高中数学 3.2.1 常见函数的导数 苏教选修11

...................................一、填空题（每题4分，共24分）1.（2010·淮安高二检测）已知f(x)=lnx，则f′（e）的值为____.【解析】f′（x）=∴f′（e）=答案:.2.f(x)=ax3+3x2+2,若f′（-1）＝4，则a的值等于____.【解析】∵f′(x)=3ax2+6x,∴f′(-1)=3a-6=4,∴a=答案:.3.(2010·广州高二检测）曲线y=f(x)=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为____.【解析】y′=f′（x）=(x·ex+2x+1)′=(x·ex)′+(2x)′+1′=ex+x·ex+2,∴f′(0)=3,∴切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.答案：y=3x+1.4.与曲线在点P(8,8)处的切线垂直的切线方程为____.【解析】∴当x=8时,∴过点P(8,8)的切线斜率为∴所求切线斜率为∴所求直线方程为y-8=(x-8),即3x+2y-40=0.答案:3x+2y-40=0.5.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为____.

【解题提示】首先要弄清楚抛物线上哪一个点到直线距离最短，再去求解..【解析】抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为抛物线上与x-y-2=0平行的切线的切点到x-y-2=0的距离.∵y=x2,∴y′=2x.因为抛物线y=x2的切线中与直线x-y-2=0平行的只有一条，且k=1,∴y′=2x=1,∴x=∴切点为（),该点到直线x-y-2=0的距离为即抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为答案：.6.（2010·东海高二检测）设直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为____.【解析】y′=(lnx)′=令得x=2.∴切点坐标为(2,ln2),代入直线方程y=x+b，得ln2=×2+b,∴b=ln2-1.答案:ln2-1.二、解答题（每题8分，共16分）7.（山西师大附中高二检测）已知抛物线y=ax2+bx+c过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处的切线与直线y=x-3平行，求实数a,b,c的值..【解析】∵点P（1，1）在抛物线上，∴a+b+c=1①∵y=f(x)=ax2+bx+c,∴f′(x)=2ax+b,∴f′(2)=4a+b.∵过切点Q（2，-1）的切线的斜率k=4a+b=1②又∵切点Q（2，-1）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴4a+2b+c=-1③联立①②③可解得a=3,b=-11,c=9..8.(2010·成都高二检测）设抛物线C1:y=x2-2x+2与抛物线C2:y=-x2+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直.（1）求a、b之间的关系；（2）若a>0,b>0，求ab的最大值..【解析】（1）设两抛物线的交点为M(x0,y0)，由题意知x02-2x0+2=-x02+ax0+b,整理得2x02-(2+a)x0+2-b=0①由导数可得抛物线C1、C2在交点M处的切线斜率为k1=2x0-2,k2=-2x0+a.因两切线互相垂直，则有k1k2=-1,即(2x0-2)·(-2x0+a)=-1,整理得2［2x02-(2+a)x0］+2a-1=0②联立①和②，消去x0,得a+b=.(2)由(1)知a+b=又a>0,b>0,∴当且仅当a=b=时，取等号，故ab的最大值为..9.（10分）已知向量令是否存在实数x∈［0,π］，使f(x)+f′(x)=0（其中f′(x)是f(x)的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则说明理由.

【解题提示】利用向量运算先求f(x).利用三角公式化简f(x)，然后求f′(x),最后令f′（x)+f(x)=0即可得结果..【解析】.令f(x)+f′(x)=0，即f(x)+f′