振动与波动-竞赛

§1.3阻尼振动和受迫振动一、阻尼振动：由于阻力作用而不断损失能量的振动叫阻尼振动。当振子速度较小时，介质阻力为所以振动方程为即固有角频率阻尼系数1.当阻尼较小时，

<0，阻尼使振动频率小于固有频率0，xA0-A0A0e-ttO使振幅不断减小。欠阻尼过阻尼临界阻尼xtOA02.当阻尼过大时，

>

0，振子以非周期运动回到平衡位置。3.当阻尼使

=0时，振子刚好能做非周期运动，回到平衡位置时间最短。电流表指针止振需要这种阻尼。○含电阻电谐振荡：电能逐渐被电阻消耗而使振荡消失。CRL二、受迫振动：对阻尼振子施加周期性外力(驱动力)，补充振子损失能量，使振子恢复等幅振动。这种振动称为受迫振动。振动方程为其解为1.包含两个振动，前者逐渐减弱消失，后者为振子达稳定状态的终解(等幅振动)。2.A

与,0,,H

有关,在

<<0

情况下

=0

时,A

达极大值(共振)。○交流电源驱动的电谐振荡CRL~二、同一直线上不同频率简谐振动的合成：两矢量和在参考圆中旋转过程中,夹角和合矢量随时间改变，合振动不是简谐振动。为简单起见，设振幅相等，初相相同。所以合振动可以看成是“振幅随时间改变的谐振动”。合振动的振幅矢量仍是匀速圆周运动，但半径周期性变化。当两个分振动的频率都较大而其差较小时，合振动具有特殊的周期性。x1x2xttt因为，所以“振幅的变化”比“相位的变化”慢得多。频率都较大但差别很小的两个同方向振动合成时，合振动忽强忽弱的现象叫做拍。单位时间内合振动加强或减弱的次数叫拍频应用准确测频率，用音叉调钢琴三、相互垂直的同频率振动的合成：消去t，得质点轨道方程讨论1.两振动同相或反相则轨迹为直线，合运动为简谐振动。2.两振动相位差为/2，则轨迹为椭圆xyA1A2OxyA1A2OxyA1A2xyA1A2OO3.两振动相位差为/4,3/4，则运动轨迹为椭圆，半长轴和半短轴不在坐标轴上。xyA1A2xyA1A2OOxyA1A2xyA1A2OO2–1=/4–/43

/4–3

/44.两振动相位差为其他值时，运动轨迹仍为椭圆。四、相互垂直的不同频率振动的合成：1.如果频率差别很小，则近似看成同频率振动合成，但相差缓慢变化，合运动轨迹按下面顺序变化。2.如果频率差别较大，但有简单的整数比，则合运动具有稳定闭合轨迹，即李萨如图。该图与矩形框的

x

边和y

边的切点数的比值等于两方向振动周期比。Tx:Ty=1:22:33:4应用测频率波动方程其中此微分方程的解是平面波波函数，平面简谐波波函数是其特殊形式。任何物理量y(x,t),只要满足上面波动方程,则这一物理量就以波的形式传播，而且波的传播速度可由波动方程的系数求得。固体中的横波也满足上述波动方程，但。同种材料的切变模量G

总小于杨氏模量E，所以同一种介质中，横波波速小于纵波波速。

气体和液体没有切应变，所以不能传播横波；虽然也没有线应变，但是有体应变，所以能传播纵波。纵波的传播速度为，其中K

为体积模量。小结波动方程固体中纵波波速横波波速液体气体纵波波速§2.6驻波同一介质中两列频率、振动方向、振幅都相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时形成驻波。相加得驻波表达式x=0,y=2Acostx=

/6,y=

Acostx=

/4,y=

0x=

/3,y=

–Acost

=Acos(t

+)x=

/2,y=

–2Acost

=2Acos(t

+)

y2A–2AOx波节4波腹2.由驻波表达式得波腹波节所以相邻两波腹(或相邻两波节)之间的距离为/2。讨论1.驻波振幅随x

周期性变化，同波腹内质元振动同相，相邻波腹内的质元反相。3.驻波的平均能流密度为零。4.利用驻波可测波长：利用入射波和反射波叠加成驻波，相邻波腹(或波节)距离为半个波长。xOxL5.设入射波波函数为则由波密介质向波疏介质入射的反射波波函数为驻波两种情况反射面

L

处分别为波腹和波节。若由波疏介质向波密介质入射，反射波波函数为(半波损失)例1(填空)长为30cm的细弦,一声波在其中的传播速率为157m/s。如果绳的一端固定，一端自由，则形成的驻波的频率为

Hz；如果绳的两端均固定，则形成的驻波的频率为

Hz。例2平面简谐波沿x

轴正向传播,振幅为A,频率为v,传播速度为u。(1)t=0时，在原点O处的质元由平衡位置向x

轴正向运动，写出波函数；(2)若经反射面反射的波的振幅和入射波振幅相等，写出反射波波函数,并求在x

轴上因两波叠加而静止的各点的位置。解：(1)O处质元的振动函数(2)有半波损失，即相位突变，Ox反射面波疏波密u所以入射波的波函数为Ox反射面波疏波密u入射波和反射波叠加，此题反射点肯定是波节，另一波节与反射点相距/2，即x=/4处。已知入射波的波函数为所以反射波的波函数为§2.7多普勒效应当火车驶近时，音调变高；当其驶离时，音调变低。接收器接收到的频率依赖于波源和接收器运动的现象叫多普勒效应。一、声多普勒效应：介质：不动，波在介质中的传播速度为u。波源(Source)：振动频率为vS

。相对于介质的运动速度为vS，当波源靠近接收器时vS>0，反之vS<0。接收器

(Receiver)：接收到频率为vR

的波。相对于介质的运动速度为vR，当接收器靠近波源时vR>0，反之vR<0。假设u,vS,vR

在一条直线上：uvSvRSRuvSvRSR1.vS=0,vR=0,单位时间通过接收器的完整波的个数uvR2.vS=0,vR

0,vRvRvR单位时间接收器多接收了一些完整波λλ/λ/3.vS

0,vR=0,接收器接收到的球面波是非同心的，某一时刻的波面如图。接收器接收到的波的波长变为vS

，所以vSvS4.vS

0,vR

0,两种机制同时存在，vSvR蝙蝠和一些鸟类利用超声波的多普勒效应确定昆虫的距离和飞行速度，所以能在黑暗中捕食昆虫。海豹、海豚也能利用声多普勒效应捕食或与同类联系。鲸、例1一警笛发射频率为1500Hz的声波，并以22m/s的速度向某方向运动，一人以6m/s的速度跟踪其后，求他听到警笛发出声音的频率，以及在警笛后方空气中声波的波长。空气中声速为330m/s。解：所以人听到声波的频率警笛后方空气中声波波长即相对于空气静止的观察者听到的声波频率所以空气中声波波长例2(习题2.27)一停在海面上的驱逐舰的声纳向一驶近的潜艇发射1.8×104Hz的超声波。的超声波的频率和发射的相差220Hz，求潜艇速度。海水中声速为1.54×103m/s。由潜艇反射回来解：设潜艇以速度向海面移动，驱逐舰发射频率为vS

的超声波，波速为u，则潜艇接收到的波的频率为潜艇把这个频率的波发射出去，驱逐舰接收到的波的频率为二、光多普勒效应（*）：光的传播不必需介质；对任何惯性系，光在真空中的传播速度相同。所以“光源向观察者运动”和“观察者向光源运动”是等价的，因此光多普勒效应决定于光源和观察者的相对速度。SRθ设光源S在真空中相对于观察者R以速度运动，与夹角θ，则其中c

为真空光速。2.时，为横向光多普勒效应。1.时，为纵向光多普勒效应。注意横向没