数据的表示和运算

数据的表示和运算一、数制和编码二、定点数的表示和运算三、浮点数的表示和运算四、算术逻辑单元一、数制与编码1.进位计数制及其相互转换2.真值和机器数3.BCD码4.字符与字符串5.校验码1.进位计数制及其相互转换常见进位计数制：十进制、二进制、十六进制、八进制等。进制转换1）二进制转换为八进制和十六进制例：1111000010.011010（1702.32）82）任意进制转换为十进制：各位与权值相乘并相加例：（11011.1）23）十进制转换为任意进制：除基取余法、乘基取整法例：123.68752.真值和机器数真值：把在日常生活中见到的带“+”或“-”符号的数称为真值，如+15、-8等。机器数：把真值中“+”用“0”表示，“-”用“1”表示的这种符号“数字化”的数称为机器数（机器码）3.BCD码定义：二进制编码的十进制数（Binary-CodedDecimal,BCD),即采用4位二进制数来表示一位十进制数中的0-9这10个数码。BCD码的种类：8421码、余3码、2421码8421码：一种有权码，权值从高到低依次为8、4、2、1，有压缩和非压缩编码。4.字符与字符串1）字符编码ASCII码采用7位二进制数表示，可表示10个十进制数码、52个英文大小写字母和一些专用符号，共128个字符。2）汉字的表示和编码

输入编码、汉字内码、汉字字形码输入编码：区位码和国标码国标码=（区位码）16+2020H汉字内码=（国标码）16+8080H3）字符串的存放5.校验码定义：能够发现或能够自动纠正错误的数据编码，也称为检错纠错码。通常是通过增加一些冗余码来检验或纠错编码。3种常用的校验码：1）奇偶校验码2）海明（汉明）码3）循环冗余校验码1）奇偶校验码定义：在原编码基础上加上一个校验位，可以检测出一位错误（或奇数位错误），但不能确定出错的位置，也不能检测出偶数位错误，增加的冗余位称为奇偶校验位。实现方法：由若干有效信息位在前（或后）加上一个二进制位（校验位）组成校验码。如下图所示：求奇偶校验码步骤：确定校验码构成规则形成校验位偶校验：在发送端求P=D4⊕D3⊕D2⊕D1奇校验：在发送端求P=D4⊕D3⊕D2⊕D1校验原理偶校验：在接收端求P‘=D4⊕D3⊕D2⊕D1⊕P奇校验：在接收端求P’=D4⊕D3⊕D2⊕D1⊕P若P’=0，无错，P’=1，有错缺点：具有局限性，奇偶校验只能发现数据代码中奇数位出错情况，但不能纠正错误，常用于对存储器数据的检查或者传输数据的检查。2）汉明（Hamming/海明）码定义：在有效信息位中加入几个校验位形成一种多重奇偶校验码，称为汉明码。实现方法：将汉明码的每一个二进制位分配到几个奇偶校验组冲，当某一位出错后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化，可以发现错位，还能纠错。求汉明码的步骤：确定汉明码的位数：n+k≤2k-1n位有效信息位数，k为校验位的位数。确定校验位的分布

校验位Pi在汉明位号为2i-1的位置上，其余各位为信息位。形成校验关系

校验位Pi校验的有效信息位为校验位为1所形成的十进制数所对应的有效信息位。计算校验位取值

Pi=Di⊕Dj⊕Dk⊕Dm…汉明码校验原理每个校验组分别利用校验位和参与形成校验位的信息位进行偶校验检查，就构成了校验方程。

Si=Pi⊕Di⊕Dj⊕Dk⊕Dm…设校验位为3位，根据S3S2S1组成的十进制数可确定出错位，具体为：若S3S2S1为000，无错若S3S2S1为001，出错位为第1位其他依此类推。3）循环冗余校验码定义：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码的长度为N位，因此，这种编码又称为（N,K）码。实现方法：将K位二进制信息码左移R位，将它与生成多项式G(x)做模2除法（异或），生成一个R位校验码，并附加在信息位后，构成一个新的二进制码(CRC)码，共K+R位，在接受端，同样利用生成多项式G(x)做模2除法,以检测出错位置。求CRC码的基本步骤：移位将原信息码左移R位，低位补0相除对移位后的信息码，用生成多项式进行模2除法，产生余数。如图所示求CRC码的基本步骤：移位将原信息码左移R位，低位补0相除对移位后的信息码，用生成多项式进行模2除法，产生余数。如图所示检错和纠错用接受端收到的CRC码和生成多项式G(x)做模2除法，若余数为0，则码字无错。若余数为010，则说明C2出错。二、定点数的表示和运算1.定点数的表示2.定点数的运算1.定点数的表示1）无符号数和有符号数表示2）有符号数的定点表示3）有符号数的4种编码表示1）无符号数和有符号数表示无符号数：全部二进制位代表数的数值，没有符号位。即整个机器字长的全部二进制位均表示数值位。表示范围：若机器字长是n位，表示范围为0-2n-1有符号数：整个机器字长的全部二进制位中最高位为符号位，其余位为数值位。2）有符号数的定点表示定点小数：小数点位置固定在最高有效位之前，符号位之后。定点整数：小数点位置隐含固定在最低有效位之后。表示范围：设机器字长为n+1位，则定点小数表示范围为：

定点整数表示范围为：3）有符号数的4种编码表示①原码（用[X]原表示)②反码（用[X]反表示)③补码（用[X]补表示)④移码（用[X]移表示)①原码定义：整数：小数：例：求+1110,-1110的原码例：求+0.1101,-0.1101的原码注：式中，x为真值，n为整数的位数。②反码定义：整数：小数：例：求+1101,-1101的反码例：求+0.0110,-0.0110的反码注：式中，x为真值，n为整数/小数的位数。③补码定义：整数：小数：例：求+1010,-1010的补码例：求+0.1001,-0.1001的补码注：式中，x为真值，n为整数的位数。④移码定义：常用来表示浮点数的阶码，只能表示整数。例：求+10100,-10100的移码注：式中，x为真值，n为整数的位数。小结：4种机器数的特点：当真值为正时，原码、反码和补码的表示形式相同。当真值为负时，原码、反码、补码符号位都用“1”表示，数制部分反码是原码的“每位求反”，补码是原码的“求反加1”。移码和补码仅相差一个符号位，即补码的符号位取反即为移码。零的表示：[0]原=0.0000[-0]原=1.0000[0]反=0.0000[-0]反=1.1111[0]补=0.0000[-0]补=0.0000[0]移=1.0000[-0]移=1.00000的补码和移码的形式相同。表示范围（设机器字长为n+1)：整数：原码表示范围为：反码表示范围为：补码表示范围为：移码表示范围为：小数：原码表示范围为：反码表示范围为：补码表示范围为：（比原码多-1）

2.定点数的运算1）定点数的移位运算2）原码定点数加/减运算3）补码定点数加/减运算4）溢出概念和判别方法5）定点数的乘/除运算（了解）1）定点数的移位运算（1）算术移位算术移位的对象是有符号数，移位过程中符号位保持不变。移位后空位填补规则如下：码制添补规则正数原码、反码、补码0负数原码0补码左移添0右移添1反码1（2）逻辑移位逻辑移位将操作数看做无符号数，逻辑左移时，高位移丢，低位添0，逻辑右移时，低位移丢，高位添0。移位示意图如下图：（3）循环移位数据位和符号位一起进行移位，最高位移入进位标志位CF，而进位位则依次移入到数据的最低位。移位示意图如下图：2）原码定点数加/减运算运算规则：加法规则：先判断符号位，若相同，绝对值相加，结果符号不变；若不同，则做减法，绝对值大的数减去绝对值小的数，结果符号与绝对值大的数相同。减法规则：两个原码表示的数相减，首先将减数符号取反，然后将被减数与符号取反后的减数按原码加法进行运算。注意：当左边位出现溢出时，将溢出位丢掉。3）补码定点数加/减运算运算规则：参与运算的数均用补码表示；将符号位和数值位按二进制运算规则进行加/减运算,符号位产生的进位丢掉，结果的符号位由运算得出。补码加减运算根据如下公式进行：[A+B]补=[A]补+[B]补[A-B]补=[A]补+[-B]补式中[-B]补为[B]补连同符号位每位求反。4）溢出概念和判别方法（1）采用一位符号位参加运算的两个数符号相同，结果又与原操作数符号不同，则表示结果溢出。V=ASBSSS+ASBSSS（2）采用双符号位运算结果的两个符号位相同，表示未溢出，运算结果的两个符号位不同，表示溢出。V=SS1⊕

SS2（3）采用一位符号的进位符号位的进位与最高数值位的进位不同，表示溢出。V=CS⊕

C14）定点数的乘/除运算（1）原码一位乘法（2）补码一位乘法（校正法、比较法）（3）原码除法（4）补码除法（1）原码一位乘法规则：参与运算的操作数取绝对值；乘数的最低位作为判断位，若为1，加被乘数，若为0，不加被乘数（加0）；累加后的部分积以及乘数右移一位，乘数空出的最高位放置部分积的低位；重复n次第步骤2、3；符号位单独处理，同号为正，异号为负。（2）补码一位乘法校正法规则：被乘数x符号任意，乘数y符号为正被乘数x符号任意，乘数y符号为负，加[-x]补进行校正，故称为校正法。例：6.19，6.20比较法（Booth乘法）规则：参加运算的数用补码表示；符号位参与运算；乘数最低位后面增加一位附加位Yn+1,其初值为0；乘数的最低两位Yn、Yn+1决定了每次执行的操作,当Yn+1-Yn

为0时，加0，为-1时，加[-x]补，为1时，加[x]补；移位按补码移位规则进行；共需做n+1次累加，n次移位，第n+1次不移位。（3）原码除法（原码加减交替法）规则：符号位不参加运算；先用被除数减去除数，当余数为正时，商上1，余数和商左移一位，再减去除数；当余数为负时，商上0，余数和商左移一位，再加上除数；当n+1步余数为负时，需加上|Y|得到n+1步正确的余数。（4）补码除法（补码加减交替法）规则：符号位和数值部分一起参与运算；若X与Y同号，则第一次做[X]补-[Y]补，若X与Y异号，则第一次做[X]补+[Y]补；若余数与Y同号，商上1，接着将余数左移一位并加

[-Y]补，若余数与Y异号，商上0，接着将余数左移一位并加

[Y]补；第3步骤作重复执行n次；商的最末一位恒置为1。3.浮点数的表示和运算1）浮点数的表示2）浮点数的加/减运算1）浮点数的表示（1）浮点数的表示格式（2）规格化浮点数（3）浮点数的表示范围（4）IEEE754标准（1）浮点数的表示格式浮点数表示为N=rExM式中，r是浮点数阶码的底，E是阶码，M是尾数。（2）规格化浮点数（1/2≤|M|≤1）左规：当尾数结果为00.0xx……x或11.1xx……x时，将尾数左移一位，阶码减1，直到尾数为00.1xx……x或11.0xx……x,称为左规。右规：当尾数结果出现溢出，即尾数出现01.xx……x或10.xx……x时，将尾数右移一位，阶码加1，称为右规。（”0舍1入“或“恒置1”）规格化表示的尾数形式：原码：正数为00.1xx……x负数为11.1xx……x补码：正数为00.1xx……x负数为11.0xx……x

当S=-1/2时，补码为11.100000……为非规格化数据。（3）浮点数的表示范围上溢：浮点数的阶码大于最大阶码，需要进行中断处理。下溢：浮点数的阶码小于最小阶码，按机器零处理。（4）IEEE754标准类型存储位数​​数符(s)阶码(E)尾数(M)总位数短实数(Single,Float)1位8位23位32位长实数(Double)1位11位52位64位临时实数（延伸双精确度，不常用）1位15位64位80位尾数：规格化后尾数最高位总是“1”，为了能使尾数多表示一位有效位，将“1”隐含，故尾数实际是多一位；阶码：对于短实数，偏移量位127（27-1），长实数，偏移量为1023（210-1）。2）浮点数的加/减运算对阶使两数的小数点对齐，通常将阶码小的尾数右移1位，阶码加1，直到两数阶码相等。尾数求和将对阶后的尾数按定点加（减）运算规则进行运算。规格化对尾数求和结果按规格化要求进行规格化。舍入对尾数右移时丢失的数值位进行舍入操作。溢出判断根据浮点数溢出概念进行判断。通常根据浮点数的阶码进行判断，当阶码为01，xx……x时为上溢出，阶码为10，xx……x时为下溢，按机器零处理。4.算术逻辑单元ALU1）串行加法器和并行加法器2）算术逻辑单元ALU的功能和结构1）串行加法器和并行加法器（1）一位全加器（2）串行加法器（3）并行加法器（1）一位全加器（FA）Si=Ai⊕Bi⊕Ci−1Ci=AiBi+（Ai⊕Bi）Ci−1

（2）串行加法器在串行加法器中，只有一个全加器，数据逐位串行送入加法器中进行运算。如果操作数长n位，加法就要分n次进行，每次产生一位和，并且串行逐位地送回寄存器。进位触发器用来寄存进位信号，以便参与下一次的运算。串行加法器具有器件少成本低的优点，但运算速度慢，多用于某些低速的专用运算器。（3）并行加法器并行加法器：由多个全加器组成，其位数与机器的字长相同，各位数据同时运算。存在问题：最长运算时间，主要是由进位信号的传递时间决定的，而每个全加器本身的求和延迟只是次要因素。因此，关键是进位产生和传递的速度。并行加法器：①串行进位；②并行进位①串行进位其中：C1=A1B1+(A1⊕B1)C0或（C1=G1+P1C0）C2=A2B2+(A2⊕B2)C1或（C2=G2+P2C1）……Cn=AnBn+(An⊕Bn)Cn−1或（Cn=Gn+PnCn−1）式中：Gi=AiBiPi=Ai⊕

Bi时间延迟为2ntY②并行进位并行进位：先行进位、同时进位，即各级进位同时产生。实现：将各级低位产生的本级G和P信号依次同时送到高位各全加器的输入，以使它们同时形成进位信号。表达式如下：C1=G1+P1C0

C2=G2+P2C1=G2+P2G1+P2P1C0C3=G3+P3C2=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1C0

C4=G4+P4C3=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0

若不考虑GiPi的形成时间，最长时间延迟为2tY分组并行进位方式单级先行进位方式又称为组内并行、组间串行进位方式C1=G1+P1C0

C2=G2+P2C1=G2+P2G1+P2P1C0C3=G3+P3C2=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1C0

C4=G4+P4C3=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0若不考虑GiPi的形成时间，最长时间延迟为2mtY多级先行进位方式又称为组内并行、组间并行进位方式第一小组的进位输出C4可以写为：C4=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0

=G1*+P1*C0式中，G1*=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1；P1*=P4P3P2P1Gi*称为组进位产生函数，Pi*称为组进位传递函数，这两个辅助函数只与Pi、Gi有关，同理可得：C8=G2*+P2*C4=G2*+P2*G1*+P2*P1*C0

C12=G3*+P3*G2*+P3*P2*G1*+P3*P2*P1*C0

C16=G4*+P4*G3*+P4*P3*G2*+P4*P3*P2*G1*+P4*P3*P2*P1*C0

若不考虑GiPi的形成时间，最长时间延迟为3x2tY=6tY为了要产生组进位函数，需要对原来的CLA电路加以修改：第1组内产生G1*、P1*、C3、C2、C1，不产生C4；第2组内产生G2*、P2*、C7、C6、C5，不产生C8；第3组内产生G3*、P3*、C11、C10、C9，不产生C12；第4组内产生G4*、P4*、C15、C14、C13，不产生C16。这种电路称为成组先行进位电路（BCLA）。利用这种4位的BCLA电路以及进位产生与传递电路和求和电路可以构成4位的BCLA加法器。16位的两级先行进位加法器可由4个BCLA加法器和1个CLA电路构成。2）算术逻辑单元ALU的功能和结构ALU：一种功能较强的组合逻辑电路，能进行多种算术逻辑运算，由于加、减、乘、除运算最终都能归结为加法运算，因此，ALU的核心是一个并行加法器，同时也能执行逻辑运算。4位ALU芯片（74181）:16位组内并行、组间串行进位ALU框图16位组内并行、组间并行进位ALU框图本章复习数制与编码定点数的表示和运算浮点数的表示和运算算术逻辑单元ALU数制与编码1．下列各种数制的数中，最小的数是（B）。A．(101001)2B．(101001)BCDC．(52)8D．(233)16

2．已知大写英文字母“A”的ASCII码值为41H，现字母“F”被存放在某个存储单元中，若采用偶校验（假设最高位作为校验位），则该存储单元中存放的十六进制数是（B）。A．46HB．C6HC．47HD．C7H3．【2009年计算机联考真题】一个C语言程序在一台32位机器上运行。程序中定义了三个变量x、y、z，其中x和z为int型，y为short型。当x=127、y=-9时，执行赋值语句z=x+y后，x、y、z的值分别是（D）。A．X=0000007FH，y=FFF9H，z=00000076HB．X=0000007FH，y=FFF9H，z=FFFF0076HC．X=0000007FH，y=FFF7H，z=FFFF0076HD．X=0000007FH，y=FFF7H，z=00000076H4．【2010年计算机联考真题】假定有4个整数用8位补码分别表示r1=FEH、r