等差数列进行双向判断即可．2.过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A．2x+y﹣5=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣7=0参考答案：B【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，可得点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，求出圆心与切点连线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：如图，∵过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=r2的切线有且只有一条，∴点（3，1）在圆（x﹣1）2+y2=r2上，连接圆心与切点连线的斜率为k=，∴切线的斜率为﹣2，则圆的切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣3），即2x+y﹣7=0．故选：B．3.设集合，，则A. B. C. D.参考答案：C4.下列命题中的假命题是

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C5.函数的图像大致是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】令，则，故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除C选项.由，解得且.，排除D选项.，故可排除B选项.所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题.6.函数的零点所在区间为(

)

A．（3,+∞）

B．（2,3）

C．（1,2）

D．（0,1）参考答案：B略7.命题，，则为…………（

）A． B．

C． D．参考答案：C略8.已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A.

B.

C.

D.参考答案：C9.设i为虚数单位，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】化简题目所给表达式为的形式，由此得出正确选项.【详解】.故选C.【点睛】本小题主要考查复数乘法的运算，考查运算求解能力，属于基础题.10.命题“存在”为假命题是命题“”的(

)A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则cos2θ=．参考答案：【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．【点评】本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．12.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为

参考答案：13.二项式的展开式中的系数为_____；系数最大的项为_____．参考答案：﹣160

【分析】根据二项展开式的通项公式，求得展开式中x2的系数，再根据二项式系数的性质，求出系数最大的项．【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为．第项的系数为，要使该项的系数最大，应为偶数，经过检验，时，该项的系数最大，为240，故系数最大的项为，故答案为：﹣160；．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率为

.参考答案：【知识点】几何概型．解：由已知得半圆（a＞0）则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x轴夹角小于的平面区域面积为：S1=故原点与该点的连线与x轴夹角小于的概率P===故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案．【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．15..已知复数z满足（为虚数单位），则z的模为______参考答案：【分析】根据复数模长运算性质可直接求得结果.【详解】

本题正确结果：【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.16.已知函数，若,则实数的最小值为

．参考答案：317.是定义在R上的偶函数，则实数a=________.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2﹣8my﹣16=0．|AB|=，同理得|CF|=?．△ABC面积s=|AB|?|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．【解答】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，?b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2﹣8my﹣16=0．y1+y2=8m，y1y2=﹣16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=﹣m（x﹣2）联立得（1+4m2）x2﹣16m2x+16m2﹣4=0，xC+2=，?xC=．∴|CF|=?．△ABC面积s=|AB|?|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．【点评】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．19.(本小题满分14分)已知函数，.(Ⅰ)求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)设，，，为函数的图象上任意不同两点，若过，两点的直线的斜率恒大于，求的取值范围.参考答案：(Ⅰ)依题意，的定义域为，.(ⅰ)若，当时，，为增函数.(ⅱ)若，恒成立，故当时，为增函数.20.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。参考答案：21.双曲线的焦点分别为：,且双曲线C经过点．（1）求双曲线C的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线上，且，是点的面积.参考答案：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.22.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求sin2+cos2B的值；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，把cosB的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式求出面积的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可知，a2+c2﹣b2=2