中国古代数学课程概况

中国古代的数学课程概况书目第一节中国奴隶社会中的数学课程其次节中国封建社会中的数学课程一、西周以前的数学教化1、原始时期的教化：原始人的社会生活和生产劳动是从制造工具起先的，因此学习制作工具的阅历和技术就成了人类教化的第一课，原始人在人工取火、采集、渔猎、制陶、斗争、祭祀等活动中，积累了丰富的阅历须要传递给年轻人，这就产生了教化，也就是说，教化是原始人适应当时社会生活和生产劳动的须要而产生的一种活动，并且随着人类生产生活的进行而发展变更着。原始教化的特点：完全是自然状态下的教化。教化与社会实践完全结合为一体，早期人类在生产劳动中获得阅历、技能、学问以及行为规范。教化并没有被分化为特地的活动。2、远古时期的学校：①五帝时期的学校：成均（《礼记》）董仲舒曰：“五帝名高校曰成均。”郑玄曰：“均，调也。乐师主调其音。”②夏商的学校夏曰校，殷曰庠，周曰序。——《说文》庠者养也，校者教也，序者射也。——《孟子》这些学校的目的是进行伦理教化和军事训练，以习武为主，老师多有军官担当。“师”即源于军旅和军官的称号。3、关于商代学校的记载：①、商代已经有真正意义上的学校——“学”。②、商代学校的学习内容——“戒”。甲骨卜辞：“丁酉卜，其呼以多方小子小臣其教戒。”③、商代学校受到高度重视——上学需占卜。

商代(又称殷代，约公元前17世纪～约前11世纪)：1899年在河南安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上所刻的象形文字(甲骨文，公元前14世纪)。自然数的记法：10进位制，最大的数字是3万。西周的数学课程1、西周的学校西周的学校教化制度是在夏、商学校教化制度基础上形成和发展起来的，形成了组织比较完备的学制系统，西周的学校分为“国学”与“乡学”两种：“国学”是专为上层奴隶主贵族子弟设在天子王城和诸侯国都的学校，由大司乐主持。西周的“国学”按儿童年龄和程度分成小学和高校两级，小学设在宫廷旁边，高校设在近郊，天子与诸侯的高校名称各异。高校的教化目标，听从培育统治者的需求，主要是“学大艺，履大节”，培育有德有仪、能征善战的统治者。由于西周的国策是“国之大事，唯祀与戎”，祭祀须要礼乐，军事需练射御，所以教学内容以礼乐为重，射御次之。（二）乡学乡学是依据当时的地方行政区域为一般奴隶主子弟和部分庶民子弟设立的地方学校，由大司徒掌管。2、西周教化内容：“六艺”—礼，乐，射，御，书，数。①礼、乐。礼乐教化礼乐教化是西周时期的政治伦理道德教化和艺术教化。奴隶主贵族的礼乐是紧密协作的，凡是行礼的地方，都须要乐的协作，礼乐贯穿整个奴隶社会，体现着宗法等级制度，对年轻一代的政治伦理道德修养起着重要作用。可见礼乐教化特殊重要，是整个六艺教化的核心。“礼”最初指祭祀祖先天神的仪典、衣食住行方面的规则，到西周时成为明尊卑、别上下、维持世袭等级名分的制度。所以它包括的内容很广，有关于贵族君臣、父子、兄弟、夫妇、挚友之间尊卑关系的规定，有关于贵族衣食住行、丧葬婚嫁等方面的行为规则，还有政治、军事、法律方面的典章制度以及日常伦理道德与行为规范方面的礼仪礼节。学中所教之礼，则为贵族生活中所必需的“五礼”（吉、凶、军、宾、嘉）和“六仪”（祭祀之容、来宾之容、朝廷之容、丧纪之容、军旅之容、车马之容）。“乐”的内容也很广泛，包括诗歌、音乐、舞蹈和乐器。所谓‘乐者、乐也’，凡是使人快乐、使人的感官可以得到享受的东西，都可以广泛地称之为‘乐’。②射、御。射御教化“射”指射箭的技术训练，“御”指驾战车的技术训练，是西周时期的军事教化，或者说体育训练，贵族子弟要成为“执干戈以卫社稷”的武士，射御是必不行少的训练项目。③书、数。书数教化“书”本义指书写，后延长为书写的文字和书籍，“数”本义指数目，后延长为算法和历数，这两项内容是西周时期的文化学问教学。学“书”首先学六十甲子的书写，这是文字教学的初步，继而学习“六书造字法”。对儿童进行“数”的教学，首先学“数”的依次名称及记数符号，然后学甲子记日法，知道朔望的周期，再进一步学习计数的方法，驾驭十进位和四则运算，培育初步的计算实力。《周礼·地官·保氏》提出“九数”的说法，认为西周已有方田、栗米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要等计算方法。“九数”成为历史遗产，后经不断整理补充，奠定了《九章算术》的基础，这表明西周的数学教化已有丰富的内容。六艺教化包含多方面的教化因素，它既重视思想道德教化，也重视文化学问教学；既留意传统文化，也留意好用技能；既重视文事学习，也重视武备训练；教学要求既要符合礼仪规范，也留意学生内心情感修养，体现了文武兼备、知能兼求的特点，同时还能依据儿童的年龄特点，留意小学与高校教化内容的侧重。书数教化六艺教化中有很多符合教化规律的历史阅历，值得后世借鉴。西周教化的特点①、是一种文武兼备的教化。②、是一种知行合一的教化。③、学术和教化为官方所把持，即“学在官府”是西周教化制度的显著特征。

“学在官府”指的是官学机构设于官府之中，即政教一体；奴隶制国家的学术为奴隶主官府所垄断，即“官守学业”；官学的老师就是官府的官吏，即官师合一，“居官之人，亦即教民之人”。周(约公元前11世纪～公元前256年)：奴隶制经济获得进一步的发展.“数”作为六艺之一，起先形成一个学科。算筹记数和四则运算已经起先

春秋时期私学的兴起1、背景：“天子失官，学在四夷”（《左传》）2、私学创始人：孔子①孔子教学内容：创新“六艺”教化——《诗》、《书》、《礼》、《乐》、《易》、《春秋》②新六艺的特点：重文事③孔子教化思想：△将德育放在首位。△培育“文质彬彬”的君子。△修身。△学而优则仕。“诵诗三百，授之以政，不达，使于四方，不能专对，虽多，亦奚以为？”（《论语》）

④私学的意义：在确定程度上打破了旧有的士庶界限。战国时期的数学课程典型代表：稷下学宫稷下学宫稷下学宫是战国时期齐国的一所著名学府。所谓“稷下”乃指齐国都城临淄（今山东省淄博市）的稷门（城西门）旁边地区。齐国君王在此设立学宫，遂有“稷下学宫”之名。稷下学宫是时代发展的产物。春秋战国时期，我国起先有奴隶制向封建制转变，而齐国是封建化改革较早的国家。公元前386年，齐国新兴地主阶级代表田恒取代姜姓成为齐国国君，标记着封建制度在齐国确立。为了适应对内政治、经济变革，对外争霸称雄的须要，齐国统治者不仅网络招纳天下贤才，还试图培育一批新型人才，于是创办稷下学宫。稷下学宫还是当时养士之风的产物。战国时期，诸侯国之间争雄加剧，为了增加国力，各国纷纷争养贤士，一时间蔚为成风，私门、公室皆养士。“公室养士”是指国君为了让士发挥智囊团的作用，以士为师友，用高官厚禄把他们养起来，并赐予重任的制度。齐国田氏始终爱才、重视养士，并以公室养士为盛。后来田氏凭借国家力气进一步扩大养士规模，并加以组织化、制度化，发展成为育士的学校，稷下学宫应运而生。稷下学宫的特点：1、性质二重性：官私合营的自由联合体。2、多功能性：集讲学、教化、咨议为一体。3、士人充共享受学术自由、精神自由与人身自由。

春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已运用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论干脆与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不行以为圆”，把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。

墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反对：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。从数学资料得知，中国在奴隶社会时期已取得相当可观的数学成果。科技史资料也反映出，西周以至春秋这一段历史时期科学技术已有相当发展，天文、历法、医药、建筑、冶金、机械等方面都有相当进步、这间接反映了数学学问的传播与应用状况。此外，我们还能从历史文献看到在社会生活中的很多重要领域（国家管理、军事、农业)中运用数学学问和数学人才记载。这也是反映当时数学教化状况的珍贵证据。从这些数学学问的记载中，我们可以作出一个推断：中国奴隶社会中，除了奴隶主学校教化中的“六艺”里的初等数学教化内容—数之外，还另外存在着使得较困难的数学学问得以流传持续的渠道。事实的确如此，奴隶主贵族认为，“德成而上，艺成而下”珍贵的人不应当学校这类科学技术的“艺”，那是下人的事。因此，官学中不重视科技教化。当时，这些科技学问（包括数学）主要是靠各种特地的事务官（如祝、史、医、卜、百工等）父以传子相继“私授”而成世业（世业与学校教化并行，是古代奴隶社火教化的一个特点）。此外当时有一些学派的私学（如墨派）也对科学学问的传授起了主动的作用。由以上分析可知，中国奴隶社会时期，大体上已经形成了一种具有确定形式和确定内容的数学教化体制。它有两种不同的教化渠道，也有两种不同层次的课程内容。一种渠道是奴隶主子弟学校（官学）教化，另一种渠道是私学（私授或家传）。一种层次的内容是作为六艺中小艺的初级计算学问，另一种层次的内容是较为困难的高难度应用数学学问，其课程内容大体上相当于后来的《九章算术》的基本部分。在中国奴隶社会，数学教化目标，带有特殊明显的好用性质；课程内容的结构，是问题求解、阅历型的结构。其次节中国封建社会中的数学课程秦代的数学课程汉代的数学课程魏晋南北朝的数学课程隋唐朝的数学课程宋代的数学课程元代的数学课程明代的数学课程清代的数学课程秦代的数学课程1、背景：秦始皇统一天下后的文教政策——书同文，车同轨2、教化政策：“禁私学，以吏为师，以法为教”。（《史记》）3、“秦王焚书”事务4、对秦代教化政策的评价：统一人们的头脑，思想专制，加速了秦朝的灭亡。汉代数学课程：1、重新允许各私家学派开办私学2、董仲舒“罢黜百家，独尊儒术”。独尊儒术对教化的影响首先，提高了教化的地位，促进了教化的发展。儒家治世方案的核心是以教为本，即教化是修身齐家治国平天下之根本。因而汉代有兴太学、设学校培育人才的重要措施，确立了我国古代的官学制度。事实上，汉代确立的官僚政治体系本质上是一个政治-教化系统。其次，促进了教化的政治伦理化。再次，实现了教化的儒学化。最重要的就是经学教化，从而是经学在此后的两千余年封建社会中对社会政治思想文化艺术以及教化本身都产生了极其深刻的影响。独尊儒术对数学教化的影响（1）经世致用成为数学教化的一大特点。儒家的通经致用原则中通经的目的在于致用-培育具有经学修养的封建官吏，具有追求功利的倾向性。很多官员职责须要数学，很多官吏要应用数学来从事管理水利工程、天文历法、手工业等业务。从而促进数学教化思想、内容方法向着有好用价值的方向发展。因此，经世致用成为我国古代数学教化的一大突出特点。（2）儒家讲经兼教数学。教化儒学化、经学化的一个干脆后果是数学成为教化的重要内容。汉代经学教化特殊重视传统数学学问，数学教化作为经学教化的一部分，得以持续和发展。刘歆的数学教化思想刘歆（公元前50年-公元23年）汉代著名大儒，又是数学家，通乐律、历法。他没有特地的数学著作，他的主要数学活动是编写了《三统历》，被认为是世界上最早的天文年历的雏形。此外，他在圆周率的计算上也有贡献，他是第一个不沿用“周三径一”的中国人，并定该重要常数为3.1547，只略为偏差了0.0131。刘歆认为小学应开设数学课程，明显也是继承了古人“六艺”教化的思想。明确提出在小学开设数学（算术），刘歆实在是第一人。这对数学教化的发展有着巨大的意义，由于他本人是负责数学教化的官员之一（大司农），所以有理由认为汉代小学里的确进行了正规的数学教化。正是如此，人们认为“汉时小学，兼重算术”。3、汉武帝的文教政策：①立五经博士，罢诸子博士。②办太学，培育儒家人才。——我国高校教化起先的标记。◆太学的教学内容：经学◆太学的教学风气：重师法和家法◆士子读太学的出路：考核合格后可以授官

汉代官学的数学教化汉武帝元溯五年（公元前124年）创办太学，我国封建社会官立高校制度从今建立起来了。太学的老师称博士，学生称博士弟子。太学学生每年考试一次，能通一艺的即可为官，成果极差劣者及其不勤学者令其退学。做到了教化和选才相结合。西汉后期，太学得到进一步发展，太学中的教学以经师讲学为主，同时留意考试和自学，经师讲的课程中包括了《九章算术》和历数等数学内容。尤其《九章算术》是汉代数学教化的主要教科书。汉代私学的数学教化汉代私学教化有很大发展，由汉初到太学成立之前的数十年间，私学是主要的教化机构。官学制度建立后，私学则与官学相互补充，相互促进，并存发展。私学与数学教化相关的。一是私家传授历算。二是传授卜筮者也必定要传授一些数学学问。三是授经者，一般是名儒，经学大师才能办授经的私学，在授有关经书时必定要讲授有关的数学学问。四是启蒙的小学，应用“算术”的内容。魏晋南北朝时期的数学课程魏晋南北朝时期是一个封建军阀混乱与割据的时期。处于割据状态中的各个封建军阀，各自实行了差异很大的政治策略。这一时期各地学术思想比较自由，各种教化主见也都有自己的市场。各处的官学办的很不同，有的重视有的不重视，时兴时废，总体上看是官学衰微。在办成的官学中也不重视科学教化，当然绝大多数的官学也不重视数学教化。唯有北魏的官学可以算是特例。有鲜卑族拓拔部落发展起来的北魏，是一个由以畜牧射猎为业的原始社会跨步进入封建社会的国家。挺进中原之后，他们意识到，须要在汉族人帮助下完成封建化的改造工作。因此建国后大量吸取汉文化，重视学校教化，尤其重视加强官学。在中心官学里设置了律学和算学。这是古代中心官学中最早出现的特地数学教化机构，是古代教化史中的一大创举。魏晋南北朝时期的教化，就整体而言是官学衰退私学旺盛的时期。私人讲学相当普遍，规模也很大，主要讲授的照旧是经学。魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。隋唐时期的数学课程：1、、建立中心和地方分级管理的教化行政体制。隋代在中心设置了国子寺（后改“国监”），内设祭酒一人，总管教化事业。标记着中国古代教化事业成为独立部门。2、学校等级性设置进一步明确：弘文馆，崇文馆：皇帝，皇太后近亲，及宰相等一品功臣子弟才能入学；国子学：供文武三品以上或从二品以上官员子弟入学；太学：供五品以上官员子弟入学；律学，算学，书学等：八品以下子孙入学；药学：只招收庶人子弟入学3、形成一系列教学管理制度①考核制度进一步完善：考试分三种：旬考：考查学生十日之内所学习的课程。岁考：考查学生一年以内所学习的课程。毕业考：考试及格即取得应科举省试资格。②完善放假制度:旬假：在每次旬考后放假一天。田假和授衣假：田假在阴历5月农忙时，授衣假在阴历9月预备换冬装时，每次各放假一个月，隋唐时代中心官学中设立的特地数学教化机构——国子寺（或国子监）中的算学，是中国历史上最早的“数学系”。隋代中心官学国子寺中设有五学，算学为其一（其余四学是：国子学，太学，四门学，律学），培育目标是训练天文历法、财政管理、土木工程方面的计算人才。其中设有算学博士二人，算学助教二人，特地从事数学教学工作，有学生80人。唐代国子监中的算学，设算学博士二人，算学助教一人，招收八品以下文武官员子弟或者是庶人（百姓）中“通其学者”，额定30人。年龄限制是14—19岁。学习的主要课程内容是国家统一编订的教科书——十部算经（它们是《九章》、《周髀》、《海岛》、《孙子》、《张邱建》、《五曹》、《五经算术》、《缀术》、《夏侯阳》、《辑古》）。这是由当时著名的天文学家、数学家李淳风与国子监的算学博士梁述以及太学助教王真儒等人于680年接受这项任务，对五曹、孙子等十部算经进行校注。完成之后，唐高宗令国子监运用。这也是世界历史上由皇帝下令颁行的第一套数学教科书。据《唐六典》记载，算学科学完全部学完须要7年。在实际学习中，将30人分为两组。一组15人学八经：《孙子》、《五曹》（共用一年），《九章》、《海岛》（共用三年），《张丘建》、《夏侯建》（各用一年），《周髀》、《五经算术》（共用一年），另一组只学较难的两经：《缀术》（用四年）、《辑古》（用三年）。学习成果考核，以参与科举考试结果来论。唐代科举制度唐代是中国历史上最先开科举的时代。唐代科举设有六个科，算学为其中之一，叫做“明算科”。这是用考试方式为国家录用数学人才（官员）的方法。国家规定，没有进过国子监学算学的人也可参与明算科考试，因此，十部算经也是明算科科举考试范围。宋代数学课程宋这一时代的学校教化体制，基本上沿袭了汉唐以来的两类渠道（官学和私学）的体制。宋代的中心官学，较之汉唐时期招生范围有所扩大，身份品级的限制有所放松。在国子监中设过算学（到南宋时就不再设了），立算学时，大体承袭唐制。但在课程内容方面，将比较难学的《缀术》和《辑古》免了，而且取消了兼修《记遗》、《三等数》的规定，学习年限也有些变通。宋徽宗崇宁三年所立的算学，有学生210人，较唐代规模大。教学内容主要是《九章》、《周髀》、兼习《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张丘建》、《夏侯阳》算法。宋代地方官学宋代地方官学比较发达。在行政区划分上，宋代有路、州、县三级，但地方官学只有州县两级。宋代地方官学的管理有一套成型的制度，地方官也都比较重视兴学。有些地方官学办的很有特色。比如范仲淹兴建苏州州学，请来胡瑗任教，创立了“苏湖教学法”。苏湖教学法提倡经世致用的实学，主见“明体达用”。依据学生专长和爱好分斋而教，经义斋主要学习《六经》经义，以培育高级统治人才为目标；治事斋分为治兵、治民、水利、算数等科，旨在培育具有专长的技术和管理人才。胡瑗创立的“分斋教学”制度，实行分科教学；这一教学制度的创立是在中国教学制度发展史上，第一次依据实际须要在同一学校中实行分科教学；治兵、治民、水利、算术等好用学科正式纳入官学教化体系之中，取得了与儒家经学同等重要的地位；并且，治事斋的学生治一事，又兼摄一事，开创学科的主修和副修制度。1084年（北宋元丰七年），秘书省刻印了《九章算术》等一批汉唐时期的算经，作为学校颁行的学校教学用书。唐代国定的十种算经中的主要部分皆在其中，这是中国历史上第一批印刷数学教科书，也是世界历史上最早的印刷出版的数学书籍。宋代数学发展从公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前旺盛，硕果累累的全盛时期。(1)公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年头不详）在《黄帝九章算法细草》中创建了开随意高次幂的“增乘开方法”，还列出了二项式定理系数表;(2) 北宋沈括提出了“隙积术”，起先对高阶等差级数的求和进行探讨，并创立了正确的求和公式。还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。（3）公元1247年，南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipiodelferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地探讨了一次同余式理论。（4）公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。在《测圆海镜序》中，李冶批判了轻视科学实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。

（5）公元1261年，南宋杨辉（生卒年头不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。（6）公元1303年，元代朱世杰（生卒年头不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了探讨，在此基础上得出了高次差的内插公式。（7）公元十四世纪我国人民已运用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。元代数学课程元代是蒙古族入驻中原建立统一王朝的世道。它实行了“法汉”（师法汉制）政策，在文教方面的首要措施是“崇儒”（尊孔崇孔）。在它的中心官学中分设国子学、蒙古国子学，以各种儒经为主要教学内容。在数学方面没有接着实行唐代中心官学开创的措施，不重视数学教化。倒是在蒙古国子学中比较留意培育本民族的数学素养。元代地方官学分路府州县四级。地方官学主要学习内容是四书和五经。此外，诸路设有“阴阳学”，学习内容是天文、数术等科，学有成就录于司天台就职。这是地方官学中的数学教化，培育天算人才。元代在行政建制的基层还建立了一种低级的地方学校，叫“社学”。在这种利用农闲进行学习的社学中，进行基本封建道德教化和基础文化教化。在教化内容中自然要包含着农桑所需的基本数学计算学问，但这种数学教化当然是初级的，大体相当于“六艺”中的“小艺”部分的数，属于普及数学教化。明代数学课程明代的中心官学招生范围更加扩大，中小地主子弟有了受教化的机会。但国子监里立有严苛的监规，确定禁止学生对人对事有所指责，更不允许有任何的组织活动。主要课程为《五经》，也有律令和书、数。对数学教化没赐予重视。明代前期是中国封建社会中地方官学最兴盛的时期。全国州府县三级设学，还有社和卫学（卫，是防卫区。卫