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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设数列是等差数列,,.则这个数列的前7项和等于()A.12 B.21 C.24 D.362.已知复数,(为虚数单位),若为纯虚数,则()A. B.2 C. D.3.如图在一个的二面角的棱有两个点,线段分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于棱,且,则的长为()A.4 B. C.2 D.4.下列函数中,既是奇函数,又在上是增函数的是().A. B.C. D.5.已知数列中,,且当为奇数时,;当为偶数时,.则此数列的前项的和为()A. B. C. D.6.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.7.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.8.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.9.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()A. B. C. D.10.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.11.展开项中的常数项为A.1 B.11 C.-19 D.5112.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()A. B. C. D.0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,若,则的范围为________.14.直线是圆:与圆:的公切线,并且分别与轴正半轴,轴正半轴相交于,两点,则的面积为_________15.为了了解一批产品的长度(单位:毫米)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间的一等品,在区间和的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为__________.16.(5分)在长方体中,已知棱长,体对角线,两异面直线与所成的角为,则该长方体的表面积是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系;曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)求曲线C1和C2的极坐标方程:(Ⅱ)设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|的值.18.(12分)如图,在斜三棱柱中,侧面与侧面都是菱形,,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的内角的对边分别为,且,求的面积.20.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.21.(12分)设函数,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)若在上存在两个极值点,求的取值范围;(Ⅱ)若,函数与函数的图象交于,且线段的中点为,证明:.22.(10分)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.(1)当取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2)当时,用表示要补播种的坑的个数,求的分布列与数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据等差数列的性质可得,由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列是等差数列,,所以,即,又,所以,,故故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,性质,等差数列的和,属于中档题.2、C【解析】
把代入,利用复数代数形式的除法运算化简,由实部为0且虚部不为0求解即可.【详解】∵,∴,∵为纯虚数,∴,解得.故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念,是基础题.3、A【解析】
由,两边平方后展开整理,即可求得,则的长可求.【详解】解:,,,,,,.,,故选:.【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4、B【解析】
奇函数满足定义域关于原点对称且,在上即可.【详解】A:因为定义域为,所以不可能时奇函数,错误;B:定义域关于原点对称,且满足奇函数,又,所以在上,正确;C:定义域关于原点对称,且满足奇函数,,在上,因为,所以在上不是增函数,错误;D:定义域关于原点对称,且,满足奇函数,在上很明显存在变号零点,所以在上不是增函数,错误;故选:B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性,注意奇偶性的前提定义域关于原点对称,属于简单题目.5、A【解析】
根据分组求和法,利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和,利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和,进而可求解.【详解】当为奇数时,,则数列奇数项是以为首项,以为公差的等差数列,当为偶数时,,则数列中每个偶数项加是以为首项,以为公比的等比数列.所以.故选:A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.6、B【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.7、B【解析】
由抛物线的定义转化,列出方程求出p,即可得到抛物线方程.【详解】由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大,根据抛物线的定义可得,,所以抛物线的标准方程为:y2=2x.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,属于基础题.8、A【解析】
首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个,具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1____,__1__,____1.剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个.故不同的样本点数为8个,.故选:A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题9、D【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.10、A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.11、B【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的,所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项,有3种情况:(1)5个括号都出1,即;(2)两个括号出,两个括号出,一个括号出1,即;(3)一个括号出,一个括号出,三个括号出1,即;所以展开项中的常数项为,故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程,考查定理的本质,即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.12、B【解析】
根据复数除法的运算法则,即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由,借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.【详解】,所以,.因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.14、【解析】
根据题意画出图形,设,利用三角形相似求得的值,代入三角形的面积公式,即可求解.【详解】如图所示,设,由与相似,可得,解得,再由与相似,可得,解得,由三角形的面积公式,可得的面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,以及三角形相似的应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础题.15、100.【解析】分析:根据频率分布直方图得到三等品的频率,然后可求得样本中三等品的件数.详解:由题意得,三等品的长度在区间,和内,根据频率分布直方图可得三等品的频率为,∴样本中三等品的件数为.点睛:频率分布直方图的纵坐标为,因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率,把小矩形的高视为频率时常犯的错误.16、10【解析】
作出长方体如图所示,由于,则就是异面直线与所成的角,且,在等腰直角三角形中,由,得,又,则,从而长方体的表面积为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根据,可得曲线C1的极坐标方程,然后先计算曲线C2的普通方程,最后根据极坐标与直角坐标的转化公式,可得结果.(Ⅱ)将射线θ=分别与曲线C1和C2极坐标方程联立,可得A,B的极坐标,然后简单计算,可得结果.【详解】(Ⅰ)由所以曲线的极坐标方程为,曲线的普通方程为则曲线的极坐标方程为(Ⅱ)令,则,,则,即,所以,,故.【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化,以及极坐标方程中的几何意义,属基础题.18、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)取中点,连,,由等边三角形三边合一可知,,即证.(2)以,,为正方向建立空间直角坐标系,由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.试题解析:(Ⅰ)证明:连,,则和皆为正三角形.取中点,连,,则,,则平面,则(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如图所示,分别以,,为正方向建立空间直角坐标系,则,,,设平面的法向量为,因为,,所以取面的法向量取,则,平面与平面所成的锐二面角的余弦值.19、(1);(2)或【解析】
(1)利用平面向量数量积的坐标运算可得,利用正弦函数的周期性即可求解;(2)由(1)可求,结合范围,可求的值,由余弦定理可求的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或当时,由余弦定理得即,解得.此时.当时,由余弦定理得.即,解得.此时.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性,考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和分类讨论思想,属于基础题.20、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.【解析】由与,得,,的方程为.设,则,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),当且仅当或时,取最小值,此时,,故与共线.21、(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)依题意在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由参变分类可得,令,利用导数研究的单调性、极值,从而得到参数的取值范围;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:,即:,只需证:,设,即证:,再分别证明,即可;【详解】解:(Ⅰ)由题意可知,,在上存在两个极值点,等价于在有两个不等实根,由可得,,令,则,令,可得,当时,,所以在上单调递减,且当时,单调递增;当时,单调递减;所以是的极大值也是最大值,又当,当大于0趋向与0,要使在有两个根,则,所以的取值范围为;(Ⅱ)由题解得,,要证成立,只需证:即:,只需证:设,即证:要证,只需证:令,则在上为增函数,即成立;要证,只需证明:令,则在上为减函数,,即成立成立,所以成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值,利用导数证明不等式,属于难题;22、(1)当或时,有3个坑要补播种的概率最大,最大概率为;(2)见解析.【
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