2020-2021学年上海市虹口区复兴高级中学高一上学期期中数学试题

学年上海市虹口复兴高级中高一上学期中数学试题一单题1若

a,

，则列等成的（）A

B．a

C

2

ab2

D

c|【答案C【分析】取特殊值可判断错；由不等式性质可判断C正.【详解】对于A，若

a

，则

11ab

，故A错；对于若

，则

，故错误；对于，为

+1>0，

c

ab，若a则，故正；c对于D，c故选：

0，则a||c|，故D错2线y，x，

及函

yx

将角标第象分8个部（如图示那幂数

y

的像第象中过）A③

B．⑧

C④

D①【答案D【分析】根据幂函数的性质即可【详解】解：在直线，

x

的左侧，幂函数的指数越大越接近于轴，yx

在

x

的左侧位于

yx

左侧，故经过⑤在直线

x

的右侧，幂函数的指数越小越接近于轴第1页共14页

yx

在x的侧位于y上下方，故经故选：D.3无数发数危机直续19世直年德数家戴金连性要出用理的分割来定义理（称德分）并把数论立在格科基上才束无数被为无理的时代也束持续多年数史的一大机所谓德分是将理集

划为个空子与

且足NQ

，

，M中的每个素小

中每个素则

(M,)

为德分试断对任一德分

(M,)

下选中不可成的（）A没最元,N有个最元

没有最元也有小素C有个大素N有个小元．有个大元N没有小素【答案C【分析】由题意依次举出具体的合

M

，从而得到

A,D

均可成立．【详解对，若

xQ|，NQ0}

；则没有最大元素，

有一个最小元素0故A正；对，若M

2}，N|x2}；M没有最大元素，也没有最小元素，故B正；对，有个最大元素，有个最小元素不可能，故C错；对D，

xQx0}x0}

；M有一个最大元素，N没最小元素，故正确；故选：．【点睛本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．4已

(x)|x

，对意零数a，，m，，，则于的程mf(xnf(x)

的集可为）A

{2020}

B．

{2020,2021}

C

{1,2,2020,2021}D．{1,5,25,125}【答案D第2页共14页

12121122121112331【分析】根据函数f）的对称性，因为12121122121112331

2

的解应满足y＝

，y＝

，进而可得到

nf

的根，应关于对称轴x对，对于D4数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．【详解对称

f

关于直线x令方程

的解为f（（）则必有

（x）＝y＝

，

（x）＝y＝

y＝y，y＝与fx有交点，由于对称性，则方程＝

的两个解x，要关于直线x对，就是说

同理方程y＝

的两个解x，也要关于直线x对那就得到x+x

，若方程有个解，则必然满足xx，而在D中{1,5,25,125}找到这样的组合使得对称轴致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的故答案D可能故选：D【点睛点考函数对称性的应用的键是得出

f

关于直线x对称，从而得出方程的解也对称，并满足二填题

x13

5方组

xyx

的集_______【答案】【分析】解方程组得

4,y

，再根据方程组的解集为点的集合即可得答案【详解】解：解方程组

xyx

得

，第3页共14页

,b,b故方程组的集为：x

故答案为：

6已实x满足x，x

_______．【答案】2【分析】先对

两平方得x

2，再根据立方和公式求解即.【详解】解：由

两边平方得x

2，所以根据立方和公式得：

故答案为：2【点睛】本题解题的关键在于熟的识记立方和公式

a

33

2

2

7对是数a、b，“”是的条．b【答案】充要【分析】由充分条件和必要条件定义判断即可【详解】解：因为，知同，且为正，即，当时，有，所以是的要条件，b故答案为：充要8若、是元次函x

2

x的两个数，

1

_______．【答案】4【分析】由于

1

1

，所以利用根与系数的关系直接求解即可【详解】解：因为、是元二次函数x，所以

2

x的个实数根，第4页共14页

所以

1

，故答案为：4．知

11,,1,2,32

，若幂函

yx

的像于点心称且

上严递函，a_______【答案】【分析】由幂函数的性质即可判【详解】解：

幂函数

yx

的图像关于原点中心对称，x

是奇函数，

为奇数，又

yx

在为格递减函数，

，故

故答案为：．知a，

b2log23

，有列个论①

a

；

；

；

其所正结的号_【答案】②③④【分析先指数与对数的互化将a、再进行对数运算得出结论.

b2log2化为alog12、33

【详解】解：由

b2log23

得a12b43216则a333aloglog33

故答案为：②③④.【点睛】本题考查指数、对数运考查运算求解能力与推理论证能．关于的等

ax

，集

(

，关x的等

x

的集第5页共14页

11．11【答案】

【分析】先由不等式

ax

的解集是

，得出

，

，再由分式不等式的解法即可求解.【详解】解：

ax

的解集是

(1,

，a

且

b，即

，不等式价于x

，解得：

，

原不等式的解集为：

故答案为：

如图方OABC的边为

函

yx

与AB交于函

x

12与交于点P，当

||CP小，的为．【答案】【分析由题意可知

,CPaa

，再利用基本不等式求

||的最小值，从而可求出a的，【详解】解：由题意可知因为，

,CPaa

，a1所以CP23

a23

13

，第6页共14页

PQ,PPQ,P当且仅当

a3a

，即a3时等号，所以当

|CP|

最小时，的值为故答案为：3．知常

261，数的图经点2

，2p

，a．【答案】6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的值【详解】解：因为函数y

2

x

2

6的图像经过点

，所以

6pap55

，整理得，

paqappap

，解得

p2pq

，因为

2

p

pq

，所以a

36因为a，以a，故答案为：619y．知＞，＞，，则的最值_．1【答案】【分析】

11

xy，所以，+yxy且＞1＞，结合基本不等式即xy可得到

9y1

的最大值．【详解解：依题意x＞，＞0且x=xy

1

xy，所以x＞，y＞1且，xy第7页共14页

所以

9y1

=

x494+=-9-4-+1yxy因为

x

4＞0＞，y所以

9y1

=-13-+）xy-13-2

xy

=-13-2

36xy

=-13-12=-25．当且仅当x=

5，y时等号成立．故答案为-．【点睛题查了基本不等式学生的计算能力确用基本不等式是关键题属于难题．．知集

{1,2}，

ax中素的数

nA

，义

f(AB)

()(Bn(A)()(B()n(A)()

．

f

，实的值围______．【答案】

【分析题得集合中么1元素么是元素情况讨论方程的根即可.【详解

等价于x

①

ax②，{1,2}

n()

，又

f

，则

n(

或3，即集合B中要么个元素，要么是3个素，（1若集合B中1元素，则方有两相等实根②无实数根，a

；（2若合中有3个元素，则方①有两不相实根②有两个相等且异①的实数根，即

2

，解得2，综上所述，a的值范围为

故答案为：

0,

第8页共14页

th23【点睛关点睛：将题目转th23

0和x2ax的根的情况是解16已

，数

f(x

，中

f()

，对意

t,1

，数

f(x

在间

[tt1]

上最值最值差超1，a的值围．【答案】

23

【分析由数单调性可得

f()

在区间

[

上的最大值

f()

最值

f(t

则可得

ata

对任意

t,1

恒成立，利用二次函数的性质即可求【详解】因为

fx)

在区间

[

内单调递减，所以函数

fx)

在区间

[

上的最大值与最小值分别为

f()，f(

，则

f()f(tlog2

1t

，得

1t

1t

，整理得

at

2

at

对任意

t,1

恒成立．令

h(t

2

，则

h(t)

的图象是开口向上，对称轴为

t

12

的抛物线，所以

ht在t

上是增函数，

at

2

t

等价于

，1即，解得2．所以的取值范围为故答案为：

，【点睛关键点睛由调性判出最大值和最小值，从而转化at2t对任意

t,1

恒成立，根据二次函数性质求第9页共14页

2Bax2三解题已全2Bax2

，合

A

（）

时求AB；（）

p:；B若是充分件求数的值围【答案）

【分析）求出集合A，B，根据补集交集定义即可求（2求出集合B，题可得B

，则列出式子即可求【详解）

A当

1919时，Bx则B

或

x

（22，若p是q充条件，B

，，解得a

或

，故a的取值范围为

【点睛】结论点睛：本题考查根必充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：（1若是q的要不充分条件，则q应集合是对集合的真子集；（2若是q的分不必要条件，则p对集合是对集合的真子集；（3若是q的分必要条件，则p对集合与应集合相等；（4若是q的不充分又不必要条件，则对的集合与p应集合互不包含．．知函

f()

，中

fx)

是数数（）

f()

的达；（）不式

log(2)aa

．第10页共14页

【答案）

f()

x

）

{}【分析数函数的定义

a合

a0,a

求a出

fx)

；（2由（）的结论，结合对数函数的性及其单调性列不等式组求解集即.【详解）x∴(x)

f(x

是指数函数，所以2，得或

(舍)，（2由（）知：

log)log33

，∴2

，解得

x

1，解集为{}

19海事援对艘事进定：以事的前置原，以北向

轴方建平直坐系以海为位度则援恰在事的南向12海里A．图现设①事的动径视抛线

x

；②位救船刻直匀前救；③援出t小后失船在置的坐为（）

t

时写失船在置的坐．此两船好合求援速的小（）救船时至是少里能上事？【答案），949海/（）25海里时【分析t

时确定的横坐标入抛物线方程可得P的坐标用，即可确定救援船速度；（2设救援船的时速为v海里，经过t

小时追上走私船，此时位置为

(7t,12t

，从而可得v关t

的关系式，利用基本不等式，即可得到结论．第11页共14页

2111【详解0.5，的坐标2111

tP

代抛物线方程x中P的纵坐标由|AP

yP

，得救援船速度的大小为949海时，两船相（2设救援船的时速为海，经过小追上失事船，此时位置为

(7t,12t

，由

(7t)

t

12)

，整理得

144(2

t

)337

因为t

2

t

，当且仅当等成,所以v

2

33725

2

，即v25，因此，救援船的时速至少是海里/时才能追上失事.．空有集S是由干正实组，合的素数不于个对任意

b

，，数abba中少一属，则称合是好集”；则称合是坏集．（）

11{1,3,9}和B是好集，是集并单明由4（）设有集中既大于的素又小1元，明集S是“坏”；（若题中

b

或b

a

都于S则称合S为“超好”求所的“超好”．【答案）

是坏集；是“好集）明过程见解析）

其中

且

【分析）据好和坏集”定义进行判断即可；（2利用小于1的有元素的最小元素以及大于1的有元素中的最小元素，根据定义以及指数函数的单调性进行证明即（3结合）中的结论，可以证明出

且.【详解）

39A且是坏；因为

x

，都有x

，x1

11111，),()2,()4416416

，所以B中任意两个元素a,，满足a数a或a中至少有一个属于B，第12页共14页

因此是“好集.（2若是S

中小于的元素中的最小元素，是S

中大于1的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性可得：

从而a

且

S，∴合S

是坏”（3显然

且，符合题意超级好集．现在证明集合S中可能存在其它元.由（）可知S可能同时存在既有大于元素，又有小于元素，不妨设

ab且

，且b为

中大于的元素中最大的元素，因此有b所以ba，矛盾，同理

a且,bS

时也矛盾，故集合S

中不可能存在其它元.因此

且.【点睛关点睛：本题考查集合的新定义问题，对于新定义的集合问题，关键是要理解新定义的内容，然后在求解问题时，利用结合集合以外的知识解答问本例中定义的好、坏”，实际上是研究素与集合的关系，中间借助指数函数的相关内容解答问题21给有个数足件：每个都大且和

L1275

．将些按下要进分，每数和大且分组步是：先从这数选这样些构第组得150与这组之的r与所可的他择比最1的r称为一余；后在掉选入一的后对下数第组选1择式成二，时余为r；如继续成三（差r第组余3差

r4

…，直第N组（余为

rN

）这数部完止（）断r，r…r的大关，指出第N组外每至含几数1（）构第

n)

组，出下每数r的大关，证nrn

；（）任满条T的有个数证：．【答案）