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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()A.1 B. C. D.2.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种3.3本不同的语文书,2本不同的数学书,从中任意取出2本,取出的书恰好都是数学书的概率是()A. B. C. D.4.已知数列为等差数列,且,则的值为()A. B. C. D.5.在平行六面体中,M为与的交点,若,,则与相等的向量是()A. B. C. D.6.若a>b>0,0<c<1,则A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb7.定义在R上的函数y=fx满足fx≤2x-1A. B. C. D.8.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.9.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.10.已知向量,,若,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.11.如图是一个算法流程图,则输出的结果是()A. B. C. D.12.已知平面,,直线满足,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,的值分別为4,5,则输出的值为______.14.已知是第二象限角,且,,则____.15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.16.函数的极大值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.18.(12分)如图,三棱柱中,侧面是菱形,其对角线的交点为,且.(1)求证:平面;(2)设,若直线与平面所成的角为,求二面角的正弦值.19.(12分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列的通项公式;(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.20.(12分)已知函数(1)若,试讨论的单调性;(2)若,实数为方程的两不等实根,求证:.21.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次,若掷得点数大于,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖,已知抽奖箱中装有个红球与个白球,抽奖者从箱中任意摸出个球,若个球均为红球,则获得一等奖,若个球为个红球和个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).若,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;若一等奖可获奖金元,二等奖可获奖金元,三等奖可获奖金元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为,若商场希望的数学期望不超过元,求的最小值.22.(10分)已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,,结合定积分的几何意义可知曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.2、C【解析】
根据题意,分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,从6名男干部中选出2名男干部,有种取法,从5名女干部中选出1名女干部,有种取法,则有种不同的选法;故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理问题,属于基础题.3、D【解析】
把5本书编号,然后用列举法列出所有基本事件.计数后可求得概率.【详解】3本不同的语文书编号为,2本不同的数学书编号为,从中任意取出2本,所有的可能为:共10个,恰好都是数学书的只有一种,∴所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查古典概型,解题方法是列举法,用列举法写出所有的基本事件,然后计数计算概率.4、B【解析】
由等差数列的性质和已知可得,即可得到,代入由诱导公式计算可得.【详解】解:由等差数列的性质可得,解得,,故选:B.【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用,涉及三角函数求值,属于基础题.5、D【解析】
根据空间向量的线性运算,用作基底表示即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知因为,,则即,故选:D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算,用基底表示向量,属于基础题.6、B【解析】试题分析:对于选项A,,,,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B,,,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D,利用在上为减函数易得,所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.7、D【解析】
根据y=fx+1为奇函数,得到函数关于1,0中心对称,排除AB,计算f1.5≤【详解】y=fx+1为奇函数,即fx+1=-f-x+1,函数关于f1.5≤2故选:D.【点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数关于1,0中心对称是解题的关键.8、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.9、A【解析】
由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.【详解】由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.则几何体的体积为.故选:.【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10、B【解析】
直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标,利用求得参数m,再用计算即可.【详解】依题意,,而,即,解得,则.故选:B.【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用,考查运算求解能力以及化归与转化思想.11、A【解析】
执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环,即可求解,得到答案.【详解】由题意,执行上述的程序框图:第1次循环:满足判断条件,;第2次循环:满足判断条件,;第3次循环:满足判断条件,;不满足判断条件,输出计算结果,故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出,其中解答中执行程序框图,逐次计算,根据判断条件终止循环是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.12、A【解析】
,是相交平面,直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,即可判断出结论.【详解】解:已知直线平面,则“”“”,反之,直线满足,则或//或平面,“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1055【解析】
模拟执行程序框图中的程序,即可求得结果.【详解】模拟执行程序如下:,满足,,满足,,满足,,满足,,不满足,输出.故答案为:1055.【点睛】本题考查程序框图的模拟执行,属基础题.14、【解析】
由是第二象限角,且,可得,由及两角和的正切公式可得的值.【详解】解:由是第二象限角,且,可得,,由,可得,代入,可得,故答案为:.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式,相对不难,注意运算的准确性.15、2【解析】
由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.16、【解析】
对函数求导,根据函数单调性,即可容易求得函数的极大值.【详解】依题意,得.所以当时,;当时,.所以当时,函数有极大值.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.18、(1)见解析;(2).【解析】
(1)根据菱形的特征和题中条件得到平面,结合线面垂直的定义和判定定理即可证明;
2建立空间直角坐标系,利用向量知识求解即可.【详解】(1)证明:∵四边形是菱形,,平面平面,又是的中点,,又平面(2)∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角.平面,∴直线与平面所成的角为,即.因为,则在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系.则所以设平面的一个法向量为,则,可得,取平面的一个法向量为,则,所以二面角的正弦值的大小为.(注:问题(2)可以转化为求二面角的正弦值,求出后,在中,过点作的垂线,垂足为,连接,则就是所求二面角平面角的补角,先求出,再求出,最后在中求出.)【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解,属于中档题.19、(1)见解析(2)(3)见解析【解析】
(1)令可得,即.得到,再利用通项公式和前n项和的关系求解,(2)由(1)知,.设等比数列的公比为,所以,再根据恰为与的等比中项求解,(3)由(2)得到时,,,求得,再代入证明。【详解】(1)解:令可得,即.所以.时,可得,当时,所以.显然当时,满足上式.所以.,所以数列是等差数列,(2)由(1)知,.设等比数列的公比为,所以,恰为与的等比中项,所以,解得,所以(3)时,,,而时,,,所以当时,.当时,,∴对任意,都有,【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系,等差数列,等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题,20、(1)答案不唯一,具体见解析(2)证明见解析【解析】
(1)根据题意得,分与讨论即可得到函数的单调性;(2)根据题意构造函数,得,参变分离得,分析不等式,即转化为,设,再构造函数,利用导数得单调性,进而得证.【详解】(1)依题意,当时,,①当时,恒成立,此时在定义域上单调递增;②当时,若,;若,;故此时的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)方法1:由得令,则,依题意有,即,要证,只需证(不妨设),即证,令,设,则,在单调递减,即,从而有.方法2:由得令,则,当时,时,故在上单调递增,在上单调递减,不妨设,则,要证,只需证,易知,故只需证,即证令,(),则==,(也可代入后再求导)在上单调递减,,故对于时,总有.由此得【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,属于难题.21、;.【解析】
设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,求出;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,相应求出概率,求出期望,化简得,由题意可知,,即,求出的最小值.【详解】设顾客获得三等奖为事件,因为顾客掷得点数大于的概率为,顾客掷得点数小于,然后抽将得三等奖的概率为,所以;由题意可知,随机变量的可能取值为,,,且,,,所以随机变量的数学期望,,化简得,由题意可知,,即,化简得,因为,解得,即的最小值为.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法,属于常考题.22、(1);(2)证明见解析.【解析】
(1),分,,三种情况推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到证明.【详
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