1984年全国统一高考数学试卷(理科)

1984年国高数卷(科)

0.51984全国统一高数学试（理科）0.5一、选题（共5小题每小题3分满分15）（分）数集（）π，整数与数集Y={（±1π，是整数}之间的关系（）AX⊂Y

BX⊃Y．X=Y．X≠Y2（分）如圆

+y2

+Gx+Ey+F=0与轴相切于点，那（）AF=0，G≠，．E=0，CG=0，，DG=0E=0，E≠G≠E≠F≠03（分）如n是正整数那么A一是零一是偶数C是数但不不定是整一定是数4（分）arccos（﹣x大于arccosx的充条件是（）A∈（，]B∈（﹣1，x∈[0，1]D．

的值（）5（分）如θ是二象限，且满足，那么（）A是一象限角B是三象限角C可是第一象限，也可是第三象限D是二象限角二、解题（共15小，满分）6（分）已圆柱的面展开图是长为2与4矩形，求柱的体．7（分）函log（28（分）求程

在什么间上是函数？的解集9（分）求子（|x|+

﹣2）3

的展开中的常数项10）求

的值．（分）要排一张个歌唱节目和个舞蹈节目演出节单，何两个蹈节目不得邻，问有多种不同的排（只要写出式子，必计算12）设

画出函y=H（x1）的图．

1212121n1n13）画1212121n1n

的曲线14）已知三个面两两交，三条交，求证这三交线交一点或互相行．（）设d，x为实≠，x为未知，讨论程

在什么况下有解，有解时出它的解．（分）p≠0，系数一二次方程2﹣2pz+q=0有两个数根，、再设zz在复平面内的对点是Z，Z，求以Z，Z为焦点且经原点的圆的长轴的．17）求经定点M，2以y轴准线，心率的椭的左顶点的迹方程在△ABC中∠∠∠所的边分别为，，c=10，的内切上的动点，点P到顶点A，B，的距离的方和最大值最小值．19）设＞2给定数{x}，其中x=a，

P为△ABC求证：（）＞2，

；（）如果≤，那么

．20如图，知圆心为O半径为圆与直l相切于点，一动P切点沿线右移动时，取长为这时点M的度．

，直线PC与直AO交于点M．知当

时，点P的速度为，求

点评：

这是一新运算类的目，其点一般是“”而不难”，处理方法一为：根据新算的定，将已知中数据代进行运算，得最终果．4（分）arccos（﹣x大于arccosx的充条件是（）A∈（，]B∈（﹣1，x∈[0，1]D．考点：专题：分析：解答：

反三角数的运用．计算题压轴题；分讨论；化思想．充分考的围，推出arccos（﹣）的范围，然确定arccos（）大arccosx的充分件解：∵[0，]，（）[0，

）时，∈（01，arccos（x）（，π]＞，点评：

（）（，π]时，x﹣1，arccos﹣）[0，（）arccosx=时，arccosx==arccos（，故选A．本题考反三角函数运用，查分类讨论思想，基础题．

）＜arccosx，5（分）如θ是二象限，且满足A是一象限角B是三象限角C可是第一象限，也可是第三象限D是二象限角

，那么（）考点：专题：

半角的角函数．计算题压轴题．分析：

先根据θ范围确

的范，由

可确定

的大小解答：

关系，而确定的象限解：∵是二象限∴∴∴当为数时，在第一限；当k为奇数时，∵=∴∴是第三限角

在第三限；=

（Z）点评：

故选．本题主考查象限角二倍角式以及同角角函数基本关系．基础题二、解题（共15小，满分）6（分）已圆柱的面展开图是长为2与4矩形，求柱的体．

0.50.50.5考点：0.50.50.5专题：分析：解答：

棱柱、锥、棱台的积．计算题分类讨论．圆柱的面展开图是长为的矩形可以有种形式的圆的展开，分求出底半径和，分别求出积．解：圆的侧面展开是边长2与的矩形，当母线4时圆柱的面半径是当母线2时圆柱的面半径是

此时圆体积是，此时柱的体积是综上所圆柱的体积：

或．点评：

本题考圆柱的侧面开图，柱的体积，基础题容易疏忽一情况．7（分）函log（2

在什么间上是函数？考点：专题：分析：

对数函的单调性与殊点．计算题本题是个复合函数故应依复合函数的调性来断其单调性先求出义域，判断外层函与内层函数单调性再依规则来断即可解答：

解：令x

+4x+40得≠﹣2，t=x2

，其对称轴x=﹣点评：

故内层数在（﹣∞﹣）上是减函，在（2，+∞）是增函．因为外函数的底数0.5＜，故外层是减数，欲复合函数的区间，须求层的减间故函数（x2+4x+4）（﹣，﹣）上是增数．答：函（2+4x+4）（﹣∞﹣）上是增数．本题的点是复合函的单调，考查了对与二次数的单调性判断方以及定义域求法．8（分）求程

的解集考点：专题：分析：

三角函的化简求值计算题数形结合．利用平关系和倍角式对方进行整理，据一个期内的正弦数值求，最后解集出几何式．解答：

解：由意知，

，即1+sin2x=，∴sin2x=﹣，则2x=

﹣

（∈Z，解得+nπ或﹣

（nZ，∴所求程的解集是{x|x=

π，nZ}∪﹣

π，nZ}点评：

本题考了三角函数程的求，即利用同的基本系、倍角公、两角差公式等等对方程行化简，再三角函在一个周期的函数和周期求出集．9（分）求子（|x|+

﹣2）3

的展开中的常数项

32r+166676考32r+166676分析：

二项式数的性质．解法一利用分步乘原理展式中的常数是三种况的和，解法二先将

利用完平方公式化二项式利用二项展式的通公式求得第r+1，令指数为常数项．解答：

解法一|x|+

﹣）

=（

﹣2（|x|+

﹣（|x|+

﹣）得到常数项的况有：①三个号中全取﹣，得（﹣2）

；②一个号取|x|，个括号，一个括取﹣2得C11（﹣）=12∴常数为（﹣）

+（﹣）=﹣．解法二|x|+

﹣）

=（﹣）．设第r+1为常数项，则T=Cr

•（﹣）r

•（

）r

•﹣r

=（﹣）6

•Cr

•|x|6﹣2r，得﹣2r=0，r=3点评：

∴T=（﹣）3•C3=20本题考解决二项展式的特项问题的重工具有项展开式的项公式还有分步乘原理．10）求

的值．考点：专题：分析：

极限及运算．计算题分子、母同时除以3n，原转化为，由此能出

的值．解答：解：

==0点评：

本题考数列的极限运算，题时要注意理地进等价转化．（分）要排一张个歌唱节目和个舞蹈节目演出节单，何两个蹈节目不得邻，问有多种不同的排（只要写出式子，必计算考点：专题：分析：解答：

排列、合及简单计问题．计算题首先分两个舞蹈节不得相的排列法，以猜想用插空法求，然后别求出舞蹈目的排及歌唱节目排法，乘即可得到案．解：此采用插空法因为任两个舞蹈节不得相，即可把个歌唱节目每的前当做一个位，共有个空位，只把舞蹈目安排到空上就不相邻了，共4舞蹈节排好后再排唱节目有A6种

种排法

767767点评：

所以共种P•A6排，答案为P4A6．此题主考查排列组及其简的计数问题对于不邻这种类型目的求，要想到可用插空求解，这种题思路常重要，要好的理记忆．12）设

画出函y=H（x1）的图．考点：分析：解答：

分段函的解析式求及其图的作法；函的图象考查函图象的变化y=Hx1）图象是y=H（x）图象向右平一个图得到的．故可以画出H（x）的图象后再向平移1单位得Hx﹣）的图象．解：点评：

考查函图象的平移题．记y=f（x，y=f（x+1y=f（x﹣（x+1，y=f（）﹣的图象是由y=f（x图象分向左，向右向上，下平移个单位到的．13）画出坐标方程

的曲线考点：专题：分析：解答：

简单曲的极坐标方．作图题先将方化简一下，后根据坐标方程的何意义行画图即可解：方∴ρ﹣或θ﹣

=0即=2表圆心在极点半径为的圆θ=

表示极为

的射线画出图即可．点评：

本题主考查了简单线的极标方程，以作图能的考查，属基础题14）已知三个面两两交，三条交，求证这三交线交一点或互相行．考点：专题：分析：

平面与面之间的位关系．证明题综合题．三个平两两相交，三条交，这三条交交于一，或互相平．证明要分三条交交于一，和三条交互相平两种情况（）证三交于一点时先由两交于一点，证这一也在第三条线上（）证线平行，先由两线行，再第三条直线这两条

解答：

平行线的任一条直平行即．证明：三个平面为，βγ，且∩β，α∩γ=b，β∩γ；∵α∩=c，αγ，∴c⊂α，⊂α∴c与b于一点或互相平行（）如图①，若与b交于一点，可设∩b=P．由P∈c且c⊂β，有Pβ；又由∈，b⊂γ，有P∈γ∴Pβ∩γ=a；所以，线ab，交于一（即点图①；

图②点评：

（）如图②，若cb，由b⊂，且c⊄，∴c∥；又由c⊂，且∩γ=a，c∥a；以，c相平行本题考了空间中的线平行或相交的证，特别几何符号语的应用是有难度的题．（）设d，x为实≠，x为未知，讨论程有解时出它的解．

在什么况下有解，考点：分析：解答：

对数的算性质；对函数图与性质的综应用；的存在性及的个数断．先将对式转化为指式，再据对数函数真数大0，底大于且不等于1到方程有根的等条件后可解．解：原程有解的充条件是由条件）知又由

，所以cx+d=1再≠0，得及x0，，即条件）包含在条件（1及（4）中再由条（3及，知x因此，条件可简化以下的价条件组：

121212111211112121211121112111

这个不式仅在以下种情形成立：点评：

①c，1d＞0，c＞，＜1；②c，1d＜0，c＜，＞1、再由条（15）（）可知c1﹣从而，＞，＜c≠﹣，或者当＜0，1且≠﹣d时，原方程解，它的解本题主考查对数式指数式互化和方程的判定属中档题．（分）p≠0，系数一二次方程2﹣2pz+q=0有两个数根，、再设zz在复平面内的对点是Z，Z，求以Z，Z为焦点且经原点的圆的长轴的．考点：专题：

复数的本概念；椭的简单质．计算题分析：

由题意个虚数根，z是共轭复，得椭圆短轴：2b=|z+z焦距为2c=|z﹣，然后求长轴长．解答：

解：因p，实数，p，z，为虚数，所以（2p）﹣4q＜0q＞由，z为共轭数，知Z，Z关于x轴对称所以椭短轴在轴上，又由椭圆过原点可知原为椭圆短轴一端点根据椭的性质，复加，减几何意义及元二次程根与系数关系，可得椭的短轴长=2b=|z+z|=2|p|，焦距离=2c=|z﹣z长轴长=2a=

，点评：

本题考复数的基本念，椭的基本性质是小型合题，考查生分析题解决问题能力．17）求经定点M，2以y轴准线，心率的椭的左顶点的迹方程考点：

椭圆的准方程；轨方程．分析：

先确定圆的位置，左定点坐标为（xy，然后根据离率的含得到左焦点坐标，解答：

根据椭的第二定义定方程解：因椭圆经过点M，2且以轴为准线，所以椭在轴右侧，长轴平于轴设椭圆顶点为A（x，因为椭圆的心率为，所以左点到焦点F的距离到的距离，从而左点的坐标为设d点M到轴的距离则根据

及两点距离公式，得

点评：

这就是求的轨迹方本题主考查椭圆方的第二义，平面上定点F离与到定线间距之比常数的的集合在△ABC中∠∠∠所的边分别为，，c=10，为△的内切上的动点，点P到顶点A，B，的距离的方和最大值最小值．考点：专题：分析：

三角函的最值；正定理．计算题利用正定理可求得，进而据题设式求得

整理求A+B=

判断出角形为直角三形，进而可用勾股理求得，利用角三角的性质求得内切圆半径，解答：

如图建直角坐标系则内切的方程可得设出p坐标，表出，S=|PA|利用范围确的范，则最和最小值可．解：由，运正弦定，有，∴sin2A=sin2B．因为A≠B，以2A=π2B，即A+B=由此可△ABC是直角三角

+|PB|2

，由，，2

2

2

以及a0，b＞可得a=6，．如图，△ABC的内切圆圆为O'，切点分为D，，F，则AD+DB+EC=（10+8+6．但上式AD+DB=c=10，所以内圆半径r=EC=2如图建坐标系，则内切方程为：（﹣2）+（y）=4设圆上点P的坐标为（，y则S=|PA|

+|PB|2

+|PC|=x﹣8）

+y2

+y﹣）

2

+y2

﹣16x12y+100=3[﹣2）2

+（y﹣2）﹣4x+76

n1nnnk+1n12k+1kk+1k+2n1nnnk+1n12k+1kk+1k+2k+1nn1点评：

=3×﹣4x+76=88﹣．因为P点在内圆上，以0x≤4，﹣，最大值﹣16=72最小值本题主考查了三角数求最的问题，直三角形切圆的问题圆的性问题．考查学生基知识的综合用．19）设＞2给定数{x}，其中x=a，

求证：（）＞2，

；（）如果≤，那么

．考点：专题：分析：

用数学纳法证明不式．计算题压轴题．（）我们用数学归法进行明，先证明等式x＞当n=1时立，再设不式＞2当n=k（≥）时成立，而证明n=k+1时，不等式＞2也成，最后到不等式＞对于所的正整数n立；（）我们用数学归法进行明，先证明等式

当时立，再设不等式解答：

当n=k≥1时成立进而证明当n=k+1时，不等后得到等式对于所的正整数n成；证明（1）当n=1时，∵，=，x＞2=