mss第4章第1部分 弯曲内力

材料力学第四章弯曲内力材料力学第四章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类二梁的内力及其求法三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系五按叠加原理作弯矩图六平面刚架与曲杆的内力图七关于内力图的进一步讨论第四章弯曲内力一平面弯曲的概念及梁的种类1、平面弯曲的概念讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围:（1）杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）对称轴对称轴对称轴对称轴第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类

(2)载荷作用在对称平面内

所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）(3)杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线(变形特点)。1、平面弯曲(对称弯曲)的概念第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类PaAB阳台梁栏杆PABq第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类上海长江大桥第53号至54号桥墩间，将架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。"百米长梁"超越东海大桥"梁式大桥"70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程将在2010年完工。

上海长江大桥架起"世界第一梁"第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类3、梁的种类：静定梁——支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁（b）悬臂梁（c）外伸梁（d）静定组合梁中间铰第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类超静定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全确定的梁。第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类Beamsupportedonawall:(a)actualconstruction,and(b)representationasarollersupport.Beam-to-columnconnection:(c)actualconstruction,and(d)representationasapinsupport.第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类Beam-to-columnconnectionwithonebeamattachedtocolumnflangeandotherattachedtocolumnweb第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类第四章弯曲内力/一平面弯曲的概念及梁的种类Beamsareessentialloadcarryingcomponentsinmodernbuildingandbridgeconstruction.第四章弯曲内力二梁的内力及其求法x解：(1)、根据平衡条件求支座反力(2)、截取m-m截面左段。AxmmM剪力——使截面不产生移动弯矩M——使截面不产生转动得到：oALBFabmm1、梁的内力—剪力与弯矩得到：第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

2、剪力、弯矩的正、负号规定：Fs（＋）FsMM（－）符号规定左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

符号规定绕研究体顺时针转为正由下转向上为正——微段向上凹剪力：弯矩：dxdxdxdx第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

例题

一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。解：1、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC3、求指定截面上的剪力和弯矩第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

2、求C截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：得到：（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

（剪力的实际方向与假设方向相反，为负剪力）如以右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。qBaC第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的主矢。第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得到的主矩。qAB4aaaC取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象:第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

xaFAyF1FByF2b实用法则剪力：=（±）截面一侧（左侧或右侧）所有竖向外力（斜向外力的竖向分力）的代数和。若外力绕截面形心顺时针转动，产生（+）剪力，若外力绕截面形心逆时针产生（-）剪力。FSFS第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

实用法则弯矩=（±）截面一侧（左侧或右侧）所有竖向外力（力偶）的对截面中心力矩代数和。若外力矩使截面处微段梁下侧受拉时，产生正弯矩，外力矩使截面处微段梁下侧受压，产生负弯矩。注：对任一侧梁段，向上（下）的外力产生

+（-）弯矩xaFAyF1FByF2bMM第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

解：1、根据平衡条件求支座反力例题

一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC2、求B、D截面上的内力?第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

解：1、根据平衡条件已求出支座反力例题

一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面上的内力。AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC2、求D左、D右、B左、B右截面上的内力?第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC截面：第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

截面：截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDC第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

截面：与截面相比，该截面的内力只增加了约束反力，故有：亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNDC第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

4、小结(基本规律)

（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。（2）在解题时，一般在需要内力的截面上把内力（FS

、M）假设为正号。最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）是正确的，解得的FS、M即为正的剪力和弯矩。若计算结果为负，则表示该截面上的剪力和弯矩均是负的，其方向（转向）应与所假设的相反（但不必再把脱离体图上假设的内力方向改过来）。第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

（3）梁内任一截面上的剪力FS的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。

若外力绕截面形心顺时针转动，产生（+）剪力，若外力绕截面形心逆时针产生（-）剪力。

（4）梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。若外力矩使截面处微段梁下侧受拉时，产生正弯矩，外力矩使截面处微段梁下侧受压，产生负弯矩。

第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

(5)集中力作用的截面上剪力有“跳跃“（突变），其跳跃的值就是这个集中力的大小；集中力偶作用的截面上弯矩有”跳跃”，其跳跃的值就是这个集中力偶的大小．第四章弯曲内力/二梁的内力及其求法

第四章弯曲内力三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即称为剪力方程和弯矩方程AB1m1m1m1m2mq=2kN/mP=2kNECDF1剪力方程与弯矩方程第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图

2内力与外力的相依关系

某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的分界点为各段梁的控制截面。所谓控制截面,即外力规律发生变化的截面—集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。3控制截面的概念第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图xx(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图——用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。注意：必须标明控制截面上的内力值4剪力图和弯矩图第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图例题图所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：⑴求约束力⑵列剪力方程和弯矩方程qBAlAqM

(x)FS(x)FRAFRA

FRB⑶作剪力图和弯矩图BAM

图BAFS图例题图所示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：⑴求约束力

ab

lABCF

M

图FS图M

(x)FS(x)FRAAFRA

FRB⑵列剪力方程和弯矩方程AC段梁：CB段梁：例题图

所示简支梁在

C

点受矩为

Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：⑴求约束力M

(x)FS(x)AFRA

ablABCMe⑵列剪力方程和弯矩方程两段梁的剪力方程相同，即由于C处有外力偶Me

作用，故两段梁的弯矩方程则不同，即AC段梁：CB段梁：M

图FS图FRAFRB几种典型弯矩图和剪力图

1、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；FS图有一突变，荷载向下突变亦向下。

2、力偶作用点M图有一突变，力矩为顺时针向下突变；FS图没有变化。

3、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；FS图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜qFPm例题悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的和及其所在截面位置。Pm=PaACBaa取参考坐标系Axy。解：xy1、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段:x第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图BC段:Pm=PaACBaaxx2、作梁的剪力图和弯矩图-PPa(+)(-)3、求和（在BC段的各截面）（在AB段的各截面）第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围（x的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图例题外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：xy1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图2、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段:xAB段:x第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)第四章弯曲内力/三剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图例1.简支梁AB受力如图，试作该梁的剪力图和弯矩图。yxaaapapACBDFAyFByxxx解：1.支座反力2.剪力方程、弯矩方程yxaaapapACBDFAyFByxxxP／32P／3Qx2Pa/33.剪力图、弯矩图

Pa/3Pa/3Mox例2.简支梁AB受力如图，试作该梁的剪力图和弯矩图。yxaaqa2ACBqFAyFByxx解：1.支座反力2.剪力方程、弯矩方程qaaxq(x-a)·(x-a)/2yxaaqa2ACBqFAyFByxx3.剪力图、弯矩图

yxaaqa2ACBqFAyFByxxQx3qa/4qa/4M3qa2/4qa2/4qa2/32xx=7a/43.剪力图、弯矩图

例3.复合静定梁，试作剪力图和弯矩图。

特点:中间铰不能传递弯矩，只能传递力的作用。求解时先由中间铰处拆开，化为两个单跨梁。

AD、DC和CB三段剪力方程和弯矩方程如下：1.支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由AC跨的平衡条件求得。AD:DC:CB：2.剪力图和弯矩图OQ3qa/3qa/89qa2/128MOqa2/16qa2/83a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAy

AD段的弯矩图为一条二次抛物线，作图时须求出弯矩的极值和所在截面的位置，才能大致绘出其图形。第四章弯曲内力四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系剪力、弯矩和分布载荷集度间

的微分关系一、FS、M和q之间的微分关系二、突变条件三、控制点法作剪力图和弯矩图第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。规定向上的q(x)为正。第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

yxABq(x)

考察dx微段的受力与平衡FS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

上式的物理意义：梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度。上式的几何意义：任一横截面上的分布荷载集度，就是剪力图上相关点处的斜率。FS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

略去二阶微量，得：上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的一阶导数，等于该截面上的剪力。上式的几何意义：任一横截面处的剪力，就是弯矩图上相关点处的斜率。FS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)c第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力FS。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

上式的物理意义：梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度数学上：二阶导数可用来判定曲线的凹向，因此：上式的几何意义：可以根据对x的二阶导数的正、负来定出图的凹向。第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

微分关系对应表q(x)=0q(x)=q

=qx

=0dF

(x)

dx=

qq

>0q

<0斜直线斜直线水平线Fx常量=F

=dM(x)

dx=qd

M(x)

dx22q

>0q

<0F

>0F

=0F

<0水平线斜直线斜直线抛物线极小值抛物线极大值MxM图q图F图常量

SSdF

(x)

dxSSSSSS第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

二、突变条件qxFxMxM图q图F图FFFFSSMeMeMeMe突变条件对应表第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

三、控制点法作剪力图和弯矩图任一段梁上，剪力增量等于q图的面积，

弯矩增量等于剪力图的面积。

考虑任一段梁(AB段)，把平衡微分方程在这段梁上积分第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

内力FS

、M的变化规律,归纳如下：载荷F水平直线+-oror上斜直线上凸抛物线下凸抛物线下斜直线F(剪力图无突变)F处有尖角斜直线第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

1．当梁上某段q=0时，该段剪力为常数，故剪力图为水平直线。相应的弯矩为x的一次函数，弯矩图为斜直线。当FS＞0时，弯矩图为上升斜直线；FS＜0时，弯矩图为下降斜直线。2．当梁上某段q=常数时，该段剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。若q＞0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为开口向下的曲线（凸孤）；若q＜0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为开口向上的曲线（凹孤）。第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

3．在集中力作用处（包括支承处），剪力图将发生突变，其突变值等于该处集中力之大小。当集中力向上时，剪力图向上突变（沿x正向），反之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向下突变（沿x正向），反之则向上突变，但剪力图在该处无变化。第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

例题一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：1、根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3kNCDq=2kN/m第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

AB1m1m4mF=3kNCDq=2kN/m2、由微分关系判断各段的形状。载荷CADBAD斜直线斜直线第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

AB1m1m4mF=3kNCDq=2kN/m3、作-图。4、作M-图。CA段：(-)DA段：-3kN4.2kN-3.8kN(+)(-)DB段：-3kN.m(-)Ex(-)3.8kN.m(+)(+)-2.2kN.m第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

CADBFAFB例题：外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。解：1.求支座反力2015M／kNmOxFS／kNxo1015515CA段：dFS／dx＝q（x）＜0，A点：FA＝35kn（），发生跳跃，AB段：B点：

RB＝15kn（），发生跳跃，CA段：AD段：2.作剪力图、弯矩图D点：MD＝20kn.m，发生跳跃（）。DB段：第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

13012040FS图（kN）M图（kN·m）140130210340280160EFADCB19030AFDCEABCDFE40

kN80

kN·m160

kN40

kN/m1m1m2m2m4m练习：如图示外伸梁，试用简便法作内力图。A12

kN8kN

/

m2m2m2m4mBCED练习如图示外伸梁，试用简便法作内力图。解：先求支座反力：确定控制点内力的数值大小及正负：FS图（kN）1532916aABCDEHFs=03016ABCDEH3636.275M图（kN·m）例题：外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。CADBERARB解：1.求支座反力2.作剪力图、弯矩图Fs/kNox20530M/kNmxo20154560第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

q(x)q(x)第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

例题第四章弯曲内力/四弯矩、剪力和分布荷载之间的关系

q(x)q(x)例题按叠加原理作弯矩图一、叠加原理：

多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理

——叠加方法步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM

+++=+第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图

三、对称性与反对称性的应用：

对称结构在对称载荷作用下，FS图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，FS图对称，M图反对称。第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图[例]作下列图示梁的内力图。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0FSxFS1xFS2x–0.5P0.5P0.5P–+–P第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0MxM1xM2x0.5PLPL0.5PL–++0.5PL+第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图绘制下列图示梁的弯矩图。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+–++2Pa2PaPa(1)第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图(2)aaqqqq=+xM1=xM+–+–xM23qa2/2qa2/2qa2第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图(3)PaaPL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1–+–PL/2第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+–20kNm30kNm20kNm第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图+改内力图之错。a2aaqqa2ABFSxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4第四章弯曲内力/五按叠加原理作弯矩图[例]已知FS图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。F