1995年全国统一高考数学试卷(理科)

122313323113y＝x19５122313323113y＝x一、选择题（共小题1-10每小题4，1１－１5每小题满分6５分1分)已知I为全集,集合Ｍ，I,若MN=N,则)A．B．ＣD．2分)（２０7奉贤区一模)函数

的图象是（

)B.

Ｃ.D.3分)函数ｙ=4ｓｉn（3x+)+３ｃ３x+

）的最小正周期是(）Aπ

Ｂπ．

Ｃ.D．4.（4分）正方体的表积是a

,的顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是(

)A．B．πa2

Ｄ3a．５.(４分）若图中的直线l，ｌ,ｌ斜率分别为k,k，k，则()３１Ａ＜k<kＢｋ<k＜kC<ｋ＜Ｄk＜k<k１２．．．6．４分）(20０８湖南)在（﹣x)(１x）A９B.﹣２52C97

展开式中，x5系数是)Ｄ2０7．7.（4分使ａｉｎx＞arccosx成的x的取值范围是（)A．B.Ｄ［1,0）８.4分２008西城区二模）双曲线３2﹣y23渐近线方程是（）y=3xB．

C.y=D.

ｙ=x9.(4分)已θ是第三象限角，且sin

4

θ＋cｏ

4

=，那么sin2等于（）

nnnn11111nnnn11111111

B．

C.D．1０分０•市中区二模)已知直线l平面α,直线ｍ面β,出下列命题①αβ=lm；②αβ⇒∥m;③l⇒αβ;④l⇒α∥β其中正确命题的序号是()A②③B.②③④C.①③D④１1.(5分)（荆州模拟)函数ｏg（２﹣ａx)在[０，1上是减函数,则a取值范围是(）A，１)B，2)Ｃ1,２)D.(2，∞）．1２分）等差数列{},{｝的前ｎ项和分别为S与T,若AＤ.

,

等于()1３分）用1,２,34，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共Ａ.４个B.30C40个D.６0

）１4．(５分）在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点2,离心率为则它的极坐标方程是()A．B.C．Ｄ．15分(2０１0内江二模)如图,ＡB﹣Ｃ是直三棱柱,BCＡ=9０点D分别是AB、１ＡＣ的中点若BC=ＣＡ=CC，则BD与AＦ成角的余弦值是)１１A．Ｂ．

C．

D．二、填空题（共5题每小题4分，满分２０分）16分）不等式

的解集是＿_＿＿＿

13213nn１7．分已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为13213nn

,圆台的体积与球体积之比为_＿＿．18.（４分０•许昌二模)函数y=sin(x）cｏｓx的最小值＿＿＿分)(2010郑州二模)若直线l过抛物线ｙ＝ａｘ2＞0）的焦点，并且与y轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为则a___＿_＿＿＿．20分四个不同的小球放入编号为４的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有

___＿__＿＿_种（用数字作答）三、解答题(共小题满分分)２１．(7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z，,Ｚ，O(其中O２是原点）,知Z对应复数．求Z和Z对应的复数.22.(10分）求in

２

20+

2

５0＋２0cｏｓ５0的值.23分）如图圆柱的轴截面正方形点Ｅ在底面的圆周上，AFDE是垂足．(1）求证:AＦDＢ;２）如果圆柱与三棱锥Ｄ﹣ABE体积的比等于3，求直线ＤE与平面ＡBC所成的角.24分某地为促进淡水鱼养殖业的发展将价格控制在适当范围内决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.淡水鱼的市场价格为ｘ元/克,府补贴为t元／千克根据市场调查当≤x≤１4时,淡水鱼的市场日供应P克与市场日需求千近似地满足关系=1００＋﹣８8,t０),Q=５00

（8x≤当P＝时市场价格称为市场平衡价格．(1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域（2）为使市场平衡价格不高于每千克10，政府补贴至少为每千克多少元？25分)设a}由正数组成的等比数列，S是其前项和．（1)证明

;（2)是否存在常数c>0，使得

成立？并证明你的结论.

26２分)已知椭圆

,线．Ｐ是l点，射线交椭圆于点R，又在OP上且满足|ＯＱ•｜=|OR|，当点ｌ上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线1９９5年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(共５小题１－１每小题分,11-15每小题５,满分65）1分)已知I为全集,集合M，⊂若MN=N，则（)A．ＢＣD.．．考点:分析:解答:

集合的包含关系判断及应用根据题意，做出图示依次分析选项可得答案．解:根据题意，若M∩则N⊆做出图示如图,分析可得，必有故选Ｃ．

,点评：

本题考查集合间关系的判定，要根据图示，简单直接的解题.２4分）(2007奉贤区一模）函数y=１+Ａ.B．Ｃ

的图象是（D.

)考点:专题：

函数的图象与图象变化数形结合．

２２131２２131

把函数y＝的图象先经过左右平移得到ｙ=

的图象,经过上下平移得到y＝

+1图象．解答：

解：将函数y=的图象向右平移１个单位得到ｙ=

的图象,把y=

的图象向上平移一点评:

个单位,得到y=+1图象,故选A．本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．3.（４分函数＝4sin(3x+

）+3cｏｓ(3x+

）的最小正周期是（）Aπ

B.2

C.

D．考点:专题：分析:

函数ｙ=Asin(＋φ的图象变换；三角函数中的恒等变换应用.计算题．先根据三角函数的辅角公式将函数化简为y=Asin（ｘ+的形式，再由T=

可得到答案.解答:

解：∵ｙｉｎ

)+3coｓ（＋）５ｓin（3x+

＋φ中sin，ｏφ＝）点评:

∴T=故选C．本题主要考查三角函数最小正周期的求法,即先将函数化简为=Ａ（ｗρ）的形式再由T=

确定结果．4.(4分)正方体的表面积是ａ它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是

）A．B.π

Ｄ.3a2考点:专题:分析:解答:

球内接多面体．计算题.设球的半径为R,则正方体的对角线长为２利用正方体的表面积求出与球的半径的等式,然后求出球的表面积．解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为依题意知R

2

ａ

，即R

2=a

,∴S

球

=4=4•

．点评:

故选B本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径,正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力.5．４分）若图中的直线l,l，l的斜率分别为ｋ,k，ｋ则()２

133211313321131232212r01010ｋ＜＜ｋＢk＜k＜k１

2

C.k<k<k

Ｄ.k＜k<k２考点：分析:解答：点评：

直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．由直线斜率倾斜角的正切值)的定义和正切函数的单调性可得解:直线ｌ的倾斜角是钝角，则斜率k<０；１直线l与l的倾斜角都是锐角斜率都是正数，但直线l的倾斜角大于l的倾斜角，所以k>k>０，３３所以ｋｋ＜k３故选D．本题考查直线斜率和图象的关系6.(４分)（00•湖南）在(1ｘ3

）ｘ）

展开式中，x

５

的系数是（）Ａ２97﹣２52C.29７Ｄ.７．考点：专题：分析:

二项式定理的应用．计算题.先将多项式展开,转化成两二项式系数的差，利用二项展开式的通项公式求出第r+1,x的指数为5,2求出二项展开式的系数．解答：

解：１﹣x

３1+x)

=(1+x)

﹣x

3

（１+ｘ∴（1﹣ｘ

３

１展开式的x

5

的系数是(１

10

的展开式的x

5

的系数减去（

１0

的x

2点评：

的系数∵(1+x）展开式的通项为T＝Cxr＋１１令r=5，2得(1+ｘ）10开式的含x的系数为C５；展开式的含x的系数为２１０C５﹣C=25﹣０7１０故选项为D本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.7.（4分）使ｒｎx＞arcｃ成立的ｘ的取值范围是()B.D考点：专题：分析:解答：点评:

反三角函数的运用．计算题;转化思想.注意arｓinx、arc的范围以及正弦函数的单调性，利用反三角函数的性，化简不等式,三角函数的定义域,后求解即可.解:因为＞arccoｓｘ所以（ｒｃｓinx)＞ｓin(arccｏｓｘ)即：ｘ,且ｘ[,1，所以解得ｘ∈故选Ｂ．本题考查反三角函数的运用，注意函数的定义域是基础题．８4分)(２08西城区二模)双曲线3x﹣y＝３的渐近线方程是()

A=３x

Ｂ.

±ｘ

C.y=

D.

±

ｘ考点:专题：分析:

双曲线的简单性质．计算题.双曲线3x

2

﹣y2

＝3的标准形式为

,渐近线方程是

,理后就得到双曲线的渐近线．解答：解:双曲线

２

﹣y2

=3的标准形式为，其渐近线方程是整理得．故选C．

,点评:

把双曲线方程转化成标准形式后再进行求解．9.(4分）已知θ是第三象限角且

4

θｓ4

θ＝,那么ｓin２等于()A．考点：分析：解答：点评：

Ｂ.Ｄ.三角函数中的恒等变换应用．根据已知正弦和余弦的四次方和的值和要求的结论是θ，所以把正弦和余弦的平方和等于1边平方,根据角是第三象限的角判断出要求结论的符号得到结果．解：∵sin2+ｃｏs=１,∴ｎ４θｓ4２sin2cｏｓ2１,∵∴∵角是第三象限角,∴sin2θ=故选A已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式,过恒等变形或解方程求解.４分)(2014市中区二模已知直线l平面α直线平面β给出下列命题①αβ＝l⊥；②αβ⇒lm③ｌmβ;④l⇒α∥β其中正确命题的序号是（）A②③

B③④C③

D④考点:

平面与平面之间的位置关系

专题：分析:

综合题．由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l平面β再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行,也可以在平面内故②为假命题由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题;当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线在平面α内,则有α和β相交于ｍ,④为假命题．解答:

解：⊥平面α且β可以得到直线ｌ⊥平面β，又由直线m平面,以有lｍ;即①真命题;因为直线ｌ⊥平面且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面内又由直线m面β，所以l与ｍ，可以平行相交,异面故②假命题；因为直线ｌ⊥平面α且ｌm可得直线m平α,由直线ｍ⊂平β可得α⊥;即③真命点评:

题;由直线l平面α以及lm可得直线m平行与平面α或在平面内,由直线ｍ⊂面β得α与β可以平行也可以相交，即为假命题所以真命题为①③故选C．本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理定理以及推论,以一定要对课本知识掌握熟练，对公理定理以及推论理解透彻并会用（分)（201２荆州模拟）函数ｙ=ｌog（﹣aｘ在[上是减函数，则a的取值范围是(A(0，B.(0,２)，D，+∞)

）考点：专题:

函数单调性的性质.常规题型.分析：ａ>0﹣[上是减函数由复合函数的单调性可得１在利用对数函数的真数须大于解答:

０可解得ａ的取值范围解：∵＞0,∴2﹣ａx[０，1上是减函数∴y=log

u为增函数，且２﹣在[0，１上应恒大于零．点评:

∴∴1<a＜２．故答案为：C.本题考查了对数函数与其它函数复合在一起的一新函数的单调性,复合函数的单调性遵循的原则是同增异减，即单调性相同复合在一起为增函数，单调性相反，复合在一起为减函数.１2．(５分）等差数列{ａ},｛b}前n项和分别为与T，若nｎn

,

等于(

）A

Ｂ

Ｃ.

Ｄ.考点：专题:

．等差数列的前n项和极限及其运算．压轴题.

4分析:4利用等差数列的性质求得

，再求极限.解答:解:∵

点评：

∴故选C本题主要考查等差数列的性质的运用13(5分）用，，3，４，5这五个数字,成没有重复数字的三位数其中偶数共（）２４个3０个Ｃ.０个D.60考点：专题:

排列、组合的实际应用计算题；压轴题．分析:

根据题意,2进行,先分析个位数字,要求是偶数,则其个位数字为２或４有2情况进解答：点评：

而分析百位、十位，将剩下的4个数字,任取2,分配在百位、十位即可，由分步计数原理,计算可得答案．解:根据题意,求是偶数，则其个位数字为或，有种情况将剩下的４个数字,任取2，分配在百位、十位，有Ａ种情况由分步计数原理,可得共２2=24个，故选Ａ.本题考查排列、组合的综合运用注意题目中要求是偶数，要优先分析个位数字．5分极坐标系,圆的二焦点分别在极点和点离心率为它的极坐标方程）B.C．Ｄ考点：专题：分析：

简单曲线的极坐标方程．计算题;压轴题.欲求椭圆的极坐标方程根据圆锥曲线统一的极坐标方程可，从而确定它们的极坐标方程．

，只要求出几何量p解答:

解:∵椭圆的极坐标方程p椭圆的焦点到相应准线的距离，，∴

，

11111111111111111111111111111111111点评:

∴椭圆的极坐标方程是:.故填：D.本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．1５分）(2010内江二模)如图，AＢC﹣ＡB是直三棱柱，ＢCA=90,D、分别是A１１１B、AC的中点，若BＣ=CA=CC，则BD与AF所成角的余弦值是()１考点:专题:

B.D．异面直线及其所成的角．计算题;压轴题．分析:解答:

先取的中点D,连接Ｄ，D,将ＢＤ平移到D,则A就是异面直线BD与AF所１１成角，在DFA利用余弦定理求出此角即可．解：取ＢC的中点D,连接DＦＤ∴D1BＤＦ∴∠DFA就是ＢD与AF所成角１设ＢＣ=ＣA＝Ｃ=2，则＝，AＦ,DＦ１在DFAｃｏsＤＦA=故选A

,点评:

本小题主要考查异面直线所成的角考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.二、填空题（共5题，每小题4分,分２０分)16(4分）不等式

的解集是｛x|﹣2＜x＜4}.考点：专题:分析:

其他不等式的解法．计算题.化简不等式，利用指数函数的性质化为二次不等式求解即可．

解答：解：不等式

,为点评:

所以有指数函数的性质可知：８<２解得：ｘ｜﹣ｘ<4故答案为:﹣２＜x＜４本题考查指数函数的性质，二次不等式的解法，是基础题.1７．分已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且底面过球心，母线与底面所成的角为

，则圆台的体积与球体积之比为

.考点：专题:分析:解答：点评:

球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．计算题;综合题.设出球的半径，求出圆台上底面半径，圆台的高求出圆台体积球的体积即可．解：设球的半径为２，由题意可得圆台上底面半径为１，圆台的高为,以圆台的体积是：球的体积：圆台的体积与球体积之比为故答案为：本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积,考查计算能力,逻辑思维能力，是基础题.１8．分(2０•昌二模）函数y=sn（x﹣

）ｓｘ的最小值．考点：专题:分析：

三角函数的最值.计算题．先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简再由正弦函数的最值可得到答案．解答：

解：y＝ｓin（﹣

）ｓx=(ｘ﹣ｃｃosｘ=

sｉｎxcｏ﹣co2ｘ∴y=sin（x﹣

(cｓ2x＋１)=）cosx的最小值为

﹣故答案为：﹣．点评：

本题主要考查两角和与差的公式和二倍角公式的应用和正弦函数的最值查基础知识的综合应用和灵活能力.19(4分)(２•州二模）若直线l过抛物线ｙ=x截得的线段长为4，则ａ=．

ａ>０)的焦点并且与y轴垂直若l被抛物线

412131141213112专题：分析:

抛物线的应用．计算题；压轴题．先把抛物线方程整理成标准方程可得焦点坐标进而可得ｌ被抛物线截得的线段长，进而求得．解答:

解:抛物线方程整理得

2

ｙ焦点（

）点评：

l被抛物线截得的线段长即为通径长，故;故答案为.本题主要考查抛物线的应用属基础题.２0分）四个不同的小球放入编号为，3,4的四个盒子中则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答).

144考点:专题：分析：解答:

计数原理的应用.计算题;压轴题．由题意知需要先选两个元素作为一组再排列,恰有一个盒子中2个小球,从4个小球中选两个作为一个元素,另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果.解:四个不同的小球放入编号为，３，４的四个盒子中恰有一个空盒,明恰有一个盒子中有2个小球，从4小球中选两个作为一个元素同另外两个元素在三个位置全排列故共有C2A３故答案为144.

种不同的放法．点评：

本题考查分步计数原理是一个基础题解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走先选元素再排列.三、解答题（共6题，满分分）２1.(7分）在复平面,个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Ｚ,Z,Z(其中是原点）,２已知Z对应复数

.Z和Z对应的复数.考点：分析:解答:

复数的代数表示法及其几何意义．由复数的三角形式和辐角主值可直接求解．本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力．解:设Z，Z对应的复数分别为，依题设得３

点评：

＝＝采取合适的复数表达形式可给计算带来很大方便．22.（10分求sin

2

20

50＋sin2０的值．考点：

三角函数中的恒等变换应用

专题：分析:解答:

计算题.先根据二倍角公式降幂，再由积化和差公式、和和差化积化简即可得到答案.解：原式＝

＝点评：

本小题主要考查三角恒等式和运算能力．属基础题．23(1分)如圆柱的轴截面ＡBCD是正方形，点E在底面的圆周上AF⊥ＤＦ是垂足．（1)求证:⊥DB;如果圆柱与三棱锥D﹣体积的比等于3求直线ＤＥ与平面成的角.考点：专题:分析：

平面与圆柱面的截线直线与平面所成的角计算题;证明题．（1）欲证ＡＦ⊥DB，先证Ａ⊥平面Ｂ根据线面垂直的判定定理可知只需证EＢAF,ＡFＤE，且EBＤ即可证得线面垂直;２）点作⊥AＢ是垂足，连接H,易证EDH是ＤＥ与平面ABCD所成的角,三角解答：

形EDH求出此角即可．证明：根据圆柱性质ＤA平面AＢE．∵EB平面ＡBＥ,∴⊥Ｂ.∵AB圆柱底面的直径，点E在圆周上，∴Ａ⊥EB，又ＡEADA，故得EB平面DAE．∵AF面ＤAＥ，∴EBAＦ又ＡFDＥ且EB∩DE=E，故得ＡF平面DＥB.∵ＤB面DＥB,∴AFDB．（２）解：过点EEHAB，Ｈ是垂足连接ＤH．根据圆柱性质，平面ＡBＣＤ平面ＡＢＡ交线且EH平面AＢE所以ＥH⊥平面ABCD．又DH面ＡDＨ是ＥD在平面Ａ上的射影从而ＤＨ是DＥ与平面ABCD所成的角.设圆柱的底面半径为Ｒ则DＡ=AB=2，于是V圆柱＝πR

3

,

．由V:V圆柱AH=Ｒ，

D﹣

A

E

π，得EH=Ｒ，可知Ｈ是圆柱底面的圆心

DH=∴∠EDH=aｒcctgｃcｇ点评：

本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．2４分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为ｔ元／千克．根据市场调查，当8x≤14,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Ｑ千克近似地满足关系：０0０(ｘｔ﹣8)（x≥8，ｔ≥0＝(8ｘ≤14Ｐ＝时市场价格称为市场平衡价格．将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域;２）为使市场平衡价格不高于每千克10,政府补贴至少为每千克多少元？考点：专题:分析:解答：

根据实际问题选择函数类型应用题;压轴题．本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．得到方程当根的判别式≥0时,程有解,出解可得函数.后≥0原题t０≤x以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围.第二小题,价格不高于１元，得x≤求出ｔ的取值范围解:（１)依题设有1000x+ｔ﹣8）=50０，化简得5x2+(８８０）x+（4t2﹣64ｔ＋2８）=0.当判别式=８00﹣１６０时,可得x＝８﹣

±

．由≥0，≥≤ｘ，得不等式组①②解不等式组①，得0ｔ≤

,等式组②解．故所求的函数关系式为函数的定义域为[0，

]．

nnnnn+nn+2n+n+2n+2n+1nn21n+2n+111111n1111nnnnnn+nn+2n+n+2n+2n+1nn21n+2n+111111n1111nn+2２nn+2n+1nn+2n+18

≤１0点评:

化简得t2+４t﹣5解得t≥或ｔ≤﹣５，由≥知ｔ≥1．而政府补贴至少为每千克1．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法25.(12分）设{ａ}由正数组成的等比数列，S是其前项和（1）证明

；（2)是否存在常数使得

成立？并证明你的结论．考点:专题:分析:

等比数列的前n项和对数的运算性质；不等式的证明计算题；证明题；压轴题．设{}公比为ｑ，当q=1时根据S•S﹣Ｓ2求得结果小0，不符合当ｑ≠时利用１等比数列求和公式求得S•﹣S2，进而推断Ｓ•，＜2.根据对数函数的单调性１ｎ＋求得lg(Ｓ•）<lgＳ,原式得证.ｎ要使．成立,则有进而分两种情况讨论时根据(Ｓ﹣c)(Ｓ﹣c）＋=﹣c）2求得﹣ａ<０不符合题意；当≠1时求得（Ｓ﹣﹣ｃ)﹣（﹣c）１ｎ＝﹣an［a﹣ｃ（﹣ｑ)，进而推知a﹣c(1﹣q），判断出０＜＜，但此时不符合题意，最