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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是()A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析最差2.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.3.若,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.4.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.5.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为()A. B. C. D.6.集合,,则()A. B. C. D.7.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为,直线与其相交于,两点,若中点的横坐标为,则此双曲线的方程是A. B.C. D.8.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.9.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()A.8 B.7 C.6 D.410.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为,已知,则为()A. B. C.或 D.或12.已知,则的大小关系为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是同一球面上的四个点,其中平面,是正三角形,,则该球的表面积为______.14.近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%,充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电,那么他的车能够充电2500次的概率为______.15.在中,,,,则________,的面积为________.16.设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;②若,函数的零点不超过4个,则;③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.其中,正确命题的序号是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知等差数列的公差,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.(12分)已知二阶矩阵A=abcd,矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α120.(12分)如图,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均为正三角形,E为AB的中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积.21.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)证明:22.(10分)已知动圆经过点,且动圆被轴截得的弦长为,记圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的标准方程;(2)设点的横坐标为,,为圆与曲线的公共点,若直线的斜率,且,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据题目所给图像,填写好表格,由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据:数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识.2、D【解析】

设非零向量与的夹角为,在等式两边平方,求出的值,进而可求得向量在向量方向上的投影为,即可得解.【详解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影为.故选:D.【点睛】本题考查向量投影的计算,同时也考查利用向量的模计算向量的夹角,考查计算能力,属于基础题.3、D【解析】

根据指数函数的性质,取得的取值范围,即可求解,得到答案.【详解】由指数函数的性质,可得,即,又由,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.4、D【解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵,∴,,,.故选:D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小,考查不等式的性质,属于基础题.5、D【解析】

试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.6、A【解析】

解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.7、D【解析】

根据点差法得,再根据焦点坐标得,解方程组得,,即得结果.【详解】设双曲线的方程为,由题意可得,设,,则的中点为,由且,得,,即,联立,解得,,故所求双曲线的方程为.故选D.【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程,考查基本求解能力,属于中档题.8、B【解析】

由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.9、A【解析】

则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,以此类推,能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,从下往上第五层正方体的棱长为:,从下往上第六层正方体的棱长为:,从下往上第七层正方体的棱长为:,从下往上第八层正方体的棱长为:,∴改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选:A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算,属于基础题.10、C【解析】

依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.11、D【解析】

由正弦定理可求得,再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故选:D.【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围,是否有两解的情况,属于基础题.12、D【解析】

分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

求得等边三角形的外接圆半径,利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径,进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心,则球心在其正上方处.设,由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径,所以外接球的表面积为.故答案为:【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算,属于基础题.14、【解析】

记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:,由条件概率公式即得解.【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A,“他的车能够充电2500次”为事件B,即求条件概率:故答案为:【点睛】本题考查了条件概率的应用,考查了学生概念理解,数学应用,数学运算的能力,属于基础题.15、【解析】

利用余弦定理可求得的值,进而可得出的值,最后利用三角形的面积公式可得出的面积.【详解】由余弦定理得,则,因此,的面积为.故答案为:;.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积的计算,考查计算能力,属于基础题.16、①②③【解析】

根据偶函数的图象关于轴对称,利用已知中的条件作出偶函数的图象,利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解:当时又因为为偶函数可画出的图象,如下所示:可知当时有5个不同的零点;故①正确;若,函数的零点不超过4个,即,与的交点不超过4个,时恒成立又当时,在上恒成立在上恒成立由于偶函数的图象,如下所示:直线与图象的公共点不超过个,则,故②正确;对,偶函数的图象,如下所示:,使得直线与恰有4个不同的交点点,且相邻点之间的距离相等,故③正确.故答案为:①②③【点睛】本题考查函数方程思想,数形结合思想,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:证明:连接交于点,则为的中点.又是的中点,连接,则.因为平面,平面,所以平面.(2)由,可得:,即所以又因为直棱柱,所以以点为坐标原点,分别以直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则且,可解得,令,得平面的一个法向量为,同理可得平面的一个法向量为,则所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.18、(1);(2).【解析】

(1)根据等比中项性质可构造方程求得,由等差数列通项公式可求得结果;(2)由(1)可得,可知为等比数列,利用分组求和法,结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】(1)成等比数列,,即,,解得:,.(2)由(1)得:,,,数列是首项为,公比为的等比数列,.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题;关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列,进而采用分组求和法,结合等差和等比数列求和公式求得结果.19、A=【解析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知,Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2,b=3,c=2,d=1.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵,只需运用定义得出方程组即可求出结果,较为简单20、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)要证明线面平行,需先证明线线平行,所以连接,交于点M,连接ME,证明;(Ⅱ)由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离,根据体积公式剩余部分的体积是.【详解】(Ⅰ)如图,连接,交于点M,连接ME,则.因为平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为平面ABC,所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离.如图,设O是AC的中点,连接,OB.因为为正三角形,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以点到平面ABC的距离,故三棱锥的体积为.而斜三棱柱的体积为.所以剩余部分的体积为.【点睛】本题考查证明线面平行,计算体积,意在考查推理证明,空间想象能力,计算能力,属于中档题型,一般证明线面平行的方法1.证明线线平行,则线面平行,2.证明面面平行,则线面平行,关键是证明线线平行,一般构造平行四边形,则对边平行,或是构造三角形中位线.21、(Ⅰ)最小值为;(Ⅱ)见解析【解析】

(1)根据题意构造平均值不等式,结合均值不等式可得结果;(2)利用分析法证明,结合常用不等式和均值不等式即可证明.

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