高二数学必修五导学案：3.1.1不等关系与不等式（一）

3．1不等关系与不等式(一)23**学习目标**1．通过具体情境,感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．经历由实际问题建立数学模型的过程,体会其基本方法.3．总结建立不等式模型的基本思路．4．体会数学在生活中的重要作用,提高观察、抽象的能力，培养严谨的思维习惯．**要点精讲**1．实数的全序性：如果是实数，那么和三者有且只有一个成立；2．实数平方的非负性：如果是实数，那么，等号当且仅当时成立；3．两实数大小的定义：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。由这个实数大小比较的几何定义及减法的意义，可以得到实数大小比较的充要条件：;;。它可以认为是两实数大小比较的代数定义，通常称为“差式”比较法。**范例分析**例1．(1)限速的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度不超过,可写成不等式.(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量应不少于2.3%,写成不等式组是..(3)b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式.变式：建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户的面积与地板的面积之比应不小于10％，并且这个比越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变________（填“好”或“坏”）例2．通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管和截面是方的水管哪个流量大?例3．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车时还要继续向滑行一段距离才能停住，称这段距离为刹车距离，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对时，同时刹车，但还是相撞了.事故后，现场测得甲车的刹车距离是略超过12米，乙车的距离略超过10米，又已知甲、乙两种车型刹车距离s米与车速x千米/小时之间有如下关系：S甲＝0.1x+0.01x2，S乙＝0.05x+0.005x2，问超速应负责任的是谁?例4．某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按现状生产,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后逐月递增2万元.如果从今年一月起投资500万元增加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算投产后的前5个月中的累计净收入是生产时间n(以月为单位)的二次函数,生产前1、前2和前3个月的累计收入分别可达101万元、204万元和309万元,以后稳定在第5个月的水平.同时该厂不但不受处罚,而且还将的到环保部门一次性100万元的奖励.问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.规律总结1．不等式(组)是刻画不等关系的数学模型．2．建立不等式模型的基本思路：(1)找出不等关系；(2)语言化不等关系；(3)设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组))。**基础训练**一、选择题1．铁路旅行规定：旅客每人免费携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（）A．B．C．D．2．有一件商品若在月初出售，可获利100元，然后将本利存入银行（已知银行月息为2%）；若在下月初出售，可获利120元，但要付5元保管费，则（）A．本月初出售获利大B．下月初出售获利大C．本月初出售获利与下月初出售获利相同D．本月初出售获利与下月初出售获利大小不能确定3．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多，那么在8天内它的行程就超过，如果它每天行驶的路程比原来少，那么它行驶同样的路程就得花9天多时间，这辆汽车原来每天行程的千米数满足（）A．B．C．D．4．某地每年消耗木材约20万，每价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样每年的木材消耗量减少万，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，则的范围是A.[1，3] B.[2，4] C.[3，5] D.[4，6]5．下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段,的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则A．B．C．D．

二、填空题6．某家庭（一家三口）准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供2种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠。如果两家旅行社的原价相同，则选择旅行社比较合算。7．某产品的总成本（万元）与产量（台）之间有函数关系式，其中。若每台产品售价万元，要使生产者不亏本，则产量应满足关系：。8．用一批长为的条形钢材截成长为和的两种规格的零件毛坯，若要使余下的废料最少，则材料的利用率是。（利用率=）三、解答题9．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下公式：f(x)=（1）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分时间，老师能否及时在学生一直所需接受能力的状态下讲授完这个难题？10．行驶中汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，称这段距离为刹车距离。在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（米）与汽车车速v（千米/小时）满足的关系式为（n为常数，n∈N）现做了两次刹车试验，有关数据如图，其中，S2S1S2S14070V⑵在使刹车距离不超过12.6米四、能力提高11．某供水公司水池有水450吨，每小时注入80吨，又小时向居民输出水吨，现同时输入输出，（1）小时后水池中水量最少；(2)若水池中低于150吨时会出现供水紧张，则同一天内有小时供水紧张。12．某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求、，并用k、n和b表示ak（不必证明）；（2）证明：（k＝1，2，…，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；3．1不等关系与不等式(一)例1．解：（1）;(2)；(3)>;变式：好。例2．解:当水的流速相同时,水管的流量取决于截面面积的大小,设截面的周长为,则截面圆面积,截面正方形的面积,.例3.解：依题意由①解得x甲<-40或x甲>30，由②解得x乙<-50或x乙>40，∴乙车超速，应负事故的主要责任.例4．解：设不改造设备，按原条件生产，n个月累就计收入为a(n),改造设备后，n个月累计收入为b(n).由已知条件a(n)=70n,且可设b(n)=an2+bn+c,n<6.于是101=b(1)=a+b+c,204=b(2)=4a+2b+c,309=b(3)=9a+3b+c.得a=1,b=100,c=0b(n)==经过简单计算可发现，5个月内不能见效.这是因为b(5)-500+100=125<315=a(5)-(3+7+9+11),令b(n)-500+100>a(n)-[3n+](n>5).即109n-24-400>70n-2n-n2,化简得:n2+41n-420>0.当5<n8时n2+41n-420<0,当n9时n2+41n-420>0.所以经过9个月才能见效.**参考答案**1~5CDACC2．提示：设商品本金为元，若月初出售，则到下月初共获利；下月初出售获利元，故不确定。3．提示：；4．提示：；6．甲；提示：设票价为元，则甲方案需元，乙方案需元。7．；8．；提示：设截成长为和的两种规格的零件毛坯分别为根，则，。当时，余；当时，余；当时，余；当时，余；当时，最大利用率为。9．解：（1），，；（2）当时，为增函数，；当时，为减函数，；故，即开讲后分钟内，学生的接受能力最强；（3）当时，，得，所以；当时，，得。当