选修2-1-3.2立体几何中的向量方法教案范文

课题3.2立体几何中的量方法第76-79课时）（周三、周四、周五、周一；2010年元月6日、7日、8日、日）【教学标】．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础；．学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置系；．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离问题（主要是关于角的问题）；．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。【教学点】【教学点】【教学程】

向量运算在立体几何证明与计算中的应用．在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：．线l的方向的义．量特关及角最的空用标示

（1a//b

；（2⊥

；（3aa=

；（4cos＜a,＞

。前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等……若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？—这问就我将探或决主问…同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面。由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：（）平的向：。（）直、面几重的置系充条：请同学们根据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特殊的位置关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）设直线l,的向向量分别为

a面，的法向量分别为

u，v

则：l

∥

；

l

⊥

；l

∥

；

l

⊥

∥；⊥

。【

小试牛】1．设直线l,的向向量分别为

a

，

，根据下列条件判断直l,m的位置关系：

aaa

=（2，-1），=（1，2），b=（0，0），b

=（6，-3，-6；=（-2，32；=（0，0）。2．平面

的法向量分别为

u，v

，根据下列条件判平

置关系：

uuu

=（-2，2，），v=（1，2），v=（2v

=（6，-4，4；=（-2，-4，4；3．如图，在正方体ABCDACD中，、分是BB、1111的中点，求证：D平．（你能用几种方法呢？）

（）用量法明—面平平的定理【

定理】个面的两相直与一平平，这个面行已：线

l,m和

平面

，ll与m交，l

∥

m∥证∥的法向量【分】据∥u∥v都是平

以只要证明∥v

即可需要证明u，v【证明直

l,m

的方向向量分别为

a

b

的法向量分别为

uv

，D11D11【点评量法解题“三步曲”：（1）化向量问题→（2进行向量运算→（3翻译向量运算结果，回到图形问题.关于两殊点间距离问题此类问题前面已经接触过，下面再来总结及拓展一下：问题

如图一个结晶体的形状为平行面,其中顶点A端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系。【分析【解析

1

CA

D

BCA

B【点评到空间两点间的距离问题，往往把两点间的距离表示为以这两点为起点和终点的向的。把向进恰分解运向量

模满的系式：•uu

来进行针对性地运算和求解……【探究本题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关?如果一个平行六面体的各棱长都相,并且以某一顶点为端点的各棱的夹角都是等于这个平行六面体的对角线长可以确定棱长?

,那么由3.本题的晶体相对的两个面之间的距离是多?【分析显然，第个问题问题.1似；第２个问题问题1逆向问题所列的式子应该是一样的，只不过未知数的位置不同……；第３个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离转化为两点的距离或点到面的距离——对于这个问题，同学们可在课后先探究一下，以后在进行总结……下面我们再来看一个问题.1逆向问题：问题.２图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B。从A，B直线

l

（库底与水坝的交线）的距离和BD分为和b的为c,的长为d。求库底与水坝所成二面角余弦值。/8【分析如上面的分析，此题问题.1逆向问题，解决方法问题致……【解析

BCD

A【点评此可体会解决一类数学问题的方法，从而以静制动，体现数学知识、法应用的本质。

方【探究

．题中如果AC和BD夹可以测出，而AB知，其他条件不变，可以计算出AB长吗？．果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角的长且以同一顶点为端点的各棱间的夹都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？．果已知一个四棱柱的各棱长都等于a，且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等，么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？【分析】然个问题又回到问题.1形式２个问题是问题.1逆向问题但第３个问题又是略有挑战性，需要通过做辅助线构出问.

２

的图形模式……对于这个问题，同样是同学们先课后探究一下，以后在进行总结……关于直、平面的位关系的证及夹角问问题

如，在四棱锥—ABCD中底面ABCD是方形，侧棱⊥底面ABCD，E是的点，作EF⊥PB交PB于点。求证：PA∥平面；求证：⊥面EFD求二面角－PBD的小。【分析题包括：判定直线与平面平行和垂直及计算二面角的大小——均可用向量方法来解决。题目中的

ＰＦＥＤＣ垂直条件非常适合建立空间直角坐标系来表示向量。【解析

Ａ

Ｂ【点评此题涉及到的问题都是立体几何中的重点问题。通过解决过程来看，若条件适合建立空间坐标系系表示向量来解决问题还是较简洁的——转化为目标明确的坐标运算……(2)同学们可用传统法（不用向量）解决一下，比较各自的特点，便于解决问题时能恰当选择方法——可大体上分为三种方法：传统法；向量法；坐标向量法。当然也可把这三种方法结合起来使用……直线与平面所成的角怎样用向量来解决呢？同学们可借助此题的背景来求直线PA与平PBC成角：关于点平面的距离题利用问题的条件（改为）求出点A平面PBC的离——总结出点到平面的距离的求法：/8关于实问题问题4.块均匀的正三角形面的钢板的质量为在它的顶点处分别受力，，F，每个12力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是o，

FFF200kg2

，块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？【分析钢板所受重力500

，

垂直向下作用在三角形的中心若能将各顶点处所受的力，，F用向量形式表示，求出合力，就能判断钢板的运动状态。12【解析【点评题是力的合成问题，用向量将其表示，转化为数学问题，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量来表示……知线思方线题线1．）设平的法向量为(1,2,-2),平面法向量为(-2,-4,k),∥则k=；则k=。（2l的方向向量为(2,1,m),平的法向量为(1,

,2),l

⊥

则m=；若l∥

则m=.2．图，已知线段AB在面，段AC，段⊥AB，线段DD，DBD'30，如果AB＝，＝＝，求CD间的距离．或一个矩形ABCD以BD为折成直二面角求A、C之的距离3（）如图，空间四边形BCD的每条边和长都等于，点M,N分是CD的中点，求证：⊥ABMN⊥CDAMBNC（2）如图，已知正方体ABCD——’CDC和CB相于点O,连结DO，求证：⊥C

DD

C’

’D

CA

B4.

如图，、N分是棱长为1的方体C'D

的棱'

、'

的中点．求异面直线MN与CD

所成的角．5．

如图，正方体ABCD——’B’D中，点EF别是BB，CD的点。求证：面AED面AF’D’

C’A’

B’D

F

C

6．

如图，正方体ABCD——’B’D中，点EF,GH,KL分别是AB，B，B’C，D’，’D，棱的中点。求证：A’⊥平面EF