数学建模最佳市场价格

西瓜最佳市场价格【摘要】市场仅有两家销售西瓜，因此构成一个垄断体系，通过彼此产量竞争以及是否先把货物投放市场来谋求个人利益最大化。本文通过分析市场价格，算出市场总利润u€pq-0.5q，此时各自利润最大。但是这个产量组合是不稳定的，任意一方增加产量会使其利润增加，所以当牛仔q€900时获得了更多的利润。王婆用“计中计”预先z向市场公布自己的种植量，采取先动优势，获得了较大的利益u€900。但是在这种情lw况下，牛仔是不会不种植的。由此，最后两家合作，利用Nash均衡，求出当，如果违约，任何一个瓜农单独提高或降低种植量时，都只会减少而不会增加利润，因此，该产量组合是一个均衡。本文将西瓜种植推广到更普遍的经济学中垄断竞争现象，双方进行博弈，以谋求利益的最大化。对两种较为典型的寡头进入方式，即：所有寡头同时生产商品进入市场；某个寡头等待其他头先生产，依据对方产量决定自己产量和利润。我们得出：采取先动优势，能使自己的利润远远大于其他竞争者。关键词：Nash均衡垄断博弈论一问题陈述王婆和牛仔是自由市场上仅有的两个出售西瓜的农民，二人种植西瓜的成本均为每个西瓜0.5元，西瓜的市场价格为p€—丄,其中q€q+q为二人提供的西瓜1600 wz数量之和。问题一：是王婆和牛仔同时播种，且二人对自己和对方的成本及市场需求具有完全信息，求各自的产量和利润；问题二：若王婆比牛仔早播种一个星期，因此牛仔在决定自己的种植量之前，可以知道王婆当年的产量(例如，深夜潜入王婆瓜田)，贝V：如果已知王婆的种植量为qw，牛仔为使利润最大，应该选择怎样的种植量？王婆早有所料，她知道牛仔决策方法，因此，根据她自己的种植量qw就可以推算出牛仔的种植量，从而推算出市场价格以及自己的利润。王婆为使利润最大，应该选择怎样的种植数量？在这种情况下，王婆和牛仔谁更有利？问题三：王婆和牛仔商议，两家一起决策当年的种植数量，各家分种数量的一半,这个协议是否有诱惑力？王婆和牛仔是否有积极性自觉遵守该协议？二问题分析市场仅有两家销售西瓜，因此构成一个垄断体系，通过彼此产量竞争以及是否先把货物投放市场来谋求个人利益最大化。在第一问中，两家同时入市，且两家对自己和对方的成本及市场需求具有完全信息，彼此都想获得最大利益，因此通过分析市场价格P€―丄，市场价格由两家的总产1600量共同决定：当产量过多时，每个西瓜的价格会过低，每个西瓜的利润过低；当产量过少时，每个西瓜的价格虽然很高，但是量少了总利润也随之减少。因此如何决定两家的总产量使总利润最大化是本问的关键。在第二问a中，牛仔知道了王婆的种植量，分析自己的利润函数是一元二次方程，可求得最大利润。在第二问b中，王婆知道了牛仔的的“计谋”，他们采取“计中计”即：预先向市场公布自己的种植量，用以引诱牛仔上钩”之后根据牛仔的种植量，决定自己的实际产量。在第二问c中，这样算出前两问的利润，对比就知道谁更有利了。在第三问中，两人合作，决定各自的产量及利润。三模型假设1瓜农种植的西瓜是相同的，消费者没有对某个瓜农的偏好。供给增加不会导致过剩，而仅仅使价格降低，即瓜农可以将种植的西瓜全部售出。瓜农都是理性的，即面对既定的情况都做出决策使自己利益最大化。四符号说明1、q表示两家种植总产量；

2、q——表示王婆的种植产量；3、wq——表示牛仔的种植产量；4、zu——市场总利润；5、uu——表示王婆、牛仔的利润；6、wzp—表示市场价格；7、c——表示西瓜成本；8、Q—表示王婆预先公布的种植量19q——表示王婆实际种植量；五模型建立及求解问题一5.1.确定市场总利润及各自利润由p=2-q仝q€q<3200，得单个西瓜的利润为:1600wzu=2,厶，cu=2,厶，c=2,丄

单 1600 1600由此知道市场总利润得：(

—q2——0.5„0所以q…2400即q+q…2400wzu-qf2,丄-c]A1600丿-0.51600丿(_q[1.5_1600<Ru当u最大时，———0得q-1200此时u—900TOC\o"1-5"\h\zRq max两家都想获得最大利润，那么两家都应该公平的分得产量为q—q— —600wz2所以王婆和牛仔各自的利润为：u—q(2--^-0.5)—450w% 1600u—q(2--^-0.5)—450z z 1600问题二5.2.1重新确定牛仔的利润因为已经知道了王婆的种植量qw，贝V：u-q(2-qw€qz-0.5)=1.5q-1q2-iJL，因为qw是知道的,所以可以看成是关于qzzz1600z1600z1600Ru的一元二次函数，当u最大时，〒六-0得q-1200-0.5q。又因为在不知道牛仔是否z Rq z wz同时播种的时候，由于有问题一的假设，王婆应该是种植600个西瓜，那么现在牛仔应该种植900个西瓜，则牛仔的利润为：u-506.25z所以，牛仔通过确定王婆家的数量，改变自己的产量，比原来方案的利润明显增加了。此时，u-337.5王婆家比原来的利润大幅度减少，而牛仔是最大的赢家。w

5.2.2“计中计”更是赢家王婆知道牛仔的“计谋”，采取计中计，即：预先向市场公布自己的种植量QQ€q），用以引诱牛仔“上钩”lw=q(2-=q(2-z-0.5)z1600当u最大时，竺，1.5当u最大时，竺，1.5-工-

z „q 1600zq+q05)lw*—0.5)1600iw，0，得q„q lwlw则：u，q(2—lwlw当u最大时,lw-需，°得厂1200-°5Q,瞥，此时王婆家的利润为u，-^+3Q+225所以u随Q的增加而增加。iw25600 16 lw而此时牛仔的利润2-qz+qiw-0.5'1600丿,2400-Q22-216004-,2400-Q22-216004-°5,-Q2+576000012800可知在Q大于0时，u随Q的增加而减小。z综上分析，可知王婆向市场公布自己的种植量Q越大，对他们总收益越有利，但是随着种植量的增加，每个瓜的市场单价也随之减少。由第一问可知：Q<2400，则由以上公式可得出：u，900（q，1200）u，0（q，0）。lw lw z z5.3.2谁更有利由上述可以知道在这种情况下是王婆更加有利。也就是说谁米取先动优势，能使自己的利润远远大于其他竞争者。问题三5.3两人合作q+q—z wq+q—z w1600—0.5丿-w ——1600—0.5丿当两家利润都为最大时，uu都为最大值，各自一阶偏导数为0zwTOC\o"1-5"\h\zQu q+q 2qz1.5——z w—z0dq 1600 1600z加_q+q 2qw ——w z—wUdq 1600 1600w因为市场西瓜的价格是根据市场西则在西瓜成本一样的情况下，我觉得两人合作是最好的，因为市场西瓜的价格是根据市场西瓜的总量的变化而变化的，如果市场上西瓜的总数达到一定的程度或者超过这个量得话，那么牛仔和王婆就会出现亏损的现象，所以就必须得策划这一年在市场上西瓜的量，这样才能保证各自的利益。于是我们假设这一年在市场上的总西瓜的数量为q,根据问题一可以知道，此时q，q， ，600时，取得的利润是最大的。由二、二问可以知道，假设你王婆种植1200wz2个西瓜的时候，你要确定牛仔一个也不种，但是这是不现实的，在这样情况下只要牛仔再种植600个，王婆的利润就会和种植600个的利润一样了。都是450.所以两人只有合作，才可以在最少的投资中获得最大的利润。所以，两家一起决策当年的种植数量，各家分种数量的一半，是很有诱惑力的。王婆和牛仔也会积极自觉遵守该协议的。六模型的评价与改进优点：深入的研究了两方种植商竞争的策略，给出了彼此获得最大利益时该如何制定种植量，将博弈论中的Nash均衡应用到实际生活中，并讨论了当一些种植商应用计谋来优先生产，米取先动优势，使自己的利润远远大于其他竞争者。缺点：应用Nash均衡，虽然可以使各个种植商获得较大利润，然而这种产量组合给各个种植商