高三数学学情分析试卷 试题

创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、填空题(此题一共14题，每一小题5分，一共70分，请将正确答案填写上在答题试卷上)1、复数Ui在复平面上对应的点位于第 象限.3+4i2、集合M={-11},N=<x2<2]+i<4,xeZ>，那么M[}N=3、命题“Vx>0,都有sinx2-1〃的否认：4、a,P是两个不同平面，m,n是两条不同直线。给出以下命题:①假设m①假设m//n,m±a,则n±a②假设m/a,ap|P=n,则m/n③假设mla,m1P,则a/p ④假设m1n,mla,则n/a其中不正确的选项是.〔填写上你认为恰当的序号〕5、一个算法的流程图如右图所示，那么输出S的值是.1-6、设OM=(1,-),ON=(0,1),O为坐标原点，动点p(x,y)满足0<OP-OM<1,0<OP-ON<1，那么z=y-x的最小值是 .7、函数y=log(x-1)+1(a>0,且a丰1)的图象恒过定点A,ac 1 2假设点A在一次函数y=mx+n的图象上，其中mn>0,那么一+一的mn最小值为.8、设O是4ABC内部一点，且OA+OC=-2。反贝UAAOB与AAOC的面积之比为 9、不等式X2—2X+3<a2-2a-1在r上的解集是0,那么实数a的取值范围是 .10、在样本的频率分布直方图中,一共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列｛an｝,a2=2a1,且样本容量为300，那么小长方形面积最大的一组的频数为.11、数列｛a｝、｛b｝都是等差数列，S,T分别是它们的前n项和，并且匚=2n+1，那么n n nn n=Tnn+3a+a+a-+a=b+b+b+b12、实数x,j满足tanx=x,tany=y，且|x|牛|y|，那么，°(:1.一月%；，)=—.13、0<k<4,直线11:kx-2y-2k+8=0和直线12:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，那么使得这个四边形面积最小的值是k.14、设f(X)是定义在(0,1)上的函数，且满足：①对任意xe(0,1),恒有f(X)>0；②对任意x,xe(0,1)，恒有坐，+f(1-Xi)<2，那么关于函数f(X)有2 f(x2)f(1-x2)①对任意xe(0,1),都有f(x)>f(1-x):②对任意xe(0,1),都有f(x)=f(1-x);③对任意X1,x2e(0,1)，都有f(x1)<f(x2):④对任意X1,x2e(0,1)，都有f(x1)=f(x2)上述四个命题中正确的有.二、解答题：〔本大题一一共6个小题,一共90分．解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤．〕15.〔本小题满分是12分〕tan-=2,求：2〔1〕tan(a+；)的值；⑵6sina+"的值.3sin--2cos-16．〔本小题满分是14分〕某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,

创作人：历恰面日期：2020年1月1日

他们分别到气象局与某抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(°C)1011131286就诊人数y(个)222529261612该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进展检验．(I)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)(II)假设选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；(6分)(IID假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,那么认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3(参考公式：b(参考公式：b=> 一一x-^xy-nxyii4=1 £x2-nx2ii=1ii=i 、 ,a=y-bx)乙(x-x)2ii=i17．〔本小题满分是15分〕如下图，在直四棱柱ABCD-中,DB=BC,17．〔本小题满分是15分〕如下图，在直四棱柱ABCD-中,DB=BC,DB工AC,点M是棱BB1上一点.(I)求证：BD//面ABD；(5分)ii(II)求证：MD±AC；(5分)an）试确定点m的位置，使得平面dmc11平面CC1D1D. （5分）.〔本小题满分是15分〕圆O:x2+W=2交x轴于A,B两<2点，曲线C是以AB为长轴,离心率为亏的椭圆,其左焦点为F.假设P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q.（I）求椭圆C的HY方程；（5分）（II）假设点P的坐标为（1,1），求证:直线PQ与圆O相切；（5分）（n）试探究:当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?假设是,请证明；假设不是,请说明理由．（5分）.〔本小题满分是18分〕设数列｛"J的前n项和为Sn,且满足Sn=2—an,n=1,2,3,…〔I〕求数列｛an｝的通项公式；〔II〕假设数列｛bn｝满足b1=1,且bn±=bn+an,求数列｛bn｝的通项公式；〔III〕设cn=n（3—bn）,求数列｛cn｝的前n项和Tn.〔本小题满分是16分〕设函数f（x）=-x3-2mx2-m2x+1-m（其中m>—2）的图象在x=2处的切线与直线y=—5x+12平行.（I）求m的值；（4分）（II）求函数f（x）在区间［0,1］的最小值；（4分）（⑪假设a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1,试根据上述（I）、（II）的结论证明：-a-+-b-+，<-9.（8分）1+a21+b21+c210三、附加题局部（本大题一一共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23〜26题为选做题，请考生在第23〜26题中任选2个小题答题，假如多做，那么按所选做的前两题记分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.）.〔本小题为必做题，满分是12分〕・・・直线y=2x+k被抛物线x2=4y截得的弦长AB为20,O为坐标原点.〔1〕务实数k的值；22．〔本小题为必做题，满分是12分〕．．．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两局部，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生〔可在高考中加分录取〕，两次考试过程互相HY.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．〔1〕求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；〔2〕设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为自，求随机变量占的期望E0).23．〔本小题为选做题，满分是8分〕．．．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.〔1〕求BF的值；FC〔2〕假设△BEF的面积为S1,四边形CDEF的面积为S2，求S1:S2的值.24．〔本小题为选做题，满分是8分〕．．．直线l的参数方程：Jx=t〔t为参数〕和圆C的极坐标方程：|y=1+21p=2%2sin(0+2).〔1〕将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;〔2〕判断直线l和圆C的位置关系.25.〔本小题为选做题，满分是8分〕25.〔本小题为选做题，满分是8分〕试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M二26.〔本小题为选做题，满分是8分〕26.〔本小题为选做题，满分是8分〕用数学归纳法证明不等式：1用数学归纳法证明不等式：1+n1+,,,+—>1(ngN*且n>1).n2答案填空题（此题一共14题，每一小题5分，一共70分，请将正确答案填写上在答题试卷上）1、三2、{-1答案填空题（此题一共14题，每一小题5分，一共70分，请将正确答案填写上在答题试卷上）1、三2、{-1} 3、三x>0,使得sinx<-14、②④5、45 6、一17、88、19、，一 31{aI-1<a<3}10、16011、—12、013、14、②④二、解答题：（本大题一一共6个小题，一共90分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.）15.1本小题满分是12分〕解:〔15.1本小题满分是12分〕解:〔1〕Vtan-=2,

2「・tana1-tan2a 1-423分兀_tan兀_tana+tan—所以tan(a+—)= 土4 1-tanatan—4一-4+1 .\o"CurrentDocument"tana+1 3 1 = =—.1-tana4 71+ 34〔2〕由(1)知，tano=——,

^346（——）+1 -6sina+cosa 6tana+1 3 7所以46（——）+1 -6sina+cosa 6tana+1 3 7所以 = = y =-3sina-2cosa3tana-2 4Ao63（-3）-212分16.〔本小题满分是14分〕解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中取2组数据一共有15种情况,每种情况都是等可能出现的（2分）其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种（3分）所以P（A）=—=-153（5分）（II）由数据求得了=11,y=24（7分）18由公式求得b=—30再由a=y-bx=--（9分）（10分）18 30所以y关于了的线性回归方程为y=—%——150 150（m）当了=10时，y=—,I--22k2；7878同样，当了=6时，y=-，I亍-14K2（11分）（12分）（13分）所以,该小组所得线性回归方程是理想的．（14分）.〔本小题满分是15分〕（I）证明：由直四棱柱，得BB//DD,且BB=DD,11所以BBDD是平行四边形，所以BD//BD1111（3分）而BDu平面ABD所以BBDD是平行四边形，所以BD//BD1111（3分）而BDu平面ABD,BD2平面ABD，所以BD//面ABD1111（5分）（II）证明：因为BB1面ABCD,ACu面ABCD,所以BB1AC（7分）又因为BD1AC，且BDcBB]=B，所以AC1面88D（9分）而MDu面88『，所以MD1AC（10分）an）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1±平面CC1D1D （11分）取DC的中点N,D1C1的中点N1,连结NN1交DC1于0,连结OM.因为N是DC中点,BD=BC,所以BN±DC；又因为DC是面ABCD与面DCC1D1的交线,而面ABCD,面DCC1D1,所以BN1面DCC1D1 （13分）又可证得，0是NN1的中点，所以BM〃ON且BM=ON,即BMON是平行四边形，所以BN〃OM,所以OM1平面CC1D1D，因为OMC面DMC1,所以平面DMC11平面CC1D1D （15分）TOC\o"1-5"\h\z.〔本小题满分是15分〕解：（I）因为a=<2,e=彳，所以c=1 （3分）那么b=1,即椭圆C的HY方程为彳+y2=1 （5分）（II）因为P（1,1）,所以kv==1，所以k=-2,所以直线OQ的方程为y=—2x（7分）PF2 0Q又椭圆的左准线方程为x=—2,所以点Q（-2,4） （8分）所以kpQ=-1'又k0P=1,所以卜0P1kpQ=-1,即OP1PQ,故直线PQ与圆0相切 （10分）（n）当点P在圆0上运动时,直线PQ与圆0保持相切 （11分）〜、八~ ~ ,y x+1证明：设P（x,y）（x丰0,±1）,那么y2=2-x2,所以k=—°—,k=--0—,00 0 oopfx+10Qy00所以直线OQ的方程为y=-%■±1x （13分）y0所以点Q(—2,——) (13分)y0_2x+2y0 yy2-(2x+2) -x2-2x xPQx+2 (x+2)y (x+2)y y0Px0 00 000 0

所以J,%二—1，即0P1PQ，故直线PQ始终与圆°相切•••(15分)19•〔本小题满分是18分〕〔1〕.・.n=1时，a1+S广a1+〃广2即an+Sn=2，a+S=2n+1 n+1两式相减：a-即an+Sn=2，a+S=2n+1 n+1两式相减：a-a+S-S=0即故有2a =an+1na・a丰0,..-n+1

nan1z、=—(n(=N*)~ ,,,」一，，，，/、,、，、所以，数列｛a｝为首项a=1,公比为的等比数列，a=(-)n-1(neN*) 6分n 1 2 n21、〔II〕：b =b+a(n=1,2,3,…)，.•.b-b=(—)n-1n+1 nn n+1n211b—b=(—)2…b—b=(—)n-2〔n=2,3…〕4 3 2 n n-1 2将这n-1个等式相加b-b=1+1+(i)2+(：n1 22 21、一一)n-2=―Jn-1 1—2T—=2-2(-)n-11-1 221又b=1，.Jb=3-2(—)n-1[n=1,2,3…〕 12分1 n 21〔in〕：c=n(3-b)=2n(—)n-1n n'2・•.Tn=2[(1)0+2(2)+3(52+…+(n-1)(2)n-2+n(2)n-1]①而2T=2[(2)+2(2)2+3(2)3+…+(n-1)(2)n-1+n(2)n]②1 -，1、 z1z1z1-z1①一②得：-T=2[(-)0+(-)1+<)2+…+()n-1]-2n(-)n2n2 2 2 2 2T=4n1-2=8---4nd)n=8-(8+4n)—(n=1,2,3…•)•18分2n2 2n20.〔本小题满分是16分〕解：(I)因为尸(x)=-3x2-4mx-m2,所以f⑵=-12-8m-m2=-5 (2 分)解得m=-1或者m=-7(舍)，即m=-1 （4分）TOC\o"1-5"\h\z（II）由fx）=-3x2+4x-1=0，解得xi=1/2=3 （5分）列表如下:X0（0,3）3（1,1）1f（x）十f（x）2\5027/2TOC\o"1-5"\h\z…（7分）所以函数f（x）在区间［0,1］的最小值为f（1）=50 （8分）an）因为f（x）=-x3+2x2-x+2=（i+x2）（2-x） （io分）50 1 27由（II）知，当x£［0,1］时，（1+x2）（2-x）>—-，所以 <--（2-x）,27 1+x2 50x27所以^——<—（2x-x2） （13分）1+x250当a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1时，0<a<1,0<b<1,0<c<1,—a—+—b—+—c—<212（。+b+c）—（a2+b2+C2）］=2712—Q+b2+C2月（14分）1+a2 1+b21+c250 50又因为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca<3（a2+b2+c2）,（15分）所以a2+b2+c2>3（15分）（16分）abc27 1 9 1（16分）故E+N+不&5J（2—力Io（当且仅当a=b=c=3时取等号）（说明:假设学生取特况验证了等号成立的条件,给1分）三、附加题局部〔本大题一一共6小题,其中第21和第22题为必做题，第23〜26题为选做题，请考生在第23〜26题中任选2个小题答题，假如多做，那么按所选做的前两题记分.解容许写出文字说明,证明过程或者演算步骤．〕21．〔必做题〕〔本小题满分是12分〕TOC\o"1-5"\h\z解：〔1〕将y=2x+k代入x2=4y得X2-8x-4k=0, 2 分由4=64+16k>0可知k>-4,另一方面，弦长AB="5*<64+16k=20，解得k=1； 6分〔2〕当k=1时，直线为y=2x+1,要使得内接4ABC面积最大，1那么只须使得y=-x2x=2， 10分C4C即xc=4，即C位于〔4,4〕点处. 12分22．〔必做题〕〔本小题满分是12分〕解：〔1〕分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A、A2、A3；E表示事件“恰有一人通过笔试〃那么P(E)=P(A]&Q+P(可A2Q+P(可A2A3)=0.6x0.5x0.6+0.4x0.5x0.6+0.4x0.5x0.4=0.38 6分〔2〕解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为p=0.3,………………9分所以自〜B(3,0.3),故E0)=np=3x0.3=0.9. 12 分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A,B,C,那么P(A)=P(B)=P(C)=0.3所以p(^=1)=3x(1-0.3)2x0.3=0.441,P也=2)=3x0.32x0.7=0.189,P也=3)=0.33=0.027.于是，ER)=1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.证明：〔1〕过D点作DG〃BC,并交AF于G点， 2分•/E是BD的中点，.'.BE=DE,XVZEBF=ZEDG,ZBEF=ZDEG,.•.△BEF04DEG,那么BF=DG,.BF：FC=DG：FC,又一D是AC的