垂径定理(第1课时)

3.3垂径定理(第1课时)圆的轴对称性

例1如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.(1)右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由．

反思：圆是轴对称图形，它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴．例2一条30m宽的河上架有一半径为25m

的圆弧形拱桥，请问一顶部宽为6m且高出水面4m的船能否通过此桥？并说明理由．解析：假设该桥恰能通过桥时，桥的半径为r，如图所示，AB表示拱桥，EF为船顶部宽，CD为船顶到水面的距离．垂径定理(连结OE，OB，设OC＝x(O为圆心)，在Rt△OBC中，r2＝152＋x2，①在Rt△ODE中，r2＝(4＋x)2＋32

②由①②，得r＝

≈29.2＞25即船恰能通过时，桥的半径为

m，而桥的半径只有25m，所以该船不能通过此桥．变式：如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是(

)A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5答案：A例3

如图，△OCD为等腰三角形，底边CD交⊙O于A、B两点．求证：AC＝BD.

垂径定理的应用解：作OE⊥CD于E.则由垂径定理，得AE＝BE.∵△OCD为等腰三角形，∴CE＝DE.∴AC＝BD.例利用尺规作图把弧AB

四等分．(正解：如图，先作AB的中垂线交AB，AB于点G，T，连结AG，BG分别作AG，BG的中垂线交AG，BG，于点M，N.(((1．圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是圆的对称轴．2．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平

分．弦所对的弧1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，OB＝5，OM＝3，则CD的长为()

A．4

B．5

C．8

D．16第1题图

2．如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB＝8mm，则圆心O到AB的距离是()

A．1mm

B．2mmC．3mm

D．4mmA组基础训练第2题图CC3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝，则⊙O的半径为()A.B．C.D.第3题图

4．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为()A．2cmB.cmC．

cmD．cm第4题图AC5．如图所示，CD是⊙O的直径，AB是弦，

OD⊥AB于M，则可得出AM＝BM，AC＝BC等结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：

．第5题图

6．如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上的一点，点E是AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8cm，DE＝2cm，则OD的长为

cm.第6题图((AD＝BD，∠ACD＝∠BCD等((3(7．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为

．第7题图

8．某市建设污水管网工程，该圆柱形污水管的直径为100cm，截面如图所示，若管内污水的水面宽AB＝60cm，则污水的最大深度为

cm.第8题图24109．如图，是一个单心圆隧道的截面，若路面AB宽为10m，净高CD为7m，则求此隧道单心圆的半径OA.【答案】设半径为x，则OD＝7－x∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝5.由勾股定理得AO2＝OD2＋AD2，即x2＝(7－x)2＋52，∴x＝，∴⊙O的半径为m.第9题图10．如图，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如图MN＝3，求BC的长．11．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的大小关系，并说明理由．第10题图【答案】∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴M，N分别为AB，AC的中点，∴，∴BC＝6.第11题图【答案】作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，∴AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.//13．如图，在Rt△AOB中，∠O＝90°，OA＝6，OB＝8，以点O为圆心，OA为半径作圆交AB于点C，求BC的长．第13题图【答案】作OE⊥AB于点E，由勾股定理AB＝＝10，又∵S△AOB＝AO·BO＝AB·OE得OE＝4.8，∵OE⊥AB，∴AE＝EC＝AC，由勾股定理AE＝＝3.6，∴AC＝2AE＝7.2，∴BC＝AB－AC＝10－7.2＝2.8.【点拨】勾股定理结合面积试求Rt△斜边上的高线，再利用垂径定理求解．B组自主提高12．已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN＝12cm，EF＝16cm，求弦MN和EF之间的距离．第12题图【答案】如图分两种情况：MN，EF分别在圆心O的同侧或异侧．作OD⊥MN于D，OG⊥EF于G，则