数学物理方法03

“数学是无穷的科学”——赫尔曼.外尔第三章幂级数展开1学习要求与内容提要目的与要求：掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数2

无穷级数：一无穷多个数构成的数列w1，w2，w3，wn，写成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有‘和数’呢？这个‘和数’的确切意义是什么？

为什么要研究级数？(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)常微分方程的级数解。

研究级数需关心的问题：(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。33.1复数项级数(一)复数项级数定义

形如

的表达式被称为复数项级数，其中是复数。部分和级数最前面n+1项的和4复数项级数的收敛:即为两个实数项级数极限存在并有限收敛性问题若在区域内某一点z0点，前n项和极限存在,那么级数在z0点收敛，为该无穷级数的和；否则称为发散。例1解5绝对收敛定义若收敛，则称绝对收敛

注1：一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.收敛的充要条件

柯西判据：对于任一小的正数

，必存在一

N

使得

n>N

时有式中

p

为任意正整数.注2：级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数与都绝对收敛。6绝对收敛级数判别法：

的每一项都是复数的模，即正实数，所以它实际上就是正项级数，这样复数项级数绝对收敛的判别法即正项级数收敛的判别法。注3：两个绝对收敛级数的和，积，仍绝对收敛。7解所以原级数发散.

例3所以原级数收敛.

8（二）复变函数项（简称函数项）级数：设复变函数列wk(z)定义在区域B上，则由wk(z)构成的级数称函数项级数当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。

由于函数项级数定义在区域B上，所以它的收敛的概念是相对于这个定义域而言的。910一致收敛条件-柯西判据函数项级数收敛条件-柯西判据

函数项级数在其定义域B中的收敛条件可由柯西判据判定：

对于任意给定的正数

，必存在一N(z)使得n>N(z)时有则函数项级数收敛，但N(z)

与复变量z有关。11一致收敛级数的性质

性质1：若wk(z)在B内连续，函数级数在B内一致收敛，则和函数w(z)也是B内的连续函数。

性质2：若级数在区域B内的分段光滑曲线l上一致收敛，且wk(z)为l上的连续函数，则级数可沿l逐项积分：这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛级数可以逐项求极限。12绝对一致收敛131415这是一种特殊形式的常用函数项级数。3.2幂级数幂级数：通项为幂函数的级数:（一）定义16（二）幂级数的敛散性2.收敛半径的求法达朗贝尔判别法（比值法）:那末收敛半径,0lim

1¹=+¥®lkkkaa如果

1.阿贝尔Abel第一定理

如果级数在z0点收敛，那么在以a点为圆心，为半径的圆内绝对收敛，而上一致收敛。

如果级数在z1点发散，则在内处处发散。17

证由于分析：（1）级数的柯西判据,所以18所以收敛半径为注意:幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析！（2）当CRz0·R19如果:即(极限不存在),20方法2:

根值法那末收敛半径,0lim

¹=¥®lkkka如果说明:(与比值法相同)如果214.复变幂级数在收敛圆内的性质那么设幂级数的收敛半径为å¥=-00)(kkkzza是收敛圆内的解析函数。(1)å¥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函数Rz0z<-22(2)在收敛圆内可以逐项积分,

)(zw即åòò¥=<-Î-=0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw

且可表为连续函数的回路积分。23记

CR1上点为，CR1内任一点为

z，则圆上的幂级数可写为利用柯西公式用有界函数相乘后，在CR1上一致收敛,24且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导证:幂级数乘以(3)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,)(zw.)()(11å¥=--=¢kkkz0zkazw即Rz0z<-25故收敛半径例1求幂级数的收敛半径:解26解所以例2求的收敛半径.27例3计算解28思考思考题答案不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上确定,可以依复数项级数敛散性讨论。思考题答案29§3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)本讲作业30(一)问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？3.3泰勒级数展开思路:1区域内任一个解析函数能用它在边界上回路积分表示（柯西积分公式），2

幂级数又可表为连续函数的回路积分。31(二)泰勒展开定理其中泰勒级数定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当å¥=-=00)()(kkkzzazfLL,2,1,0),(!10)(==kzfkakk32,

)(

内解析在区域设函数Bzf

0内以为zB

,为中心的任一圆周,,CRB记为它与它的内部全包含于.内任意点如图:.CRrz=-0z圆周由柯西积分公式,有其中

CR

取正方向。为了得到幂级数，我们展开公式的“核”为z-z0幂的几何级数：33则,

,

的内部在点上取在圆周因为积分变量CRzCRz.1

00<--zzzz所以用有界函数相乘并积分得34åò=+-úûùêëé-=0010)()(d)(π21)(

∞kkCRkzzzfizfzzz由高阶导数公式:我们即可得泰勒级数的泰勒展开式。在L,)(!10)(zfkakk=35;,00级数称为麦克劳林级数时当=z

因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;注意：所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。说明:问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？36当展开点：z1=z0时：即因此,解析函数展开成幂级数的结果是唯一的。L+-+-+=212110)()()(zzbzzbbzf,)(1L+-+kkzzbL

)(1另有一不同泰勒级数:设在zzf,)(!10)(zfkakk=bk=分析：37(三)将函数展开成泰勒级数常用方法:

直接法和间接法.1.直接法:由泰勒展开定理计算系数.

)(

0展开成幂级数在将函数zzf例1，故有38,

在复平面内处处解析因为ze。

¥=R所以级数的收敛半径2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式。间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛。39例2.

0

sin

的泰勒展开式在利用间接展开法求=zz40附:常见函数的泰勒展开式4142例3解上式两边逐项求导,,11)1(12-==+zzz上有一奇点在由于,,1区域内解析即在<z故可在其解析区域内展开成的幂级数z43例4*分析如图,-1OR=1xy.

1

的幂级数内可以展开成所以它在zz=,

1

,

1

)1ln(

是它的一个奇点平面内是解析的向左沿负实轴剪开的在从--+z44即

将展开式两端沿

l逐项积分,得解,

0

1

的曲线到内从为收敛圆设zzl<45复1解复习而被积函数可在|z|<1圆（区域）内展开为幂级数（解析和函数）由积分关系可知：46复2解即微分方程对微分方程逐次求导得:L,)(!10)(zfkakk=47483.4解析延拓解析延拓：将解析函数定义域加以扩大（一）解析延拓例;幂级数：在以z=0为圆心的单位圆B内代表一个解析函数，令为级数的收敛域B即解析函数定义域半径R=1

。在单位圆B内，取一点z0=i/2

为圆心进行泰勒展开这级数的收敛域b的半径为49上例说明，收敛域b跨出原来的收敛域B之外，而级数(1)在收敛域B内.b代表解析函数

f2(z)，于是称f2(z)为f1(z)在

b内的解析延拓。定义：若f1(z)和f2(z)分别在B,b内解析，且在B与b重叠的区域中有f1(z)=f2(z)，则称f2(z)为f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)为f2(z)在B中的解析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数f(z)的解析延拓是唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解析延拓。Bb50首先在B1内任取一点

z0，将f1

(z)在

z0

的邻域展开成泰勒级数设级数的收敛区域为B2。如果B2超出了B1的范围。由于在B1和B2的重叠区域f1(z)=

f2(z)，所以f2(z)就是f1(z)在

B2中的解析延拓。这样不断作下去，得到一系列的解析元素{Bn,fn(z)}

(n=2,3...)。一个解析元素{Bn,fn(z)}

的全部解析延拓的集合，称为

f1(z)所产生的完全解析函数F(z)，F(z)的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。(二)解析延拓的方法1采用泰勒级数展开法的解析延拓51称下列含参量的积分为格马(Gamma)函数（写作Γ函数）

：它在物理学中经常出现，又称为第二类欧拉积分，下面用它为例讨论采用函数关系的解析延拓方法。2用函数关系的解析延拓：Γ函数52（1）Γ函数在定义域Rez>0内连续且可导（2）递推公式Γ函数的性质对进行分部积分，可得递推公式1.积分区间为无穷;Γ函数特点:2.当

z-

1<0时，t=0为奇点;53（3）解析延拓设f1(z)=Γ(z),定义域B1.由递推公式：右边成立的条件：Re(z+1)>0,z≠0

⇒B2:{Rez>-1,z≠0}在B1中：f1(z)=f2(z)⇒f2

(z)是f1

(z)在中的解析延拓.54（4）的其他形式令t=y2,有令t=py,就有同理在B2中：f2(z)=f3(z)⇒f3(z)是f2

(z)在中的解析延拓.55例1计算解5657奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.答案思考58§3.3(1)（3）(6）(8)本讲作业593.5洛朗级数展开(一)问题的引入60例1.都不解析,但在圆环域及内都是解析的.而1,1112<+++++=-zzzzzkLL:10

内在圆环域<<z所以,121LL++++++=-kzzzz即内可以展开成幂级数.61[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz由此推想，若f(z)在R

2<z-z0<R1

内解析,f(z)可以展开成含有负幂次项的级数,即双边幂级数内，在圆环域110<-<z62负幂项部分正幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛kkkzza)(.10-å¥-¥=双边幂级数=-å¥=-¥=kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001-+-åå¥=-¥=-本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。63收敛半径收敛域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分D:raaR1aR2Df(z)=f1(z)+f2(z)64结论:.常见的特殊圆环域:...的收敛区域为双边幂级数kkkzza)(0-å¥-¥=.102RzzR<-<圆环域65(二)洛朗级数定理C为圆环域内绕的任一正向(逆时针）简单闭曲线.

,)()(0kkkzzazf-=å¥-¥=内处处解析，在环形域设

)(

102RzzRzf<-<内可展开成洛朗级数在那末Bzf

)(

为洛朗系数.66Bzz0证对于第一个积分(CR1):.z...67对于第二个积分:所以

因为.z...68则69则

对于C为在圆环域内绕的任何一条正向简单kkkkkkzzazza-¥=-¥=-+-=åå)()(0100.)(0kkkzza-=å¥-¥=闭曲线.可用一个式子表示为:kkaa-与70说明:函数在圆环域内的洛朗展开式在圆环域内的洛朗(Laurent)级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这就是

f(z)的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法.kkkzzazf)()(0-=å¥-¥=71(三)函数的洛朗展开式常用方法:1.直接法2.间接法

1.直接展开法利用定理公式计算系数缺点:计算往往很麻烦.),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后写出.)()(0kkkzzazf-=å¥-¥=根据正、负幂项组成的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点:简捷,快速.2.间接展开法72例2解由定理知:,)(kkkzazfå¥-¥==而zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei故由柯西定理知:由解析函数的高阶导数公式知:0=k≤-3a,

2

时则-³k,

3

时当-£k,

2在圆环域内解析zez目标求ak由柯西定理我们知道闭合回路C内不含奇点时ak=0.所以，我们要分析上式被积函数的解析性。73zzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++úûùêëé+=zzkkezk)!2(1+=kå¥-=+=2)!2()(

kkkzzf故另解：直接展开ez74例3内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解:

)2)(1(1)(

在圆环域函数--=zzzf

,

10

)1内在<<z间接展开法75oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111则,1<z由于12<z从而7612oxy由且仍有

,

21

)2内在<<z772oxy由此时,

2

)3内在¥<<z)(

zf于是78仍有,121

<<zz此时)(

zf故79注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是802.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).81解

例4.

0

sin

0洛朗级数的去心邻域内展开成在将函数=zzz823.6孤立奇点的分类定义：若函数f(z)在点z0处不解析（或没有定义），但在点z0的某个空心邻域内解析，则称点z0为f(z)的孤立奇点。(一)孤立奇点的概念例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意:

孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.83例2

指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,

的奇点存在,

函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以，因为01lim=p¥®kk84

定义

设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，f(z)在点z0的某去心邻域

内的罗朗展式为

(1)若展式中不含有z-z0的负幂项，则称z0为f(z)的可去奇点；

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)项负幂项，则称z0是f(z)的极点，称m为极点z0的阶，按照m=1或m＞1，称z0是f(z)的单极点或m阶的极点；

(3)若展式中含有z-z0的无穷多个负幂项，则称z0为f(z)的本性奇点。(二)孤立奇点的分类85其和函数为在解析的函数.说明:(1)(2)无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.1．可去奇点如果洛朗级数中不含的负幂项,那末孤立奇点称为的可去奇点.1)定义,)(0的孤立奇点若是zfz.)()()(0010LL+-++-+=kkzzazzaazf,)(00azf=îíì=¹=000,,)()(zzazzzFzf862)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则为的可去奇点.(2)

判断极限若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.如果补充定义:时,那末在解析.例3中不含负幂项,是的可去奇点.87例4

说明为的可去奇点.解

所以为的可去奇点.无负幂项另解

的可去奇点.为882.极点

其中关于的最高幂为即阶极点.那末孤立奇点称为函数的或写成1)定义

如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,1012020)()()()(-------+-++-=zzazzazzazfmmLL+-++)(010zzaa)0,1(¹³-mam89说明:1.2.特点:(1)(2)的极点,则为函数如果例5有理分式函数是二阶极点,是一阶极点.L+-+-+=+-+--20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数在d<-0zz902)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限判断.91本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.为本性奇点，所以0=z92(三)函数在无穷远点的性态1.定义如果函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称点为的孤立奇点.Rxyo93令变换规定此变换将:映射为扩充

z平面扩充

t平面映射为映射为映射为øöçèæ=tfzf1)(则942结论:在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.3规定:

m阶奇点或本性奇点.的可去奇点、m阶奇点或本性奇点,如果

t=0

是是的可去奇点、那末