(北师大版)广州市必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)

256．函数xff256．函数xff一、选题1．已知函数

f

，则满足函数

f

的定义域和值域都是实数集R

的实数m构的合为）A．

m

B．

C．

．

2．已知函数

f()log

，在[

，]上值域为，4]，

f

的取值范围是（）A．[1,2]B．

C．

．3．已知

xx

是

上的减函数，那么a的值范围是（）A．4．集合

x

1B．C．,R的子集的数为（）

．

,1A．

B．

C．

．5．已知：

log

，

log

，c

，则，，c的小关系是（）A．1

2

B．bC．的单调递增区间是（）

．

c3A．

(

B．

－

C．

．

，＋7．已知函数

(x)

，则

（）A．

12

B．

C．D．

128．设函数

f

，

，且

f

，则c与的小关系是（）A．

B．

C．2

．

9．已知

logyz23

，则

x

35、、的小排序为yA．

35z

B．

z

C．

23xy

．

2yx10．数学史上，一般认为数的发明者是苏格兰数学—纳尔，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼“太阳中心”刚开始流行，这导致天文学成为当

xx时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂“天文数字，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：1234568…1415…27

28

29248163264128256…32768…

134217728

268435356

536870912这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的数，第二行表示2的应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比，算64×256的，就可先查第一行的对应数64对应，对应8，后再把第一行中的对应数字加和起来：＋＝；第一行中的14，对应第二行中的16384，以有：＝按这样的方法计算：16384×32768=（）A．B．268435356C．536870912．51376580211．知偶函数

f()

1在[0,单递增，f(()4

13

)

，

f(log

3

)

，c(log13

，则，，c大小关系为（）A．a

B．

C．c

．

12．知函数

f()

与

y

互为反函数，函数

y(x

的图象与

f()

的图象关于x轴对称，若

(a，则实数a的为A．

B．

1e

C．

e

．

1e二、填题13．知

f(x)

是定义在[0,函数，满足

f(x)，[0,1)，f()

x

，则

f(log30)3

________.14．知函数

f(xlog(ax2)2

的值域为R，则实数的值范围是________15．函数

ya

x

a

恒过点

(mn)

，则函数在

上的最小值_____.16．知

1000，则

11xy

＝．有以下结论：①将数

的图象向右平移1个单位得到y

的图象；②函

f

与

g

的图象关于直线yx对

③对函数

f

(

且

a

)，一定有

f

12

f12④函

fx2

的图象恒在轴方其中正确结论的序号_18．函数

,xx)1x

，则满足

f)

的的值范围是______________.19．函数

f

ax

，且f

a

,

a

上的值域为

，则实数的值范围为______.20．于下列命题：①若数

x

的定义域是

x

，则它的值域是

y②若数y

1x

的定义域是

|x，它的值域是y③若数

x

2

的值域是

0y定域可能是

④若数

ylog2

的值域是

定域是

x其中不正确的命题的序号（：把你认为不正的命题的序号都填上）三、解题21．知函数

f

.（）函数

f

的定义域；（）论函数

f

的奇偶性；（）明：函

f

在定义域上单调递减22．知函数

f

．（）函数

f

的定义域；（）断函数

f

的奇偶性，并说明理由．23．简下列各式：（）

3

；（）

2lg2111224．1）函数

log

的定义域；

（）函数y

x

，

x（）函数

x

的单调递增区间25．知函数

f()log

的图象关于原点对称，其中a.（）

x

时，

f(xlog(1

恒成立，求实数的值范围（）关于的方程26．简计算：

2fx)log(12

在k的值范围（）

60.257

2

2

；（）

lg520lg2lg25

.【参考答案】***试卷处理标记，请不要除一选题1．解析：【分析】若定义域为实数集R则2对于恒立，可得m，若值域为实数集，t2

x

，

t

此时需满足t

x

的域包括

，可得m

，再求交集即可【详解】若

f

定义域为实数集R，则

x

对

R

恒成立，即m

x

对于

恒成立，因为x，以，以m，令xm，ylogt若fR，则

m的值域包括

，因为，所以所以故选：【点睛】

m

，

关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为的价条件即2x对x恒立，分离参数求范围，值域为的价条件即t

x

可取遍所有大于0的，由

t

，所以

，再求交集2．D解析：【分析】由对数函数的单调性可得【详解】

m的性质即可得.由题意，函数

f()log在上单调递减，在

上单调递增，且

f

f

，

f

，结合该函数在

,m

上的值域为可

m所以

,8

，

f

log0,32

.故选：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由对数函数的图象变换及单调性确定解3．C解析：【分析】

m由5a1【详解】

解得结果即可得解.因为

xxx

是

上的减函数，所以5aalog1

，解得

1195

.故选：【点睛】易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关.4．D解析：

x100xxx100x2xxRyy即与100x100bx100xxx100x2xxRyy即与100x100b22【分析】分析指数函数y与幂函数的图像增长趋势，当x，有1个点；当x，有2个点；即集合xR素所以真子集个数为

【详解】分析指数函数y与函数x100

的图像增长趋势，当

时，显然有一个交点；当

x

时，当

x

时，2；当

时，2；

x

时，有一个交点；分析数据发现，当x较小时，

y

比增长的快；当x较时，比y增长的，即是爆炸式增长，所以还有一个交.的图像有三个交点，即集合有个素，所以真子集个数为2故选：【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A中有个素，则集合A的集有2真子集有5．A解析：【分析】

个，由换底公式和对数函数的性质可得

，再由指数函数的性质可得

，即可得解【详解】ln=0ln2ln

212lnln，233ln13lnlnln2

，4130,log2，922a

，故选：【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解

f2flog222f2flog222能力与逻辑推理能力，属于常考.6．C解析：【分析】由不等式

x0，得函数的定义域

2

，得到g

x

在区间

(

上单调递增，在区间[上调递减，结合复数函数的单调性的判定方法，即可求解【详解】由题意，函数

ylog(21

有意义，则满足

x0，即

x

3xx3)(x

，解得

，即函数的定义域为

，令

数g

表示开口向下，对称轴方程为的物线，所以函数

g

上单调递增，在区间[1,3)上调递减，又由函数

ylogx13

在定义上是递减函数，结合复数函数的单调性的判定方法，可得函数

(2x13

的递增区间为[1,3)故选：【点睛】函数单调性的判定方法与策略：定义法：一般步骤：设元作变判断符号得出结论；图象法：如果函数

f

是以图象形式给出或函数

f

的图象易作出，结合图象可求得函数的单调区间；导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；复合函数法：先将函数

y())

分解为

yf(t)

和

tx)

，再讨论这两个函数的单调性，最后根据复合函数同异减的则进行判.7．A解析：【分析】根据分段函数解析式，依次计算

，

3

，即可得选.【详解】因为函数

(x)

，所以

f

3log2

，f

32

.

故选：【点睛】本题考查根据分段函数求解函数值，关键在于根据解析式分段求解，由内到外，准确认清自变量的所在的范围和适用的解析.8．D解析：【分析】运用分段函数的形式写出

f

的解析式，作出

f

的图象，由数形结合可得c且，

2c

且

a

，

f

，去掉绝对值，化简即可得到结论．【详解】

x

1x,x

，作出象如图所示，由图可知，要使

且

f

成立，则c

且

，故必有且2

a

，又

f

，即为1

，

2a．故选：．【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，考查用指数函数单调性确定参数的范围，本题借助函数图象来辅助研究，由图象辅助研究函数性质是函数图象的重要作用，以形助数的解题技巧必须掌握，是中档题．9．A解析：【解析】，，

为正实数，且

logylog23

xyk25

k可得：

23z

因为函数

1

单调递增，

2

.

133133133133故选10．解析：【分析】先找到16384与32768在一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字16384对应14，对应15，后再把第一行中的对数字加起来＋＝，对应第二行中的，所以有16384×32768＝故选C.【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单.11．解析：【分析】偶函数

fx)

在[0,单调递,简

f(log5)(log5)f(log5)1

，利用中间量3比较大小得.【详解】偶数f(x)

在[单递增f(log(f(log5)13

，

170)542

，17f(()3)(log)5)42

a

.故选：【分析】本题考查函数奇偶性、单调性及对数式大小比较，属于基础.12．解析：【分析】根据指数函数与对数函数的关系，以及函数

yg(x

的图象与

f(x

的图象关于轴对称，求得【详解】

(x)，由g(a

，即可求解由题意，函数

f()

与y互反函数，所以

f()

，

33333310313333331031函数

yg)

的图象与

f(x

的图象关于轴称，所以

g(x)

，又由

(a

，即

，解得

故选D.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的关系，其中熟记指数函数与对数函数的关系，以及函数的对称性求得函数

g

的解析式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题二、填题13．【分析】利用对数的运算性质得出结合周期性即可得出的值【详解】且则则函数的周期为2故答案为：【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值涉及了对数的运算属于中档题解析【分析】

利用对数的运算性质得出

loglog3

3

，结合周期性，即可得出

f30)

的值.【详解】loglog27log91log3

，且(xx，f(则(f(x

，则函数f()

的周期为210f(log30)logf9故答案为：

log

【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值，涉及了对数的运算，属于中档14．【分析】设值域为根据题意对分类讨论结合根的判别式即可求解【详解】设值域为函数的值域为当时值域为满足题意；当时须解得综上实数的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查对数函数的性质复合函数的性质二次函数解析：0,【分析】

0,xx0,xx2设

ux)2

值域为，根据题意

(0,A

，对a分讨论，结合根的判别式，即可求解【详解】设

ux)

2

值域为，函数

f()log()2

的值域为

，当a

时，

f()x2

值域为R，满足题意；当

a

时，须，得2

12

，1综上，实数a的取范围是0,.故答案:

1

.【点睛】本题考查对数函数的性质，复合函数的性质，二次函数的取值和根的判别式的关系，属于中档题15．【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点得到换元令利用二次函数的单调性即可求解【详解】函数恒过点则区间变为由函数令则利用二次函数的单调性当时则函数在上的最小值是故答案为：【点睛】关键点睛：把指数型解析：【分析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到

mn

，换元，令t，用二次函数的单调性，即可求.【详解】函数

ya

，则

m

，区间

x由函数f，1令,4

，13则t2t，利用二次函数的单调性，

xxx,y100010001000xxx,y100010001000当

12

时，

fmin4

，则函数f在

上的最小值是.故答案为：

.【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关16．【分析】根据指数与对数之间的关系求出利用对数的换底公式即可求得答案【详解】∵∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数之间的关系掌握对数换底公式:是解本题的关键属于基础题解析：

13【分析】根据指数与对数之间的关,求利用对数的换底公,即求得答案.【详解】

xy1000，

xlog125

log1000

log1000

，11log12.5，1110.1故答案为：.3【点睛】本题考查了指数与对数之间的关.握对数换底公:

a

是解本题的关键属于基础题17．②③④分析】根据图象的平移规律直接判断选项；②根据指对函数的对称性直接判断；③据指数函数的图象特点判断选项；④求的范围再和0比较大小【详解】①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象解析：【分析】①根图象的平移规律，直接判断选项根据指对函数的对称性，直接判断③根指数函数的图象特点，判断选项④先x

的围，再和比较大小.

f2xxf2xx【详解】①根平移规律可知y

的图象向右平移1个单位得到y

x

的图象，所以不确；根两个函数的对称性可知函数

f

与

g

的图象关于直线y=x对称，正确；如图，设，

x对应的是曲线上横坐标为2的C的纵2坐标，

f122

是线段AB

的中点D的坐标，由图象可知f2

f12

，同理，当

0

时，结论一样，③确；④x

7x44根据函数的单调性可知

l

，所以函数

fx22)2的图象恒在轴方，故正确.故答案为：③【点睛】思路点睛：图平移规律是“左＋右”，对于自变量来，本不易判断的就是③，先理解

ff212

的意义，再结合图象判断正误18．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题解析：

[0,【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并.【详解】当

时，

fx)1

，因为

1

，解得：

x

，

0

，当

时，

f(x)x2，log解得：x2

，所以

，

22综上，原不等式的解集为

.故答案为：

.【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础.19．【分析】利用换元法可得然后采用等价转换的方法可得在的值域为最后根据二次函数的性质可得结果【详解】由令所以则令由在上的值域为等价为在的值域为的对称轴为且所以可得或所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数5解析：【分析】利用换元法，可得

g2

，然后采用等价转换的方法，可得

g

在

aa

2

的值域为

，最后根据二次函数的性质，可得结.【详解】由

f

ax

令

t2x,xt2

，所以

ft2

2

则令

g

2

由

f

a

,

a

上的值域为

等价为

g

aa

的值域为

g

的对称轴为，所以

2

a可得

352

或2

3253所以a,15故答案为：【点睛】本题主要考查函数值域的应用，难点在于使用等价转换思想，使问题化繁为简，属中档.20．①②④【分析】根据各个函数的定义域求出各个函数的值域判断正误即可【详解】①函数的定义域值域;①不正确;②函数的定义域

x2x2是值域;故②正确;③中函数的值域是则它的定义域可能是故③是确的;解析：【分析】根据、、、④各函数的定义域求各个函数的值域判正误即可.【详解】①中数

x

的定义域

,值

y

(0,1]

故不正确②中数y

的定义域是

{x2}值

;故不;③中数

x

2

的值域是

{yy4}

,则的定义域可能是

确的④中数

ylog2

的值域是

{y|y3},∵x0x2

故不确故答案①④.【点睛】本题考查函数的定义域及其求,数的值指数函数的定义域和值对函数的值域与最值考计算能属于基础题三、解题21．

(

(2)函

f(x)

为奇函数(3)证明见解析.【分析】(1)由

f

的定义域满足

可得答.(2)直判断

f

的关系可得答案(3)设12

，先作差判断出

x1x21x2

，再由对数函数

ylog2

在

上单调递增有，

2

112112

，即可得出结论【详解】解：（）

，得

，解得x函数

f()

的定义域为

(1,1)（）（）知函数

fx)

的定义域关于原点对称由

f(log

1(x11

，可得函数

f()

为奇函数（）12设

1

211

2222

12x0,1212

x1x2x12利用对数函数

ylog在(0,单调递增有，2

2

12112即

f2

1

故函数

fx)

在(上调递减【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出

与的小关系，再由函数1

ylog2

在

上单调递增得到

2

112log112

，即

f

，属于中档题.22．1）

；（）

f

为奇函数，证明见解.【分析】（）用对数的真数大于零求解出不等式的解集即为定义域；（）判断定域是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，分析

f

之间的关系，由此判断出【详解】

f

的奇偶性（）为

，所以

，所以

f

的定义域为

；（）

f

为奇函数，证明：因为

f

的定义域为

关于原点对称，且f

x，所以

f

为奇函数【点睛】思路点睛：判断函数

f

的奇偶性的步骤如下：（）分析

f

的定义域，若

f

定义域不关于原点对称，则

f

为非奇非偶函数，若

f

的定义域关于原点对称，则转至2；（）

f

为偶函数；若

f

为奇函数

100081021000810223．1）；（）1.【分析】（）据指数的运算性质，准确运算，即可求解；（）据对数运算性质，准确运算，即可求.【详解】（）据指数的运算性质，可得原式

64

15

2

3

15

52

23

3

15

.（）对数的算性质，可得原式

2lg22lg0.62lg24lg2103313lg3

.【点睛】本题主要考查了指数幂和对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能.24．1）

；（）

；（）

，

3,

.【分析】（）不等式x

可得函数

log

x

的定义域；（）用二次数的基本性质可求得函数

y

2

2x

，

x（）函数

x

x

的解析式表示为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得原函数的单调递增区.【详解】