第一章质点力学

万里长城

埃及金字塔一、理论力学的研究意义(是工程技术的科学基础）绪论赵州桥杭州湾跨海大桥是一座横跨中国杭州湾海域的跨海大桥，它北起浙江嘉兴海盐郑家埭，南至宁波慈溪水路湾，全长36公里，是目前世界上最长的跨海大桥。

鸟巢和水立方海洋石油钻井平台飞机和火箭波音787波音797(概念机)航空母舰中国航母“辽宁舰”二、力学的分类宏观系统(h不起作用)微观系统(h起作用)低速运动——量子力学高速运动——量子场论（相对论量子力学）高速运动(v接近c)--相对论力学低速运动(v远远小于c)--经典力学（以观点分）（以对象分）（以方法分）运动学动力学静力学质点力学质点组力学刚体力学牛顿力学（矢量力学）分析力学连续介质力学注：连续介质力学(包括弹性体力学和流体力学)是研究质量连续分布的可变形物体运动规律的科学。说明：(1)

理论力学是经典力学的一大部分，但不讨论连续介质力学。静力学不象工科一样详尽，而只是作为动力学的一个特例。经典力学的应用范围是：宏观、低速物体。(2)理论力学是四大力学(理论力学，量子力学，电动力学和热力学统计物理)之一，是以确定论的观点研究物体的运动规律。(3)理论力学是在普通物理力学基础上，运用高等数学工具(微积分和变分)，全面、系统地阐述宏观机械运动的基本概念和基本规律，与普通物理力学相比，理论性更强。要求学生掌握力学的理论体系和用高等数学知识解决力学问题的能力。四、理论力学的研究方法(物理规律的形成过程)实践抽象综合公理数学演绎

逻辑推理应用定理、结论三、理论力学的研究对象理论力学：是研究宏观、低速物体机械运动规律的一门学科。机械运动：是物体在空间的相对位置随时间的变化。五、理论力学的发展史意大利的达芬奇(1452~1519)研究滑动摩擦、平衡、力矩。波兰的哥白尼(1473~1543)提出宇宙“日心说”。德国的开普勒(1571~1630)提出行星运动三定律。意大利的伽利略(1564~1642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度的概念。早在(公元前287~212)古希腊阿基米德著的《论比重》就奠定了静力学基础。英国伟大科学家牛顿(1643~1727)在1687年版的《自然哲学的数学原理》一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等，是力学奠基人。瑞士的伯努利(1667~1748)提出虚位移原理。希腊的托勒密(约90—168)提出宇宙“地心说”。法国达朗伯(1717~1785)出版著作《动力学专论》，提出达朗伯原理。法国拉格朗日(1736~1813)出版名著《分析力学》，提出第二类拉格朗日方程。六、《理论力学教程》的内容框架质点力学质点组力学刚体力学转动参照系分析力学瑞士的欧拉(1707~1783)出版著作《力学或运动科学的分析解说

》和《刚体运动理论》。主要参考书目：1).周衍柏.《理论力学教程》，高等教育出版社，20092).管靖等.《理论力学教程学习指导书》，高等教育出版社,20123).梁昆淼.《力学》(下册)，人民教育出版社，19804).肖士珣.《理论力学简明教程》，人民教育出版社，19835).胡慧玲等.《理论力学基础教程》，高等教育出版社，19866).苏云荪.《理论力学》，高等教育出版社，19907).郭士堃.《理论力学》(上、下册)，人民教育出版社，19828).胡守信.《理论力学》，高等教育出版社，19869).刘焕堂.《理论力学原理与方法》，厦门大学出版社，199710).陈世民.《理论力学简明教程》,高等教育出版社，

200111).卢圣治.《理论力学基本教程》，北京师范大学出版社，200412).梅凤翔等.《分析力学基础》，西安交通大学出版社，198713).哈工大理论力学教研室,《理论力学》(I、II),高等教育出版社,201214).H.Goldstein,ClassicalMechanics,2-ndedition,AddisonWesley,1980编写《理论力学》教学资料汇编一套编写《分析力学讲义》一套理论力学课题组编写的辅助教材第一章质点力学§1.1运动的描述方法(绝对时空观)一、参照系与坐标系参照系

物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。为研究一个物体的运动必须事先选定另一个物体作为参照物，被选为参照物的物体就叫做参照系或参考系。①参照物不同，对同一个物体运动的描述结果不同；②观察者是站在参照系的观察点上；③研究地面附近物体的运动选地球为参照系。说明：为了定量确定物体的空间位置，还必须在参考系上建立坐标系。如直角坐标系，平面极坐标系，自然坐标系，柱面坐标系和球坐标系。3、质点及位置的描述(1)质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。(2)位置描述②坐标描述：直角坐标系:坐标系①质点相对某参照系的位置，可由位矢

确定平面极坐标系：自然坐标系：osP柱面坐标系：球面坐标系：二、运动学方程及轨道1、运动学方程描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。运动学方程确定了质点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点运动的首要任务。一般常用的方程有（1）矢量形式的运动学方程当质点运动时是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。（2）直角坐标形式的运动学方程这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，运算容易。（3）平面极坐标下的运动学方程当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。（4）自然坐标形式的运动学方程对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便。说明：通过坐标形式的方程(标量方程)表示质点的运动学方程，并由此确定质点的其它运动量的方法称为分析方法。（5）柱面坐标形式的运动学方程（6）球面坐标形式的运动学方程2、轨道质点运动过程中在空间描述出的连续曲线,标量形式的运动学方程中消去t得轨道方程。三、位移、速度、加速度1、位移：质点位置的改变，即位置矢量的增量。路程：质点沿轨道走过的长度2、速度：平均速度瞬时速度(速度)3、加速度：平均加速度瞬时加速度(加速度)§1.2速度、加速度分量表示式一、直角坐标系1、速度：分量式：速度大小：速度方向：可用方向余弦确定

2、加速度：分量式：加速度大小：加速度方向：[例1]设椭圆规尺AB的端点A与端点B沿直线导槽ox及oy滑动（如下图所示），而B以匀速度c

运动，求椭圆规尺上M点的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b,.M点速度的方向：M点加速度的方向：解：建立直角坐标系，小环的运动学方程为：求速度求加速度例2.半径为R的铁圈上套一小环P，直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度转动。求小环P的运动学方程、轨道方程、速度和加速度。二、平面极坐标系确定1、速度：注意:方向都变化，乘积函数求导。①先求：同理：②速度分量式：速度大小：速度方向：2、加速度即：加速度大小：加速度方向：3、柱坐标系中的速度和加速度表达式（平面极坐标加垂直的z坐标）[例3]已知一质点的运动方程为试求其速度与加速度。解：平面极坐标系下的运动学方程的标量形式为例4.半径为R的铁圈上套一小环P，直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度转动。求小环P的运动学方程、轨道方程、速度和加速度。解：建立平面极坐标系，设，小环P的运动学方程为：轨道方程为:速度为：加速度为：例5.已知一质点作平面运动，其速率为常量c，其位置矢量转动的角速度也为常量，试求质点的运动学方程及轨道方程。解：由已知条件(1)(2)(3)把(1)式代人(2)并分离变量得(4)(3)、(4)二式即为运动学方程消去t得轨道方程三、自然坐标系1、运动学方程(弧坐标方程)引入三个单位矢量2、速度3、加速度4、三个平面(密切平面、法平面和直切平面)密切平面密切平面：轨道上无限接近的3个点确定的平面，或无限接近的两条切线所确定的平面曲率圆：在密切平面内以曲率中心为圆心，以曲率半径为半径所画成的圆，该圆与无限接近的两条切线都相切。曲率：描述曲线的弯曲程度曲率半径：曲率圆的半径法平面直切平面过山车

解:因，求速度在切线方向的投影式中求加速度所以[例6]一质点沿圆滚线的弧线运动，如为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。为圆滚线某点P上的切线与水平线(x轴)所成的角度，为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。解:先在直角坐标系中求速度和加速度

[例7]设质点P沿螺旋线运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径。

例8.半径为R的铁圈上套一小环P，直杆OA穿过小环P并绕铁圈上O点以匀角速度转动。求小环P的运动学方程、轨道方程、速度和加速度。解：轨道已知，可建立平面自然坐标系，选O1为原点，并规定弧长正方向如图所示，运动学方程为速度为加速度为说明:(1)不同坐标系中轨道方程、速度和加速度的表达形式不同，但它们对描述质点运动是等价的；(2)不同坐标系中速度和加速度的大小和方向是相同的四、球面坐标系质点P的空间位置由坐标确定引入三个单位矢量§1.3平动参照系二、绝对速度、相对速度与牵连速度

选取两个参考系其中为

相对于静系

的速度，称为绝对速度。一、时空关系为P相对于动系

的速度，称为相对速度。为在

系带动下P相对于静系

的速度,称为牵连速度。

说明：P点同时参与两种运动：相对于动系的运动;被动系带着一起以

运动三、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度由得:若动系相对于静系

做匀加速直线运动绝对加速度(质点P相对于静系的加速度)相对加速度牵连加速度【例题1】某人以4km/h向东前进,感觉风从正北吹来,以8km/h向东前进,感觉风从东北吹来,求风速和风向.解：1、分析是否为相对运动问题，选择动系和静系，并明确研究对象研究对象：风;静系：地面;动系：人2、用速度合成关系列方程

:人行走速度，

：风速(相对于地)，:风相对于人的速度由：得：风速：风向：以矢量方式求解：西北风确定静系和动系解：静系：河岸动系：河流研究对象：小船【例2】小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点，假定水流速度沿河宽不变，而拉绳子的速度则为，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹.由速度合成关系：设:绝对速度，:相对速度,

:牵连速度得：两式相除得：分离变量得：得：§1.4质点运动定律一、牛顿运动定律(经典力学的基础)1.牛顿第一定律(惯性定律)任何物体(质点)如果没有受到其他物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动的状态。由伽利略发现只适用于惯性系Law1:Everybodyperseveresinitsstateofrest,orofuniformmotioninarightline,unlessitiscompelledtochangethatstatebyforcesimpressedthereon.(每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使他改变那个状态)Lawofinertia:Abodyatrestremainsatrestandabodyinmotioncontinuestomoveatconstantvelocityalongastraightline,unlessacteduponbyanexternalforce.

(如果没有外力作用，静止物体将保持静止，运动物体将不断做匀速直线运动)2.牛顿第二定律(核心地位)当一个物体(质点)受到外力作用时，该物体所获得的加速度和外力成正比，和物体本身的质量成反比，加速度的方向和外力的方向一致。力的独立作用原理Law2:Thealterationofmotioniseverproportionaltothemotiveforceimpressed;andismadeinthedirectionoftherightlineinwhichthatforceisimpressed.(运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向)3.牛顿第三定律力：物体间的相互作用具体表现为推或拉，吸引或排斥，支撑或挤压等引力—由于物体的质量(引力质量)引起的力电力和磁力—起源于静止的或运动的电荷核力—原子核内部粒子间相互作用接触力—在物体相接触处所呈现的力，例如摩擦力Law3:Toeveryactionthereisalwaysopposedanequalreaction;orthemutualactionsoftwobodiesuponeachotherarealwaysequal,anddirectedtocontraryparts.(每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反)二、相对性原理1.惯性参考系和非惯性参考系(只能通过观察和实验判断)惯性参考系：牛顿运动定律能成立的参考系非惯性参考系：牛顿运动定律不能成立的参考系当一个物体A对另一个物体B有一个作用力的同时，另一个物体B同时也对该物体A有一个反作用力，作用力与反作用力的量值相等，方向相反，并且在同一直线上。3.力学相对性原理(伽利略相对性原理)在所有的惯性参考系中力学规律都相同只存在近似的惯性参考系常见的惯性参考系地球当考虑地球自转的影响时，地球不再是惯性参考系(在赤道附近产生的加速度为3×10-2米/秒2)地心系当考虑地球公转的影响时，地心系不再是惯性参考系(地球绕太阳公转产生的加速度为6×10-3米/秒2)日心系当考虑太阳绕银河系中心运动时，日心系不再是惯性参考系(加速度为3×10-10米/秒2)FK4系以选定的1535颗恒星的平均静止位形作为基准的参考系§1.5质点运动微分方程

一、运动微分方程的建立1.自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束的质点称为自由质点。(1)直角坐标系三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：积分可得到质点的运动规律。(2)平面极坐标2.非自由质点的约束运动将约束的作用归结为力的作用。约束对质点的作用力为约束力(约束反作用力),约束力是未知的,取决于约束本身的性质、主动力和质点的运动状态,故称约束力为被动力。若质点被限制在某一曲线或曲面上运动，该曲线或曲面称为约束(目前只讨论固定的几何约束)，其方程为约束方程。约束公理：当其约束的作用用相应的约束力代替之后，我们就不再考虑约束的存在而将非自由质点视为自由质点来处理。换言之，用约束力代替约束之后，即可将约束解除。质点的运动微分方程：一般采用自然坐标系求解。(1)光滑约束：约束力在轨道的法平面内，即沿质点运动方向没有分量

(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.(2)非光滑约束:约束力在质点运动方向有分量(如摩擦力)四个未知数运动规律和约束力无法分开求解二、运动微分方程的求解动力学的两类基本问题：（1）已知力，求运动(主要问题)1.力仅是时间的函数,即解：自由电子(视为经典粒子)受电场力作用，第一类问题的解题步骤：（3）写出运动微分方程，选坐标系投影；（4）解方程，分析解的物理意义。（2）作图，受力分析；（2）已知运动，求力（1）明确研究对象，选择适当的参考系例1:研究自由电子在沿

轴的振荡电场中的运动电子的运动微分方程为：积分得假设初始速度:分离变量得上式可写为假设初始位置最后得小结：这类问题最容易解决，只需进行两次积分，就可以得到全部运动规律。在普通物理力学中，研究质点在重力场中的运动时忽略了空气阻力。斜抛体：自由落体：yxo2.力只是速度的函数,即轨道方程：但在速度较大或者物体形状较大时，空气阻力都是不能忽略的。而空气阻力比较复杂，与物体形状、速度、空气密度、温度都有关。━腔外弹道学运动微分方程为：(1)式除以(2)式得运动微分方程：例2.考虑质点在重力场中运动时有阻力的情况。把抛射体简化为质点，则阻力

标量方程：先解方程(1)再积分：类似地：消去x和y中的t,得到轨道方程:即在阻力很小(b→0)或距离很短(x→0)时结果分析：(1)若阻力b很小或者x很小时，结果中的三次方及以上可以忽略,轨道近似为抛物线。

(2)

当x→mvx0/b时，y→-∞，因此

x有一个极限值mvx0/b【例3】质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速地自离开地面为h的地方竖直下落。如阻力与速度正比，试研究其运动。2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程即：解：1.研究对象：质点，选地面为参考系hx令：得分离变量得4.解方程5.分析解的物理意义

t增大,v接近极限速度-g/k,运动几乎为匀速直线运动。【例4】在例3中，若阻力与速度平方成正比，试研究该质点的运动。2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程hx解：1.研究对象：质点，选地面为参考系(1)即(2)令(3)(2)

式变为5.求解方程分离变量得(4)利用不定积分公式(5)得(6)(6)式变为即(7)反双曲正切再积分6.讨论下面列出投影方程，上升时2.作图，受力分析3.选取适当的坐标系（如图）4.列出运动微分方程解：1.研究对象：质点，选地面为参考系mgyo【例5】质量为m的小球以初速v0竖直上抛，空气的阻力为求：（1）上升的最大高度；（2）返回到地面时小球的速度。利用：做定积分：得(1)下降时R=kmv2mg利用：积分：得(2)将（1）代入（2），得3.力只是坐标的函数：F=F(x)

(1)一维谐振动求解：本征方程通解为令则其中，(2)三维谐振动（3）阻尼振动、受迫振动:说明：在物理学中，有时会遇到一些微分方程没有解析解，只能用数值计算求它们的近似解。4.约束运动问题一般选自然坐标系【例6】小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x2=4ay。试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。解：1.研究对象：小环参考系：地面2.作图，受力分析4.选取自然坐标系（如图），投影5.求解-dyds-dx3.列出方程即对（2）对（1）积分得滑至顶点时：求顶点处曲线的曲率半径，滑至顶点时，x=0,y=0【例7】质点在光滑球面上滑动，当它在顶点A时水平初速度为，试问质点滑到何处脱离球面？欲使质点在A处就脱离球面，速度值是多大？解:(1)分析约束：球面对质点的约束是单面的，质点在球面上滑动，球面阻止质点向球内运动，所以球面对质点的约束反作用力应指向球外。(2)研究对象：质点，参考系：球面(3)受力分析：(4)列出质点的动力学方程(5)求解动力学方程先求解方程(1)(1)式变为对上式积分得将(3)代人(2)得如果质点离开球面(即解除了球面对它的约束)，条件是R=0若在A点就脱离球面，则例8.一质量为m的小环在半径为r的水平圆环上，设小环的初速度为，小环与圆环的摩擦系数为，求小环经过多少弧长后停止运动。解：1.

研究对象：小环3.

受力分析：4.

列运动微分方程:2.

参考系：地面坐标系：自然坐标系联立方程(1)、(2)和(3)得分离变量得：两边求定积分得【例9】质量为m的质点在一个倾角为的固定粗糙斜面上滑动，求质点的运动规律以及斜面对质点的约束反作用力。解：(1)分析约束：质点受非光滑约束(固定几何约束)(2)研究对象：质点，参考系：斜面(3)受力分析：(4)列质点的运动微分方程：(4)建立如图所示的坐标系，运动微分方程的投影式约束方程：(5)解方程积分并结合初始条件，匀变速下滑(6)讨论【例10】一内壁光滑的直管，在水平面内绕过其端点O的竖直轴以角速度做匀角速转动。管内有一质量为m的质点，初始时距O点的距离为，相对管静止。试求质点沿管的运动规律和质点对管在水平方向的压力。解：1.研究对象：质点4.列质点运动微分方程

2.参考系：地面坐标系：柱面坐标系3.受力分析：受光滑约束例11.

一质点穿在一光滑抛物线轴线上方h处，并从此处无初速地滑下，抛物线的方程为，p为常数。问滑至何处，曲线对质点的反作用力将改变符号？Aoxy解：1.研究对象：质点2.参考系：地面坐标系：自然坐标系3.

受力分析4.列质点运动微分方程

(5)解方程由(1)得在R=0处，反作用力将改号，由(2)得(3)式变为：整理得即改号处得y为方程(4)的根。方程(5)的三个根可由卡尔丹公式给出§1.6非惯性系动力学(一)

---动系相对与静系作加速平动绝对加速度、相对加速度和牵连加速度之间满足如下关系对于质点P，在惯性系S中惯性力将(1)代入(2)得说明：

(1)惯性力不是相互作用的力，不存在施力物体，只有在非惯性系中质点才会受这一力的作用。【例1】火车在平直轨道上以匀加速a0向前行驶，在火车中用线悬挂着一小球，悬线与竖直线成θ角而静止,求θ。解：方法一（惯性系),

选地面为参考系1.受力分析

(2)解动力学问题时应清楚所选择的参考系是惯性系还是非惯性系。3.选取平面直角坐标系,写出标量方程2.列出方程4.解之得方法二（非惯性系），选火车为参照系而：即：解之得：投影方程：yxTmg【例2】质量为m和2m的两个质点,被一不可伸长的轻绳连接,绳挂在光滑的滑轮上.在m的下端又用固有长度为a、倔强系数k=mg/a的弹性绳挂上质量为m的另一质点，在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳处于固有长度上。由此静止状态释放后，求证这一运动是简谐振动,并求其振动周期T及任何时刻两段绳中的张力。解：

(1)对A,B选大地为参考系，建立直角坐标系，而对C则选B为非惯性系，建立系。(2)受力分析,如右图。(3)列质点的运动微分方程对方程(4)两边对时间求两次导数得将(5)、(6)代入(2)和(3)得由(7)得代入(8)、(9)得联立(10)、(11)得令令则§1.7功与能

一.功和功率1.质点在恒力作用下沿直线运动2.质点受变力沿曲线运动功是标量，其值与坐标系选取无关。其中，是力的作用点之位移。在直角坐标系下在平面极坐标系下即合力对质点所做的功为各力对质点所做功的代数和。在自然坐标系下3.若质点受几个力作用,合力(2)功是力对空间的积累,是过程量,一般与路径有关.说明:(1)功是标量,但有正负(与力和位移的夹角有关).(3)功的位移指受力点的位移.(4)功和参考系有关(因为质点位移与参考系有关).slmMf相对地面，子弹所受摩擦力做功相对木块，子弹所受摩擦力做功二.能物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。力学中—机械能(动能+势能)。当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来—功是能量变化的度量。三.保守力、非保守力、耗散力一般情况下：4.功率(瞬时功率):描述做功快慢的物理量。2.力场分类若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力

，且力是位置的单值有限可微函数，则该区域称为力场，

为场力。如:万有引力场、静电力场、弹性力场等。按力场与时间的关系按力做功与路径有无关系1.力场3.保守力的判据

即：为保守力的充要条件：4.势能

函数V(x,y,z)则为质点在坐标(x,y,z)处的势能说明：1)势能函数加上任意常数不影响势能差。2)仅当力场为保守力场时才可引入势能。证明:(1)必要性同理可得根据斯托克斯定理(2)充分性即做功与路径无关,解：先验证力是否为保守力

沿此质点沿螺旋线,运行自至时，力对质点所做的功。【例1】设作用在质点上的力是xyz解法三：选直线路径积分xyz解法二：用势能的增量计算做功解法四：沿质点运动的路径积分【例2】在例1中，如果则结果如何？不存在势能函数§1.8质点动力学的基本定理与基本守恒律

一、动量定理与动量守恒定律1.动量:2.动量定理(出发点：牛顿第二定律)

物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的范围内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。动量是机械运动强弱的度量。动量定理的微分形式冲量：力对时间的积累用冲量表示的动量定理的微分形式元冲量恒力的冲量变力的冲量用冲量表示的动量定理的积分形式3.动量守恒定律即：如果质点受到的合外力恒等于零，则其动量守恒。质点在x方向上的动量守恒二阶微分方程积分一次一阶微分方程质点的动量守恒定律例如:斜抛体的水平动量守恒x

(3)受力分析：重力，桌面对小球的正压力(冲力)，用平均正压力代替解法一：(1)研究对象：小球

(2)参照系：桌面，坐标系：ox例1：一质量为0.01kg的小球，从的高度处由静止下落到水平桌面上，反弹后的最大高度为，设碰撞时间为。求小球与桌面碰撞时对桌面作用的冲量是多少？(4)在小球与桌面碰撞过程中应用动量定理投影到x轴得标量方程桌面对小球的冲量小球对桌面的冲量x其中，小球对桌面的冲量方向竖直向下解法二：将动量定理用于小球下落、与桌面碰撞和上升的整个过程。标量方程为其中，例2.当质点沿水平方向平动时，假设作用力其中：m为质点的质量，解：(1)研究对象：质点(2)参考系：地面；坐标系ox(4)应用质点动量定理列方程(3)受力分析：推力二.力矩与动量矩1.力矩★力对空间某一点O的力矩:O点称为矩心★力对空间某一轴线的力矩(力矩矢量沿该轴的投影)O2.动量矩(或称为角动量)对O点的动量矩：

对x,y,z轴的动量矩：三、动量矩定理与动量矩守恒律(对固定点O)1.动量矩定理(出发点：牛顿第二定律)动量矩定理的微分形式投影式:2.冲量矩元冲量矩恒力矩的冲量矩变力矩的冲量矩用冲量矩表示的动量矩定理的微分形式

积分形式3.动量矩守恒定律即：如果质点受到的外力矩恒等于零,则其动量矩守恒。即：如果质点在某方向上受到的外力矩恒为零,则该方向上的动量矩守恒。二阶微分方程积分一次一阶微分方程视频演示动画演示【例3】质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动(如地球绕太阳运动，卫星绕地球运动等),试证明之。分量式为：x乘(1),y乘(2),z乘(3),并相加,得:经过固定点O的平面方程。

解：由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩:解：(1)研究对象：小球(2)参考系：地面；坐标系oz(4)应用质点对z轴的动量矩守恒(3)受力分析：四、动能定理与机械能守恒律1.动能定理(出发点：牛顿第二定律)定义动能质点动能的微分等于作用在该点上的力所作的元功积分形式2.机械能守恒定律机械能守恒若

为保守力场，五、势能曲线若质点受一维保守力的作用，则质点的势能是其坐标的函数。则V(x)–x图形称为势能曲线。经典力学与量子力学的区别之一，隧穿效应

解:(1)分析用机械能守恒律的可能性重锤受到哪些力？哪些做功哪些不做功？(2)确定初末态时重锤的总机械能；用机械能守恒定律求出速度

缺点：无法求出T的大小。零势能【例5】如图所示，一重锤固定一轻杆末端，将其约束在竖直圆周上运动。假设初始角度为，忽略空气阻力，求重锤经过最低点的速度。(3)用牛顿运动定律求解受力分析写出动力学方程(采用自然坐标系)则微分方程变为：求解方程(1)两边积分：求杆对重锤的作用力例6.光滑滑道AB的后部是半径为a的圆环，重为P的物体由静止自高度h沿AB下滑。求：①使物体通过圆环顶点不脱落的h最小值；②若圆环上部形成一角的缺口，欲使物体越过缺口仍能通过圆环，h应该多大；欲使h为最小，为？CDEoB零势能A解：①物体在重力场中沿滑道滑到E点的过程中，不作功，只有重力做功，机械能守恒同时，物体在E点的主法向运动微分方程为在E点，R=0时，h为最小，视频演示②物体从A到C的过程中，机械能守恒由(3)得欲使物体从点C沿抛物线越过缺口到达D,由射程公式得合并(4)和(5)得整理得轨道方程：讨论：物体飞越缺口时的轨道问题2010级云亭班魏学睿守恒律小结牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒律是一阶的，称为第一积分，能量守恒也称能量积分。用初积分比用运动微分方程运算简单。基础：§1.9有心力

一、有心力的基本性质1.有心力：运动质点受力的作用线始终通过某一定点，该力为有心力，该点叫力心。有心力的大小一般为距离r的函数。2.质点作平面运动质点必在垂直于的平面内运动。如：月亮绕地球运动、地球绕太阳运动3.运动微分方程(1)直角坐标系(2)平面极坐标系物理意义:

质点对力心的动量矩守恒4.有心力为保守力机械能守恒定律：解决动力学问题的基本出发点：二、轨道微分方程-比耐公式通常求轨道：但在有心力中，所有对于时间的微分都可以通过消除，从而得到关于

与

的微分方程,求解该轨道微分方程可得到轨道方程。用途:比耐公式例6质量为m的质点在有心力作用下走一心脏线轨迹三、平方反比引力──行星运动引力:代入比耐公式得1.用比耐公式求质点的轨道方程以太阳为焦点的圆锥曲线为正焦弦的一半为偏心率在直角坐标系中，轨道方程(1)

椭圆

近日点远日点OCxABrpy(矮行星)OA(2)

抛物线引力斥力(3)

双曲线2.用动量矩守恒和机械能守恒求质点的轨道方程代入方程(1)得由于e是一个几何量，应该找一个物理量作为判据。由于有心力是保守力，因此行星运动过程中机械能守恒——机械能可否作为判据？下面计算质点在顶点的机械能。先计算A点动能：在A点的向心力：下面计算:下面讨论A点的势能,取无穷远处为势能零点

在A点:质点的机械能:质点机械能决定轨道形状：计算质点在任意位置的速度大小(1)开普勒第一定律(1609年)：行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于其中一个焦点。(2)开普勒第二定律(1609年)：矢径在单位时间内扫过的面积相等结论：引力(有心力)对太阳的力矩为零，则行星对太阳的动量矩守恒dA四、从开普勒定律到万有引力定律1.开普勒三定律动画演示(3)开普勒第三定律(1619年)：行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。计算公转周期:椭圆面积:

公转轨道具有共面性：开普勒第三定律万有引力定律1687年2.从开普勒三定律推导万有引力定律开普勒第一定律代入比耐公式1.宇宙速度五、宇宙速度与宇宙航行第一宇宙速度——物体可以环绕地球表面运行所需的最小速度(环绕速度).以下计算均不计空气阻力等次要因素

第二宇宙速度——逃脱地球引力所需要的从地面出发的最小速度(脱离速度).选地心－恒星惯性参考系；将抛射体和地球视为质点系机械能守恒第三宇宙速度——是使物体脱离太阳系所需的最小速度(逃逸速度).设质点以第三宇宙速度抛出时，其动能为这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动能Ek1

和脱离太阳系所需的动能Ek2

：下面求脱离太阳系所需的动能Ek2.由类比质点脱离太阳引力所需速率应该是地球公转速率,质点随地球相对太阳运动的速率设准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公转的方向相同，射出的质点在离开地球时相对地球速率为与此相对应的动能为既能摆脱地球引力又能摆脱太阳引力所需要的总能为第三宇宙速度抛体以不同速度抛出时不同类型的运动轨迹.动画演示2.人造卫星(artificialsatellite)科学卫星:进行大气物理、天文物理、地球物理等实验或测试的卫星

通信卫星:做为电讯中继站

军事卫星:做为军事照相、侦察之用气象卫星:摄取云层图和有关气象资料资源卫星:摄取地表或深层组成之图像，做为地球资源探勘之用星际卫星:可航行至其它行星进行探测照相之卫星各国首颗卫星发射

1957年10月4日,苏联发射了人类首颗人造卫星斯普特尼克1号

1958年1月31日,美国发射了探险者1号

1965年11月26日,法国发射了试验卫星1号

1970年2月11日,日本发射了大隅号

1970年4月24日,中国发射了东方红1号

1971年10月28日,英国发射了普罗斯帕罗例7已知一人造地球卫星，发射到离地面320公里的高空时，以8公里/s的速度沿着与位矢垂直的方向运动。试计算轨道各参数：远地点，远地点速度，半长轴和半短轴，偏心率，周期和发射的能量。解：在地球表面3.人类登月

苏联的月球2号于1959年9月撞击月球，是首个登陆月球的探测器1969年7月16日-24日,美国阿波罗11号载阿姆斯特朗、科林斯、奥尔德林首次登陆月球

1969年11月14日-24日,阿波罗12号载康拉德、戈登、比恩登月

1970年4月11日-17日,阿波罗13号载洛弗尔、海斯、斯威加特,

由于登月过程中液氧箱爆炸，登月失败

1971年1月31日-2月9日,阿波罗14号载谢泼德、罗塞、米切尔登月

1971年7月26日-8月7日,阿波罗15号载斯科特、沃登、欧文登月

1972年4月16日-27日,阿波罗16号载约翰·杨、马丁利、杜克登月

总耗资240亿美元,阿波罗计划取得了巨大的成功，但计划中也有过几次严重的危机，包括阿波罗1号测试时的大火造成维吉尔·格里森、爱德华·怀特、罗杰·查菲的死亡；阿波罗13号的氧气罐爆炸以及阿波罗-联盟测试计划返回大气层时排放的有毒气体都几乎使执行任务的宇航员丧命。1969年7月人类第一次登月阿波罗11号宇宙飞船(矮行星)(Earth)(Moon)(Mars)(Jupiter)(Saturn)(Mercury)(Venus)(Uranus)(Neptune)4.行星探测器

1962年11月，苏联发射“火星1号”探测器，在飞离地球

1亿公里时与地面失去联系，从此下落不明，它被看作是人类火星探测的开端。

1965年7月，美国“水手4号”飞近火星，从距离火星1万公里处拍摄了21幅照片。

1972年，美国“水手9号”飞船沿火星外层空间轨道飞行，成为火星的第一颗人造卫星,环绕火星轨道进行长期考察。

1974年，苏联“火星6号”和“火星7号”探测器在火星着陆，探测结果没有公布。

1998年7月，日本发射“希望”号火星探测器，但以失败告终。

人类火星探测历程

2001年4月，美国发射“奥德赛”号火星探测器，发现火星表面可能有丰富的冰冻水。

2003年6月，欧洲宇航局的第一个火星登陆器“猎兔犬2”号及其搭乘的“火星