定积分的应用

目 录引言 1文献综述 12.1国外研究现状…………………… 12.2国内研究现状…………………… 22.3国内外研究现状评价……………… 22.4提出问题… 2预备知识 3定积分概念的提出… 3定积分的定义… 4定积分的近似计算… 5胡克定律… 6定积分的应用 6定积分在平面几何的应用 6定积分在立体几何中的应用… 7定积分在经济学中的应用… 8定积分在工程中的应用… 13定积分在物理学中的应用… 165 结论 195.1主要发现 195.2启示 20局限性 20努力方向 20参考文献 21PAGEPAGE6引言任何一个数学概念，都具有抽象性、精确性、应用广泛性．数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用.﹑运动状态的分析等等，都要用得到微积分.正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑﹑经济﹑工程﹑物理方面的中的一些应用.文献综述国外研究现状周述岐、C.H.爱德华在文献[1-2]中，具体介绍了微积分的发展历史，从微积分一些概念的萌芽到微积分的产生，再到对微积分基础的争论和研究，最后到19世纪微积分现在形势的确立．定积分是微积分的一个重要的部分，它不仅是计算区域面积或度量几何体的数学工具，而且是计算许多实际问题的重要工具.牛顿在1664年夏开始认真研究数学，首先是欧几里得的《几何原本》和笛卡尔的作引导牛顿走上了创立微积分之路．16841673记号dx、dyxy的微分dy就定义为它与dx(1)明确了求“和”和求“查”为互逆建立了一套包括指数函数、对数函数以及形为xx分基本公式；(3dyydy)的计算方法；(4)讨论了微分在求切线、法线、极大值和极小值中的应用．国内研究现状文献[3-8]专门介绍了定积分的概念及其应用，因为这些是数学教材，作者只是在数学和物理方面做了一些介绍，使我们掌握了些定积分的思想和基本用法，但非常的不完善.本文在第一部分，定积分的概念以及在数学方面的应用从中进行了选取.文献[9-13]中，介绍了一些数学在经济方面的应用，其中马敏﹑冯梅的《经济应用数学》在经济函数的边际，经济函数的变化率，贴现率，最佳值，资本存量问题，消费者剩余和生产者剩余等六个方面也都体现了定积分的思想.文章中在涉及经济方面的问题用到了这些内容.文献[14-16]中讨论了定积分在物理学方面的应用，很多例题是非常具有代表性的.本文的最后一部分就是参考它，从变力做功，物体质量方面进行了归纳．国内外研究现状评价.牛顿在微积分的应用上更.在对微积分有导数概念.虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归．国内一些书籍及资料中可以看到，有些只介绍定积分定义及一些计算定积分的方致用的目的．提出问题定积分是数学、物理、工程、技术等有关问题高度抽象的结果，它能精确解决求非均匀分布的总量这一类问题，它现在已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域．本文首先介绍定积分的产生背景以及概念，随后从数学，经济，工程，物理等方面介绍定积分的应用．预备知识定积分概念的提出曲边梯形的面积:（1-1）xaxb（abx轴及连续曲线yf(x)（f0）x轴上区间[abyf(x称为曲边.[1]yy=f(x)12inOa=xx xx01 2x xi-1 ix x=bn-1yy=f(x)12inOa=xx xx01 2x xi-1 ix x=bn-1nx,x1

[a,b]，x2

xf(xf(x间1 1 2xx处高度差别不大.1 2于是可用如下方法求曲边梯形的面积.xxx1 2

n1（axx1

n1

b）将整个曲边梯形任图1-2意分割成n图1-2ax0

xx1

xbn1 n这里取axbx.区间[a,b]被分割成n个小区间[x ,x]用x表示小区间[x ,x]0 n ii i ii的长度，S表示第i块曲边梯形的面积，(i1,2,,n)，整个曲边梯形的面积S等于ni个小曲边梯形的面积之和，即SnSii1近似代替:对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度x很小时，i每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面i个小区间[xi,xi]上任取一点i，用以[xi,xi]fi为高的小f)x，近似代替这个小曲边梯形的面积（1-2，即i iSfi

)x.i求和 整个曲边梯形面积的近似值为n个小矩形面积之和，即SS1

S2

Snf()xf()x

f(

)xnf()x1 1 2

n n i i1上式由于分割不同，选取不同是不一样的，即近似值与分割及选取有关.i i取极限 将分割不断加细每个小曲边梯形底边长趋于零它的高度改变量趋i1

f

)xi

的极限就定义为曲边梯形面积的精确值.令max{x,x1 2

,,xn

}，当0时，有Slimn0i1

f

)xi i上面的例子，最终归结为一个特定的形式和式逼近.在科学技术中还有许多同样的数学问题，解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”这是定积分概念的背景.定积分的定义设函数yf(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点把[ab分成n

ax0

xx1

xbn1 n[x,x],[x,x],[x,x],,[x

,x],,[x

,x]0 1 1 2 2

i1

n1 nx1

xx1

,x2

xx,…,x2 1

xxn

n1在每个小区间[x ,x]上任取一点(x x)，作函数值与小区间长度x的乘积ii i ii i if()x.并作和i iSi1

f(i

)xi记max{x,x1 2

,,xn

}，如果不论对[a,b]怎样分割，也不管在小区间[x

i1

,x]上点i（i2n）0时，和SI，我们称这if(x)在区间[a,b]上的定积分（简称为积分，记作bf(x)dx，即abf(x)dxIlimn

f

)x

（1）a

i ii1其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，a称为积分下限，b称为积分上限，xxi1

f)xi

称为积分和.曲边梯形的面积是曲边方程yf(x)在区间[a,b]上的定积分.[2]即Sbf(x)dx(f(x)0).a定积分的近似计算定积分是分布在间上的总体量..微元．这是“化整为定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”．定积分这种“和的极限”的思想，梯形法：[3]近似计算定积分的方法．设函数f(x)在[a,b]可积，将区间[a,b]分为n等分，分点是ax0

xx1

…xbn其中 xk

xk

hba，k=1,2,…,nnfx)yk k

, k=0,1,2,…,n近似计算定积分的梯形法公式：[3]

yybf(xdx

ba(

n1y)na n 2n

kk抛物线法：[3]抛物线法是通过曲线上相邻三点的抛物线近似代替小弧计算定积分的方法．设函数f(x)在[a,b]可积．将区间[a,b]等分为2n（偶数）个小区间，分点是：ax0

xx1

…x

x b2n1 2n其中xk-x(k-1)=(b-a)/2n.设各分点的纵坐标是f(x)yk k近似计算定积分的抛物线法公式：[3]

, k=1,2,…,2nbf(x)dxba(y

4n

2ny)胡克定律

a 6n 0

2n k

2k1

k2k力学有一种力是弹簧的弹力．当弹簧被拉直或压缩时．它就会对与之相连的物体有弹力作用，这种弹力总是力图是弹簧恢复原状，所以叫做恢复力．这种恢复力在弹性限度内，其大小和形变成正比．以F表示弹力，以x表示形变亦即弹簧的长度变化，则Fkx （1）k叫弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向总是和弹簧位移的方向相反（1）被称为胡克定律.[4]定积分的应用定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形，梯形等比较规则的图形面积，然而对于不规则的图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面定积分的出现为这些问题，提出了很好的解决条件.[5]2一般地，由上、下两条连续曲线y=f (x)与y=f (x)以及两条直线x=a与x=b(a<b)所21围成的平面图形，它的面积计算公式为Aba

f(x)2

(x)dx （1）1例1.求由抛物线y2x与x-2y-3=0所围成平面图形的面积AQ2-1P(1,-1)Q(9,3).用X=1（1）分别求得它们的面积为p4A1 X(X)dx21xdx41 0 0 3A9(xx3)dx282 1 2 3AAA

32

图2-11 2 3定积分在立体几何中的应用（1）由截面面积函数求立方体体积设xx=ax=b为了方便起见称为位于[a,b]上的立方体.若在任意一点x[a,b]处作垂直于xxA(x),x[a,b],并称之为的截面面积函数.则通过定积分的定义，得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转V=bA(x)dx[6]a例2.求由椭球面x2y2z21所围立体（椭球）的体积.a2 b2 c2解:以平面xx(xa)截椭球面，得椭圆（它在 yoz平面上的正投影）：0 00y2b2(1x20a2

z20c2(1x2)0a2

1.A(x)=bc(1x2,x[-a,a].于是求得椭球体积a27PAGEPAGE15Vabca

x2 a24

4abc3显然，当a=b=c=r时，这就等于球的体积 r3.3（2）旋转曲面的面积Cy=f(x,x[a,b](f(x)0).xs=2bf(x)1f'2(x)dx[7]aCx=x(t),y=y(t),t[y(t)0,那么CxS=2y(t)x'2(t)y'(t)dt.3.x2y2R2xx1

][-R,R]上的弧段绕x轴旋转所得球带的面积.R2R2x2

xx1 x

]上应用公式（3，得到x2S=22x

R2x2

1R2x2

dx=2R(x2

x).1x=-R,x1

1=R时，则得球的表面积S球=4R2.定积分在经济学中的应用求经济函数在区间上的增量根据边际收入，边际成本，边际利润以及产量x的变动区间[a,b]上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[a,b]上的定积分：[8]Rb)R(a)bR(xdx （1）aCb)C(a)bC(xdx （2）aLb)L(a)bL(x)dx （3）a4.已知某商品边际收入为0.08x25（万元/t5（万元/tx250t300tR(xC(xI(x（增量解:首先求边际利润L(x)R(x)C(x)0.08x2550.08x20所以根据式1、式（2、式（3，依次求出：R(300)R(250)300R(x)dx300(0.08x25)dx250 250C(300)C(250)300C(x)dx300dx=250250 250L(300)L(250)300L(x)dx300(0.08x20)dx100250 250x例5.某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本C的变化率（即边际成本）是日产量x的函数C(x)725，已知固定成本为1000元，求总成本函数y.x解: 因总成本是边际成本的一个原函数，所以xC(x)(725)dx7x50 cxxx0C(0)1000，代入上式得c1000，于是总成本函数为xC(x)7x50 1000x例6.某产品销售总收入是销售量x的函数R(x).已知销售总收入对销售量的变化率（即边际收入）R(x3002x1004005解: 因销售收入是边际收入的一个原函数，按题意，有R(400)R(300)400R(x)dx300400(3002x)dx300

51 400(300x x2)516000（元）求经济函数在区间上的平均变化率f(t

300t2t1

f(t)dttt2 1为该经济函数在时间间隔[tt内的平均变化率.[9]21例7.某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数：tr(t)0.080.015t

.求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率.解: 由于t22rt)dt2(0.080.015tdt0.160.0t 20.160.02t20 0 0所以开始2年的平均利息率为2rt)dt2r02

2

0.08

0.094例8.某公司运行t（年）所获利润为L(t)（元）利润的年变化率为L(t)3105t1（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解: 由

28Lt)dt83105tdt2105t1)3 381028 53 3 3所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为8Lt)dt383

7.6105（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利7.6105元.由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t（年）ft)（万元，年利率为rft)ert，则应用定积分计算，该项目在时间区间[a,b]上总贴现值的增量为bf(t)ertndt.aA（万元，竣工后的年收入预计为a（万元年利率为rTaertdtA0T（年）称为该项工程的投资回收期.[10]例9.某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期.解:这里A1000，a200，r0.08，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为T200e0.08tdt0

2000.08

e0.08tT0

2500(1e0.08T)令 2500(1e0.08T)=1000，即得该工程回收期为1 1000 1T

ln(1 ) ln0.6=6.39（年0.08 2500 0.08利润、产量与开工时数的最佳值的确定例10. 某厂生产一种产品，年产量为x吨时，总费用的变化率（即边际费用）为f(x)25x8（单位：百元/吨3000少产品工厂利润最大，并求出年利润的最大值解: 总费用是边际费用的原函数，故C(x)x(0.25x8)dx0.125x28x0R(x)30x（百元，又由L(x)＝R(x)C(x)22x0.125x2则 L(x)220.25x令L(x)0，得x88（吨）.驻点唯一.此时L(88)0.250，由实际问题可知，当x88时，L(x)取得最大值L(88)22880.125882968(百元).因此，年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元.例11.某工厂生产一种产品，每日总收入的变化率（即边际收入）是日产量xR(x)300.2x（单位：元/件）.30解:由题意R(x)x(300.2x)dx30x0.1x2，0令R(x)300.2x0，得x150，Rx)0.20，因为R(xx150x150R(x取R(150301500.115022250.150件，此时R150)2250（元完成150件产品需要的工时为1505（小时30品5小时，就使每日收入最大，最大值为2250元.资本存量问题例12.资本存量ss(t)是时间t的函数.它的导数等于净投资I(t).现知道净投资tI(t)3t

（单位：10万元/年）.求第一年底到第四年底的资本存量.解: 因资本存量s是净投资的一个原函数，故s(4)41

34tdt2t21

＝14（10万元）所以，第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元.13.t的函数5f(x)14.t4（单位：万元/年1000年时间？解: 依题意510004x14.54即4100058[(4x)94

t4944]9由此，得

9(4x)4

9000494584解此方程，得

4x9.9993x6.所以，从第五年积存1000万元现金约需6年.消费者剩余和生产者剩余在自由市场中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述，它的状态可在如图上直观表现如下：p的经济意义是供应者会生产此商品的最低价.0p是消费者会购买此种商品的最高价.1qP*和平衡1数量q*，两条曲线在(q*,p*)相交.[11]消费者以平衡价格购买了某种商品，他们本来打算出较高的价格购买这种商品，消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数.用积分式来表达就是：消费者剩余q*Q0 d

(q)dqp*q*＝曲边三角形Mp1

p*面积.生产者以平衡价格出售了某种商品，他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品，生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入.用积分式表达就是生产者剩余p*q*q*Q0

(q)dq＝曲边三角形Mp0

p*面积.定积分在工程中的应用定积分中值定理定积分中值定理作为定积分的一个重要性质，计算河床的平均深度时，应用定积分中值定理知识.此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中，主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度，以此用作河流测流、工程设计或施工的一（B（h（hh1ba1

bf(x)dx(m).a例14.设一河流的河面在某处的宽度为2b，河流的横断面为一抛物线弓形，河床h的最深处在河流的中央，深度为h，求河床的平均深度.h分析：首先，选取坐标系使x轴在水平面上，y轴正向朝下，且y轴为抛物线的对hh深度.h

x2b2解：河床的平均深度h

1ba

bf(x)dx=2h.a 3定积分的近似计算知识的应用过水断面面积，进而计算截面流量（即渠系测流）Q＝V/t（m3/s）.在水利工程中，流量的计算通常运用公式Q=sv(m3/s)，（s）与流速的乘积.15.24法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流.002 4 6y0 y1 y2 8 101214161820y102224y11y12xy图4-1分析：根据灌溉管理学知识，首先选择测流断面，确定测线.测流断面选择在渠段12（与断面起点桩的水平距离；测线深度，用木制或竹制的测深杆施测，从渠道一岸到对岸2v=0.60m/s.第四，近似计算渠道过水断面面积和流量.. 测线深度施测数据表 （单位：m）xxi0246810 12 14 16 18 20 22 24yi00.5 0.7 1.0 1.5 1.6 1.9 2.2 2.0 1.7 1.3 0.8 0解答：抛物线法：A≈30.67m2Q=18.40m3/s.：A≈30.40m2Q=18.24m3/s.微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛，求解物体所受液体的侧压力，应用水压力的大小，作为设计或校核闸门结构的一个重要依据.水闸是一种低水头水工建筑湖泊岸边，在水利工程中的应用十分广泛.闸门是水闸不可缺少的组成部分，用来调节[12]按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋圆形闸门和椭圆形闸门等.[13]闸门的主要作用是挡水，承受水压力是其作用荷载之一.运用微元法计算闸门所受水压力时，设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=f(x)＞0,(0≤a≤x≤b)x=a,x=bx.x轴正向朝下，y的密度为=1000㎏/m3,则闸门所受的水压力大小为F=ba

gxf(x)dx(N).例16.有一个水平放置的无压输水管道，其横断面是直径为6m的圆，水流正好半满，求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力.rrOyxx+dxx图4-2分析：首先建立合适的直角坐标系，如图所示，则圆的方程为x2y2r2=9.然后，运用微元法求解即可.解答：F=1.76×105N.定积分在物理学的应用变力做功WFS该通过恒力做功公式得到的．[14]例17.1m1cm0.05N1m（6-1）60cm（6-2）所做的功．6-16-2解：令起点为原点，压缩的方向为x轴的正方向，当把弹簧自原点压缩至0,0.4之间的任意点x处时（如图6-3）图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为Fx0.05x5x0.01在此力的作用下，再继续压缩一点点dx，即压缩至xdx处，由于dx很小，这个压缩过16程可认为力Fx不变，即恒力做功，则由恒力做功公式得功的微元dWFxdx积分得

W0.4Fxdx0.45xdx5x20.40.4J．0 0 2 0例18. 在原点处有一带电量为q的点电荷，在它的周围形成了一个电场．现在xaxxb荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功．xFxkq（k为静电力常量）x2电场力做功的微元dW为点电荷由任意点x处移动至xdx处时电场力Fx所做的功即dWFxdxkqdxx2则移至xb处电场力做的功Wbk

qdxkq1bkq11； a x2

xa a b移至无穷远处电场力做的功Wka

qdxkq（xa处的电位．x2 a例19.15m20m10m满的水全部抽干，需要做多少功?解：水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化图6-4其中抽出任意一层水（x处厚为dx的扁圆柱体，如图6-4）功的微元dW为密度，即17

2022dW dmgx dV gx则

gx33

x dx15

22

15

22

80 1 15Wgx20 xdxgx20 xdxg200x2 x3 x40 3

0 3

9 9 020625g202125000J．求物体质量对于密度均匀的物体的质量ml

l或m

A、mV，这时密度是常量；A但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法．[15]例20.一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量解: 建立如图6-5坐标系则xkykR2x2 0ly xR2x2ds dx2dy21y2dx

图6-5R dxR2x2dml

xdskR2x2

RR2x2

dxkRdxmRkRdx2kR2．R例21.设有一心脏线r1cos形的物质薄片，其面密度A此物质薄片的质量．18

2cos，试求dA

1r2d 1cos2d12 21dmdA2cos11cos2145cos2coscos3A 2 212 m 20

45cos2cos2