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文档简介

期末复习3

《高等数学I》

第三章中值定理和导数应用重要内容:中值定理

导数应用(单调性,凹凸性)根的存在性,所在区间,唯一性洛比达法则求七种未定式的极限

用中值定理证明某些等式泰勒公式,常用展开式极值问题中值定理,单调性,凹凸性证明不等式1．证明：在（0，1）上有且仅有一根。，则在[0，1]上连续且

由零点定理可知，在(0，1)上至少有一个根证：（先证存在性）设在(0,1)上还有一个根即

在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，（0，1）使得但是，不可能有这样的点,故方程在（0，1）上有且仅有一根。（再证唯一性）由罗尔定理可知至少存在一点（0，1），矛盾。也可以不用罗尔定理,直接利用单调性假设2．证明：在证明：（先证存在性）则在上连续且

由零点定理可知，在上至少有一个根内有且仅有一根。设（再证唯一性）在上严格单调递增，上有且仅有一根。因为故方程在3.设,证明.证明:设.则, 所以当时,

,故单调减少,时,

.从而当(方法一)即当时,

单调增加.时,

即故

因此当3.设,证明.证明:设.则由中值定理, 所以当时,

,故单调减少,时,

.从而当即(方法二)课堂上讲解的方法4.设在上连续,在内可导,且求证存在,使得证明:设,则且即在区间上满足罗尔中值定理的条件,,使得又因此有整理后可得.因此存在4.设在上连续,在内有二阶导数,.试证在内至少存在一点,使得证明:由罗尔中值定理知,存在,使得对分别在和上用拉格朗日中值定理,和,使得及.且有知分别存在再在闭区间上对用拉格朗日中值定理,使得知存

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