2020-2021学年人教A版高中数学必修3学案2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线

iiii2.32.3.12.3.2

变量间的相关系变量之间的相关系两个变量的线相关学习目标1解变量间的相关关系散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点)2．了解线性回归思想求回归直线方程．(难点)

核心素养1通过对数据的分析统计培养数据分析素养．2借助变量间相关关系的研究提升数学运算素养.1．变量的相关关系相关关系的定义变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．散点图将样本中n数据点(x，y)(i＝1,2…)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．正相关与负相关①正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．②负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．2．回归线方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

^^^iiii^ii^^^^^^^^^^^iiii^ii^^^^^^^^线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．最小二乘法：求线性回归方程y＝b＋a时得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

nnnxyi1i1b＝＝，nx－n2i1ia＝－bx，其中，b是线性回归方程的斜率，a是线性回归方程在轴上的距．1．下列两变量具有相关关系的是()A．角度它的余弦值B．圆的半径和该圆的面积C．正n边形的边数和它的内角和D．居民的收入与存款D[A、B中两变量是确定的函数关系．]2．已知变之间具有线相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为()＝＋2B.＝－x＋2C.＝－2D.＝－－2B

[散点图知，变量，y间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，

^^12^^12故只有B项符合．]3．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：学科数学物理

A8070

B7566

C7068

D6564

6062则数学成绩与物理成绩之间()A．是函关系B．是相关关系，但相关性很弱C．具有较好的相关关系，且是正相关D．具有较好的相关关系，且是负相关C

[学成绩x和物理成绩的散点图如图所示．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．]4．设有一回归方程＝2－1.5则变量x增加1单位时y平均减少________个单位．1.5

[为＝2－x所以变量每增加1单位时－＝[2－1.5(＋1)]－－1.5x＝－1.5所以y平均减少个单位．]【例1】

相关关系及判断某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示．年龄x岁)身高y

178

287

398

4108

5115

6120画出散点图；判断与x否具有线性相关关系．[]

散点图如图所示．

由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为与x具有线性相关关系．相关关系的判断方法有相关关系的判断方法①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；③经验法：借助积累的经验进行分析判断.和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响[进训练]1．下列关中，属于相关关系的是_填序号)．①正方形的边长与面积之间的关系；②农作物的产量与施肥量之间的关系；③出租车费与行驶的里程；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．②④

[①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．]求回归方程[究问题]1．任意两统计数据是否均可以作出散点图？[示]

任意两个统计数据均可以作出散点图．

^^^^^^ii^^^^^^ii2．任何一数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？[提]

用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系，否则求回归方程是无意义的．3．回归系b含义是什么？[示]数．

(1)代表x每增加一个单位，的平均增加单位数，而不是增加单位当>0时，两个变量呈正相关关系，含义为：每增加一个单位，y平均增加b个单位数；当b<0，两个变量呈负相关关系，含义为x每增加一个单位，y均减少b个单位数．【例2】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10试验，收集数据如下：零件数x个)加工时间y分)

1062

2068

3075

4081

5089

6095

70102

80108

90115

100122与x否具有线性相关关系？如果与x有线性相关关系，求关于x的回归直线方程．思路点拨：画散点图→确定相关关系→求回归直线系数→写回归直线方程．[]

画散点图如下：由上图可知y与x具有线性相关关系．列表、计算：ixy

11062

22068

33075

44081

55089

66095

770102

880108

990115

10100122

iiiiiiiiiiiiiiiixy

62036025024045057640x＝，＝91.7，1010＝x2＝＝87y＝55

10350

12200i

＝1

i

＝1i

＝1求回归直线方程的步骤，xy具有线性相关关系[进训练]2．某种产的广告费支出(单：百万元)与销售额y(单位：百万元之间有如下对应数据：xy

230

440

560

650

870

iiiiiiii^iii^^^iiiiiiii^iii^^^画出散点图；求回归方程．[]

散点图如图所示．列出下表，并用科学计算器进行有关计算．ixyxyx2

1230604

244016016

356030025

465030036

58705606455x＝5，y＝50＝145y＝1i

＝1i

＝1于是可得，b＝

5y5xi152－52

＝

15×5×50145－5×52

＝6.5i

＝1a＝－x＝－6.5×5＝于是所求的回归方程是＝＋【例3】

回归方程的应用为了解某地区某种农产品的年产量(单位：吨对价格y单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：xy

18

26

35

44

52已知x和y具有线性相关关系．求，y；

^^^5^^^^^^^^^^^5^^^^^^^^求关于x的线性回归方程y＝bx＋a；若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．[]

计算可得＝

1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋2＝，y＝＝5.因为线性回归直线过(x，y)，则＝y－bx＝－(－1.4×3)，故y关于x的线性回归方程是y＝－1.4＋当＝4.5时，＝－×＋9.22.9(元/吨)．利用线性回归方程解题的常见思路及注意点的中心，可以求参数问题，参数可涉及回归方程或样本点数据.的意义，分析实际问题，此时需关注两点①得的值只是一个估计值，不是精确值②量y成线性相关关系时性回归方程才有意义则即使求出线性回归方程也是毫无意义的，用其估计和预测的量也是不可信的[进训练]3．在一段间内，分5次测得某种商品的价格x万元)和需求量(之间的一组数据为价格x需求量y

1.412

1.610

1.87

25

2.23根据上表数据，求出回归直线方程y＝x＋a试根据(中求出的回归方程预估当价格为1.9万元时，需求量大约是多少吨？

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^000[]

1因为＝×9＝1.8，y＝×＝7.4，51．判断变之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关．2．求回归线的方程时应注意的问题知道与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．用公式计算b的值时，要先算出b，然后才能算出3．利用回方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程＝＋，则x＝x处的估计值为y＝bx＋a.1．判断下结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系．回归直线方程一定过样本中心点．

()()

^^^^^^^^iiiiiiii^^^^^^^^^iiiiiiii^i(3)选取一组数据的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程一定相同．

()[案]

×

√

×b(

2．对有线相关关系的两个变量建立的回归直线方＝a＋bx中，回归系数)A．不能于0C．不能等于0

B．不能大于D．只能小于0C

[b＝0时，不具有相关关系，b可以大于0也可以小于0.]3若施化肥量(千克亩)与水稻产量(千克/亩的回归方程为y＝5＋当施化肥量为80克/时，预计水稻产量为亩产_克左右．650

[＝80，y＝40025042019年元旦前夕某市统计局统计了该市10家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x万元)

267

8

10年饮食支出y万元)

0.