D5-7多元函数微分学在几何中的应用

第七节多元函数微分学在几何中的应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线

作业习题5.71，2,4,5(2)(4)，6,8(2)(4),9,12,17,18复习:平面曲线的切线与法线1.已知平面光滑曲线切线方程法线方程2.若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因2/33一、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点M

处的切线为此点处割线的极限平面.1.曲线方程为参数方程的情况切线方程4/33此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为0,则理解为分子为0.不全为0,因此得法平面方程说明:

若引进向量值函数,则

r(t)为的向量方程（或参数方程）,处的导向量就是该点的切向量.例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:

由于对应的切向量为在,故6/332.曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为则在点切线方程法平面方程有或8/33也可表为法平面方程例2.

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1

令则即切向量10/33法平面方程即解法2.

方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量12/333.几个基本概念如果向量值函数，则称为设空间曲线的方程为:（1）简单曲线连续曲线。如果为连续曲线，且则称为简单曲线。易知：简单曲线就是自身不相交的连续曲线。如果为连续曲线，且则称为简单闭曲线。（2）有向曲线：我们规定参数t增大的方向为的正向，相反的方向为负向。（3）光滑曲线称规定了正向的曲线为有向曲线。上连续，且，则切线方向连续变化。称切线连续变化的曲线为光滑曲线。如果曲线不是光滑曲线，但将其分成若干段后，每段都是光滑曲线，则称为分段光滑曲线。14/33二、曲面的切平面与法线

1.设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点

M

的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.16/33曲面

在点M的法向量法线方程切平面方程曲面时,则在点故当函数法线方程令2.光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程18/33法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,例3.

求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量令20/33例4.确定正数

使曲面在点解:二曲面在

M

点的法向量分别为二曲面在点M

相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有3.曲面的参数方程曲面的方程可以用含有两个参数的参数方程表示；例如，试建立半径为R的球面的参数方程。于是，球面的参数方程为：P22/33一般地，曲面的参数方程或向量方程：对于曲面的方程，若固定曲面上曲线的表示：，让u变化，则向量r对应的是曲面上的一条曲线，称为曲面上的u曲线；若固定，让u变化，则向量r对应的是曲面上的一条曲线，称为曲面上的v曲线.

u曲线族与v曲线族构成曲面上的参数曲线网；若曲面的向量方程在区域D内连续，在点存在偏导数，而（此时点称为正则点.）分别是u曲线与v曲线在点24/33是曲面上过点

的切平面的法向量.则有处的切向量,因而都在切平面上.又若从而有曲面过点

的切平面方程为:25/33法线方程为:1.空间曲线的切线与法平面

切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.27/33空间光滑曲面曲面

在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法线28/33空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:

设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:

在曲面上任意取一点则通过此2.设

f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为

1.

证明曲面与定直线平行,证:

曲面上任