Chap7-2三大分布及单个正态总体的区间估计

正态总体下的抽样分布——统计中的三大分布记为分布一、定义:设相互独立,都服从正态分布N(0,1),

则称随机变量：

所服从的分布为自由度为

n

的分布.分布是由正态分布派生出来的一种分布.分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分

分布的密度函数的图形如右图.由分布的定义，不难得到：1.

设相互独立,都服从正态分布则2.设且X1,X2相互独立，则这个性质叫分布的可加性.则，

E(X)=n,Var(X)=2n3.若3证明:根据χ2分布的定义,把表示为

对于(0,1)给定,称满足条件:

分布的分位点的点

()为分布的上分位点.

分布的上分位点图形如右图.

分布的上分位点可以查附表4(P244).例3设求（1）P（X>1.923）解：查自由度为4的分布表，得（2）T的密度函数为：记为T～tn.

定义:设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立，则称变量所服从的分布为自由度为n的t分布.二、t分布（Gosset于1908年以student笔名提出）

当n充分大时，t分布近似N

(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.

t分布的密度函数的图形如右图.

T～tn,对于(0,1)给定,称满足条件:t分布的分位点

的点tn()为t分布的上分位点.

t分布的上分位点图形如右图.t分布的上分位点可以查附表3(P242).三、F分布由定义可见，~定义:设X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n1及n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F~（Fisher提出）若X~，X的概率密度为

F分布的密度函数的图形如右图.

F～Fm,n,对于(0,1)给定,称满足条件:F分布的分位点

的点Fm,n()为F分布的上分位点.F分布的上分位点图形如右图.F分布的上分位点可以查附表5(P247).（2）例F分布的性质：（1）

定理1(样本均值的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本，则有四、正态总体的样本均值与样本方差的分布

定理2(样本方差的分布)设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有

定理3

设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有定理6.4.1(基本定理)

设X1,X2,,Xn为来自总体N(,2)的样本,则:例

在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.

对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N(,2),这里2=100米2.

现在进行了25次发射试验,用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差.

求:S2超过50米2的概率.解:

根据基本定理

查P244附表4,得到:1.设X和Y相互独立，且X～Y～则X+Y～答案：答案：2.设X1,X2,,Xn为来自总体N(,2)的样本则:3.设X~答案：第七章第四节正态总体的区间估计（一）前面讨论了参数的点估计。点估计就是利用样本计算出的值

(即实轴上点)来估计未知参数。其优点是：可直地告诉人们“未知参数大致是多少”；缺点是：并未反映出估计的误差范围(精度)。故，在使用上还有不尽如人意之处。而区间估计正好弥补了点估计的这一不足之处

。也就是说，给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参数µ

。这里的“可靠度”是用概率来度量的，称为置信系数，常用表示一个可以想到的估计办法是：给出一个区间，并告诉人们该区间包含未知参数

µ

的可靠度(也称置信系数)。置信系数的大小常根据实际需要来确定，通常取0.95或0.99，即

根据实际样本，由给定的置信系数，可求出一个尽可能短的区间，使7.4.1置信区间的定义定义1：实际应用上，一般取

α

=0.05或0.01。

为确定置信区间，我们先回顾前面给出的随机变量的上α

分位点的概念。现在回到寻找置信区间问题上来。求参数的置信系数为的置信区间.

例1

设X1,…Xn是取自

的样本，置信区间的求法明确问题,是求什么参数的置信区间?置信系数是多少？解：前面我们已经用矩估计和极大似然估计都得到均值的点估计为，它具有很好的性质，现在我们一个区间去估计均值，用更合理些。寻找未知参数的一个良好估计.~N(0,1)有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.对给定的置信系数查正态分布表得使从中解得于是所求的置信区间为设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的样本.2已知.

均值的置信系数为1-的置信区间.方差2已知单个正态总体均值的区间估计例1:

某厂生产的零件长度

X

服从

N(

,0.04),现从该厂生产的零件中随机抽取6个，长度测量值如下(单位:毫米):

14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1.求:µ的置信系数为0.95的区间估计。

解：n=6，=0.05，z/2=z0.025=1.96，2=0.22

.所求置信区间为设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的样本.2未知.

求:均值的置信系数为1-的置信区间.2未知.想想看,用S2代替2.于是根据定理6.4.1,解:方差2未知方差2未知时的置信系数为1-的置信区间:设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(,2)的样本.(未知)

求:方差2的置信系数为1-的置信区间.解:根据定理6.4.1,正态总体方差2的区间估计由上,即得2的置信系数为1-的置信区间:

为了估计一件物体的重量,将其称了1O次,得到的重量(单位：千克)为:10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,1O.3,9.9

设所称出的物体重量X服从N(,2).

求:该物体重量的置信系数为0.9