山东省青岛市平度朝阳中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

山东省青岛市平度朝阳中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数(a>0且)在(∞，+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是参考答案：C略2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，3a8=5a13，则Sn中最大的是(

) A．S10 B．S11 C．S20 D．S21参考答案：C考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得：等差数列的公差d＜0，结合题意可得a1=﹣19.5d，可得Sn=0.5dn2﹣20dn，进而结合二次不等式的性质求出答案．解答： 解：由题意可得：等差数列的Sn为二次函数，依题意是开口向下的抛物线故有最大值，所以等差数列的公差d＜0．因为a13=a8+5d，所以a1=﹣19.5d由Sn=n×a1+d可得Sn=0.5dn2﹣20dn，当n=20时．Sn取得最大值．故选C．点评：本题是一个最大值的问题，主要是利用等差数列的性质与等差数列的前n项和的公式以及结合二次函数的性质来解题．3.已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：D【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】通过变形可知f（x）=1++sinπx，进而可知当x∈[0，1）时，函数g（x）=+sinπx满足g（2﹣x）=﹣g（x），由此可知在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，利用对称性即得结论．【解答】解：f（x）=x=1++sinπx，记g（x）=+sinπx，则当x∈[0，1）时，g（2﹣x）=+sinπ（2﹣x）=﹣sinπx，即在区间[0，1）∪（1，2]上，函数f（x）关于点（1，1）中心对称，∴m+n=2，故选：D．4.已知函数满足：①定义域为R；②，有；③当时，．记．根据以上信息，可以得到函数的零点个数为（

）A．15

B．10

C．9

D．8参考答案：B5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（A）f(sin)<f(cos)

（B）f(sin1)>f(cos1)（C）f(cos)<f(sin)

（D）f(cos2)>f(sin2)参考答案：答案：D6.已知向量=(3，1)，=(﹣1，3)，=m﹣n（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A． [，2]

B．[，2] C．[，]

D．[，2]参考答案：B【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．7.函数的最小正周期为（

）A. B.2π C. D.π参考答案：D【分析】利用降次公式化简表达式，再由此求得最小正周期.【详解】因，所以最小正周期为.故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.8.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知所有的实验结果为：“都是白球”，“1个白球，1个红球”，“都是红球”，再根据互斥事件的定义判断．【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．【点评】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用，一般的做法是找出每个时间包含的试验结果再进行判断，是基础题．9.已知是定义在R上的偶函数，且在[0，+)上单调递增，则满足f(m)<f(1)的实数m的范围是

A．l<m<0

B．0<m<1C．l<m<1

D．l≤m≤1参考答案：C10.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是（

）A.[－2,2] B.[1,3] C.[－1,1] D.[0,4]参考答案：D【分析】根据函数的奇偶性把变换为对应函数值，再利用函数的单调性得到答案.【详解】函数在为奇函数．若，满足则：函数在单调递减即：故答案为D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为

．参考答案：1512.已知，，，。根据以上等式，可猜想出的一般结论是

；参考答案：，13.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.参考答案：取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。14.已知函数f（x）=，若f（a）＞f（2﹣a），则a的取值范围是

．参考答案：a＞1【考点】函数单调性的性质．【分析】函数f（x）=在R上单调递增，利用f（a）＞f（2﹣a），可得a＞2﹣a，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=在R上单调递增，∵f（a）＞f（2﹣a），∴a＞2﹣a，∴a＞1，故答案为a＞1【点评】本题考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．15.（5分）（2015?西安校级二模）将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第10组中的第一个数是．参考答案：345【考点】：归纳推理．【专题】：规律型；归纳猜想型．【分析】：根据前三个分组中的第一个数分别为1，3，27，可以归纳每一组的第一个数的规律，利用归纳推理进行归纳．解：根据分组的第一个数分别为1=30，3=31，27=33，可知指数的指数幂分别为0，1，3，6，设指数幂构成数列{an}，则a1=0，a2=1，a3=3，满足a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…a10﹣a9=9，等式两边累加得，a10﹣a1=1+2+???+9=，即a10=45，所以第10组中的第一个数是345．故答案为：345．【点评】：本题主要考查归纳推理的应用，观察数组第一个数的规律，是解决本题的关键．16.已知O是锐角△ABC的外接圆的圆心，且，其外接圆半径为R，若，则m=

．参考答案：考点：正弦定理；平面向量的基本定理及其意义；与圆有关的比例线段．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：先把等式中向量用表示出来，然后两边同与向量作数量积运算，结合正弦定理化边为角即可求得m值．解答： 解：由，得=，两边同时乘向量，得+=，即+=﹣mR2，所以+=﹣，由正弦定理可得，m，所以﹣2sinCcosB﹣2sinBcosC=﹣m，即2sin（B+C）=m，也即2sinA=2sin=m，所以m=．故答案为：．点评：本题考查平面向量的基本定理、向量数量积运算、正弦定理等知识，本题解答的关键是两边同乘向量，具有一定技巧．17.已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为．参考答案：钝角【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；解题思想；综合法；解三角形．【分析】由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，从而A1，B1，C1均为锐角，从而得到△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，推导出π=，不成立，从而△A2B2C2是钝角三角形，由此能求出两个三角形六个内角中的最大值为钝角．【解答】解：∵△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，∴由题意可知cosA1=sinA2，cosB1=sinB2＞0，cosC1=sinC2，∴A1，B1，C1均为锐角，∴△A1B1C1为锐角三角形，∵A1，B1，C1∈（0，），∴cosA1，cosB1，cosC1∈（0，1）∴sinA2，sinB2，sinC2∈（0，1）∴A2，B2，C2≠，∴△A2B2C2不可能是直角三角形．假设△A2B2C2是锐角三角形，则cosA1=sinA2=cos（A2），cosB1=sinB2=cos（﹣B2），cosC1=sinC2=cos（﹣C2），∵A2，B2，C2均为锐角，∴﹣A2，﹣B2，﹣C2也为锐角，又∵A1，B1，C1均为锐角，∴A1=﹣A2，B1=﹣B2，C1=﹣C2三式相加得π=，不成立∴假设不成立，△A2B2C2不是锐角三角形综上，△A2B2C2是钝角三角形．∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．故答案为：钝角．【点评】本题考查两个三角形六个内角中的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题14分）长方体中，，，

是侧棱的中点.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求异面直线与所成角的大小；

参考答案：解：（1）依题意：，，则平面.

┈┈┈┈┈┈4分（2）--8分(3)（文）取的中点F,连接D1F,则//D1F,所以即为求异面直线与所成角。在中，可求得=┈14分

(理)取的中点，连，则、，所以平面.过在平面中作，交于，连，则,所以为二面角的平面角.在中，┈14分（用向量做同样给分）19.（12分）（原创）已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，其离心率为，且与轴的一个交点为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知椭圆C过点，P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线，到的距离分别为.探究：是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由(提示：椭圆在其上一点处的切线方程是)；（3）求（2）中的取值范围.参考答案：【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.H5H8(1)或（2）见解析;(3)解析：(1)由题，，因为椭圆C与轴的一个交点为，则若，则，则椭圆C方程为；若，则，则椭圆C方程为.故所求为者或（2）因为椭圆C过点，故椭圆C方程为，且设，则的方程是，则，因为，故，故，又因为，代入可得，故为定值；（3）由题因为，故.【思路点拨】（1）由离心率为得到,而椭圆C与轴的一个交点为，则分类分析可得结果;（2）由已知条件确定椭圆方程为,然后找出的表达式,再结合,可得结果为定值;（3）由题意求出其表达式,借助于可得结果.20.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知，，，E为DC上一点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证明，再利用线面平行的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】解：（1）证明：由题意可知，∵，且，

∴，，

故四边形为平行四边形，

∴，，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵平面，平面，

∴平面.（2）由已知直四棱柱，且，则两两垂直，如图建立空间直角坐标系：则设面的法向量为，又则，令，可得；设面的法向量为，又则，令，可得，设二面角的平面角的大小为，由图可知为锐角，则，，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查向量法求二面角，是中档题.21.用水清洗一堆水果上残存的农药，假定用1个单位的水可清洗掉水果上残存农药量的50%。用水越多，清洗越干净，但总还有极少量农药残存在水果上。设用x个单位的水清洗一次水果后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比记为函数。

（1）请规定的值，并说明其实际意义。

（2）写出满足的条件和具有的性质。

（3）设，现有个单位的水，可以清洗一次，也可以把水等分成2份后清洗两次，说明哪种方案能使水果上残存的农药量较少。参考答案：解析：（1）设，表示未清洗时水果上残留的农药量。

（2）满足：

，，

具有的性质：

在［０，）上单调递减，且

（3）方案1：用m个单位的水，仅清洗一次

因为，所以

所以用m个单位的水，仅清洗一次，则水果上残存的农药量为

方案2：把m个单位的水等分成2份来清洗

因为

又表示用x个单位的水清洗一次后，残存的农药量与本次清洗前残存的农药量之比，所以用个单位的水清洗以后，水果上残存的农药为

；

再用个单位的水清洗后，水果上残存的农药量