小学思维数学讲义：乘法原理之染色问题-带详解

乘法原理之染问题教学目使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习．知识要一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课得家出发到长宁上点的课得到黄埔上下午点的课果说申老师的家到长宁有可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线找出来，显而易见一共是条路线但要是老师从家到长宁有25可选择的交通工具并且从长宁到黄埔也有30可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步种同的方法，第二步有B不同的方法…，n步有种同的方法．么完成这件事情一共有A×N种同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个骤，第步从家到长宁，一共5种选择；第2步长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有个选择的路线了，即条．三、乘法原理解题三部曲完成一件事分N个要步骤；每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；步步相乘四、乘法原理的考题类型路线种类问——比如说老师举这个例子就是个路线种类问题；字的染色问——比如说要个后5种色可以给每个字然后个字有多少种染色方法；、地图的染色问—同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张1包括几个部分的地图有几种染色的方法；排队问——比如说个同学，排成一个队伍，有多少种排法；数码问——就是对一些数字的列如说给你几个数字后排个几为数的偶数多少种排法．例题精【】地上，，，D四国如下图)，有、、三颜给图色使邻国的色同但是种色必要，有少染方？C

D【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】有3种色可选；当，C取相同的颜色时，有种色可选，此时D也种色可选．根据乘法原理，不同的涂法有3种当BC取同的颜色时有2种色选C仅1种颜色可选时也有颜色可(与A相同．根据乘法原理，不同的涂法有3种综上，根据加法原理，共有1种同的涂法．【答案】18【固如有、、、四颜给题的图染，相国的色同但是种色必要，有少染方？【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】第一，首先对进染色一共有种方法，然后对C进染色，如果取同的颜色，三种方式，D剩种式，如果B、C不同颜色，有3种方法剩下2种法，对该图的染色方法一共有4种法．【意给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做可以解决问题．【答案】【】在图每区内上、B、、D四种色一使得个里恰四颜，一有__________种同染方．

【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】因为个圆内个域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的个域一共有种色方法右图所示当一个圆内的2、3、4四个区域的颜色染定后于号区域的颜色不能与2、、三区域的颜色相同，所以只能与1号域的颜色相同，同理区域只能与4号域的颜色相同，7号域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种同的染法．【答案】【】如，图有A，，D四个家现五颜给地染，使邻家颜不同有少不染方?2AB

【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】为了要求给地图上的四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给染，有种色可选．第二步：给色，由于不能与A同，所以有4种色可选．第三步：给C染，由于不能与A、同色，所以C有3种色可选．第四步：给染，由于D不与BC同，但可以与A同，以3种色可选．根据分步计数的乘法原理，用5颜色给地图染色共有5180种同的染色方法．【答案】180【固如，张图有个家，B，，DE，现在求四不的色分不国，要相的家能用一颜，不的家以用—种颜，那这地有少色方？D

C【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】第一，给A国色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给国上色，国不能使用A国颜色，有三种选择；第三步，给C国上色，国B，两国相邻，所以不能使A，B国颜色，只有两种选择；第四步，给D国上色，D国B，C两相邻，因此也只有两种选择；第五步，给国色，国与C，D国相邻，有两种选择．共496种色方法【答案】96【】如：一纸如操，、横将划相的块二、竖将边区划相等两，、横将右方区分相的块四用竖将右方区划相等两……，此进步作问如用四颜对一形行色要相区颜色同应有少不的色法【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】对这纸的操作一共进了，每次操作都增加了一个区块，所以8操作后一共有9个块，我们对这张纸，进行染色就需要9个骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：、3、22、2…，所以一共有：种【答案】1536【固用种色涂图示三区要相的域不的色，么有种同涂？3【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】涂三毫无疑问是分成步．第一步，涂A部，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部，由于要求相邻的区域涂不同的颜色A和相，当A确定了一种颜色后B只有两种颜色可选择了；第三步，涂部，和A、B都邻A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3【答案】6【】如，一地上五国，在用种色这幅图进染，相的家染的色同不邻国的色以同那一可有少种色法【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】这一题实际上就是例，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题这幅地图染色同样一共有96方法．【论如染色步骤为-D-,么应该该如何解答？答案：也是496种法如果染色步骤为D-E那么应该如何解答？答案色的前步一共有4×3种方法染第三步时需要分类讨论，如果与颜相同，那么B有2种法，也有种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D染法那么只一种染法，有染法，所以一共应该有4种法(师应该向学生说明第三个步骤用到了分讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【固某海市辖7个，7个县位如图现红黑绿、、五颜给图色要任相的个染同色共多种同染方法【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】为了于分析，把地图的7个分别编为A、、C、D、E、FG如左下图．B

ADF为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染这件工作需要多少步?4由于有7个域，我们不妨按A、B、、D、、F、的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五颜色依次分步来完成染色任务．第：先染区域，有种颜色可供选择；第：再染区域由于B不与同色所以区域B的色方式有；第：染区域，由于不与B、同色，所以区域C的染色方式有3种；第：染区域D，由于D不与、A色，所以区域D的染色方式有；第：染区域，于E不与D、同色，所以区域E的色方式有；第：染区域F，于F不与EA同色，所以区域F的染色方式有；第：染区域G，于不能与C同，所以区域的色方式有3种．根据分步计数的乘法原理，共有4860种不同的染色方法．【答案】4860【】用种颜把个3的格染，要相行相列3个所的色不同一有种同染法【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】根据意可知，染完后个的方格表每一行和每列都恰有3个色．用3种颜色染第一行，有种法；染完第一行后再染第一列剩下的个方格，有种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以，根据乘法原理，共有3种同的染法．【答案】6【】如图有、、E五区，用种色区染，染要：相两区不同，个域一．多种同染方？B

EAD【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】先采分步：第一步给染色，有种方法；第二步给染色，有种式；第三步给染，方式；第四步给D染，有3种式；第五步，给E染，由于E不与ABD色，但可以和同．此时就出现了问题：当D与同时有3种色可染；而当D与异色时E有颜色可染．所以必须从第四步就开始类：第一类D与同色．有3种色可染，共有5（）染色方式；第二类DB异D2种色可染E有种颜色可染，共有240（种）染色方式．根据加法原理，共有180240（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往要分类解决．【答案】【固如图有，，D四个域现四颜给域色要相区的色不，个域一．多种色法

DC【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】有4种色可选，然后分：第一类：，D取同的颜色．有3种色可染，此时也种颜色可选．根据乘法原理，不同的染法有436（第二类：当，D取不同的颜色时，B有3种色染，C有2种颜色可染，此时也2种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有448种根据加法原理，共有48(种)色方法．5【答案】【固用种色右的个染，求邻区域字不的色但是种色必要用问共多种同染方?学而奥

数思【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】第一给而上色，4种择；然后对学染，学有种颜色可选；当奥，数取同的颜色时，有种色可选，此时思也种颜色可选不同的涂法有种；当奥，数取不同的颜色时“有2种色可选数”仅种颜色可选，此思也有1种颜色可选与学相)，不同的涂法有3种所以，根据加法原理，共有472种同的涂法．【答案】【】分用种色的一对图ABD，，F个域色要相邻区染不的色但是种色必要．：多种同染法

D【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】先按，BD，，E的次序染色，可供选择的颜色次有5，，32，种，注意E与D的颜色搭配有3(种，其中有3和D同，6E和色．最后染F，与D同时有3种颜色可选，当E与异时有种颜色可选，所以共有5840种法．【答案】840【】将中eq\o\ac(○,)别成色、色绿，求线相的个邻eq\o\ac(○,)不同的色共多种不涂？

C【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】如右图ABC，D的色确定后正方形四个角上颜色就确定了以需求A，，CD有少种不同涂法．按先，再，D，C的顺序涂色．按A-B-D-C的顺序涂颜色：有3种色可选；当，D相同的颜色时，种颜色可选，此也2种色可选，不同的涂法；当D取同的颜色时，B有2种色可选，仅种色可选，此时C也只有1种色可选(与相)，不同的涂法有(种)．所以，根据加法原理，共有2种不同的涂法．【答案】18【】用种同颜色涂四体如，个都完相的三形的4个，不的面有同颜，有________不的法（正面任意转仍不的色，6被为不的【考点】乘法原理之染色问题【度4星【型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第题【解析不转时共有4×3×2×1=24种色方式，而一个正四面体4×3=12种置方法（个面中选1个作底面，再从剩余3个面中选个正面以每种染色方式被重复计算了12次则不同的染色方法有24÷12=2种【答案】2种【】用红、、黄绿、5种颜中种或2种，种或种分涂正四体个上一面能两，无个不色，共几不涂方式【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】我们看正四面体四个的相关位置，当底面确定后面俯视）三个侧面的顺序有时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的按使用了的颜色种数分类：第一类：用了种颜色．第一步，选种色，相当于选不用，有5种法．第二步，如果取定颜色涂于面上，有2种法．这一类有5（）涂法；第二类：用了种颜色．第一步，选种色，相当于选不用，有（）选法；第二步，取定种色如红、橙、黄色涂于4个上，有方法，如下①（中用数字1，，3分表示红、橙、黄3色．这一类有1060（种）涂法；第三类：用了颜色．第一步，选种颜色，有（）选法；第二步，取2种颜色如红、橙2色涂于面上，有3种方法，如下④⑤⑥这一类有（种）涂法；第四类：用了一种颜色．第一步选种色有5种法；第二步，取定颜色涂于个面上，只有方法．这一类5（）涂法．根据加法原理，共10（种）不同的涂色方式．【答案】【】用红黄蓝种颜对个方进染使邻颜不一有少方法如有、黄蓝绿种色正体行色相面色同共多少方？果五颜去染有少？(注正体能转旋)【考点】乘法原理之染色问题【度【题型】解答【解析】如果共只有三种颜色染色，那么正方体的相对表面只能涂上一种颜色，一共有上下、左右、前后一共三组对立面，所以染色的方法有种法．如果有四种颜色，那么染色方法可分为两类，一类是从四种颜色中选取三种对正方体进行染色一共有424种．另一种是四种颜色都染上，用这种染色方法，就允许有一组相对表面可以染上7不同的颜色，选取这组相对表面并染上不同颜色一共有3方法，用其余两种颜色去染其他四个面只有2种法，共3672种所以一共有72种方法．