数模竞赛中部分几何物理问题解析

数模竞赛中部分几何物理问题解析谭劲英14/07/181.CUMCM-1995A：一个飞行管理问题2.CUMCM-2000D：空洞探测3.CUMCM-2010A：储油罐的变位识别与罐容表标定CUMCM-1995A：一个飞行管理问题在约10000m高空的某边长160km的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达边界区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与其区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假设条件如下：1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km；2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3)所有飞机飞行速度均为每小时为800km；4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60km以上；5)最多考虑6架飞机；6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型。列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为：飞机编号横坐标x纵坐标y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入0052注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。初始位置：

时刻t飞机的位置：两架飞机的距离（平方）：两架飞机不碰撞的条件（0≤t≤Tij）Ti为第i架飞机飞出区域的时刻：不碰撞条件：不必考虑在区域外的碰撞！

两架飞机都在区域中的时间：具体来看，第i架飞机在区域内的时间：飞机飞出区域的时刻0i整理：fij(t)的最小值(-bij2/4+cij)；此时其中：不碰撞条件的等价表述

最后，优化模型为fij(t)大于等于０肯定成立fij(t)大于等于０等价于fij(t)大于等于０等价于其他目标：调整后的方向角：总的调整量最小：最大调整量最小：初始位置与方向角：山体隧道坝体等的某些内部结构可用弹性波测量来确定。简化问题可叙述为，一块均匀介质构成的矩形平板内有一些充满空气的空洞。在平板的两个邻边分别等距地设置若干波源，在他们的对边对等地安放同样多的接收器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接收器的时间。根据弹性波在介质和在空气中不同的传播速度来确定板内空洞的位置。CUMCM-2000D：空洞探测具体问题：一块240(米)×240(米)的平板ABCD：在AB边等距地设置7个波源Pi(i=1,…,7)，在CD边等距地设置7个接收器Qj(j=1,…,7)，记录由Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij(秒)；在AD边等距地设置7个波源Ri(i=1,…,7)，在BC边等距地设置7个接收器Sj(j=1,…,7)，记录由Ri发出的弹性波到达Sj的时间τij(秒)。已知弹性波在介质和空气中的传播速度分别为2880(米/秒)和320(米/秒)，且弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。P2Q4R3S6TP=(tij)tijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P1

.0611.0895.1996.2032.4181.4923.5646P2.0989.0592.4413.4318.4770.5242.3805P3.3052.4131.0598.4153.4156.3563.1919P4.3221.4453.4040.0738.1789.0740.2122P5.3490.4529.2263.1917.0839.1768.1810P6.3807.3177.2364.3064.2217.0939.1031P7.4311.3397.3566.1954.0760.0688.1042TR=(τij)τijS1S2S3S4S5S6S7R1

.0645.0602.0813.3516.3867.4314.5721R2.0753.0700.2852.4341.3491.4800.4980R3.3456.3205.0974.4093.4240.4540.3112R4.3655.3289.4247.1007.3249.2134.1017R5.3165.2509.3214.3256.0904.1874.2130R6.2749.3891.5895.3016.2058.0841.0706R7.4434.4919.3904.0786.0709.0914.0583要求：(1)确定该平面内空洞的位置。(2)只根据Pi发出的弹性波到达Qj的时间tij能确定空洞的位置吗？讨论在同样能够确定空洞位置的前提下，减少波源和接收器的方法。分析：弹性波沿平板边缘的理论传播时间：t=240/2880=0.0833(秒)弹性波沿平板边缘的实际传播时间：t11=.0611,t77=.1042,

τ11=.0645,τ77=.0583题目中已假设“弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同”。观测数据的最大绝对误差为d=0.025秒。可以认为，0.025*320=8(米）以下的空洞是探测不出的。假设1.观测数据有测量误差。观测数据除测量误差外是可靠的。2.

波在传播过程中沿直线单向传播，且不考虑波的反射、折射以及干涉等现象。3.空气密度和介质密度都均匀。4.“弹性波”在传播过程中没有能量损失。其波速仅与介质有关，且在同一均匀介质中波速不变。弹性波沿板边缘的传播速度与在介质中的传播速度相同。5.假设平板可划分化为网格，空洞定位于每个网格单元内，空洞大小大致相同。波线与网格交线长度的计算(k,l)记波源Pi与接收器Qj决定的波线与每个单元（k，l）的交线长度为bijkl

i=j时，123456654321PiQj决定的直线方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情况单元(k,l)左边缘直线方程x=40(k-1)波线与单元(k,l)左边缘对应交点的y坐标为y1ijkl=240(k-i)/(j-i)，其中l-1≤6(k-i)/(j-i)≤l

(k,l)波线与网格交线长度的计算PiQj决定的直线方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情况单元(k,l)右边缘直线方程x=40k波线与单元(k,l)右边缘对应交点的y坐标为y2ijkl=240(k+1-i)/(j-i)，其中l-1≤6(k+1-i)/(j-i)≤l

(k,l)波线与网格交线长度的计算PiQj决定的直线方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情况单元(k,l)下边缘直线方程y=40(l-1)波线与单元(k,l)下边缘对应交点的y坐标为y3ijkl=40(l-1)，其中0≤6(i-k)-(i-j)(l-1)≤6(k,l)波线与网格交线长度的计算PiQj决定的直线方程：(j-i）y=6(x-40(i-1))

i=j以外的情况单元(k,l)上边缘直线方程y=40l波线与单元(k,l)上边缘对应交点的y坐标为y4ijkl=40l，其中0≤6(i-k)-(i-j)l≤6(k,l)波线与网格交线长度的计算交线在y轴的投影长度(交点条件最多只有2个成立)i=j以外的情况dyijkl=max(y1ijkl,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)-min(y1ijkl,y2ijkl,y3ijkl,y4ijkl)由相似三角形关系QjABCDPiRiSjPjdyijkl(k,l)bijklEFGbijkl=aijdyijkl/240i=j也成立波线与网格交线长度的计算由对称性，RiSj与单元(k,l)的交线长度ci,j,k,l=bj,i,l,7-k波线与网格交线长度的计算参量、变量：xkl：单元(k,l)是否为空洞(1：是；0：否)aij：波源Pi与接收器Qj，或Ri与Sj之间的距离Pij：经过介质的长度,qij经过空气的长度tij(同样ij):传播时间观测值优化模型（拟合／回归）若没有误差：tij=pij/v1+qij/v2同理：模型：优化模型（拟合／回归）计算结果空洞X(P2,Q2)1X(P2,Q3)1X(P2,Q5)1X(P3,Q2)1X(P3,Q3)1X(P3,Q4)1X(P4,Q4)1X(P5,Q3)1

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。CUMCM-2010A：储油罐的变位识别与罐容表标定图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图。图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。附件1：小椭圆储油罐的实验数据（略）附件2：实际储油罐的检测数据（略）问题分析该问题是来自于加油站设备研究生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：第一部分：为了了解罐体变位对罐容表的影响，对于小椭圆形储油罐（实验罐），在已知变位参数的情况下，检测出油位高度与油量的对应数值，要求建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表。这一部分属于“正问题”。具体而言，第一部分有以下几个问题要完成。（1）对于小椭圆形实验罐，要给出它在无变位情形下油位高度与储油量的计算公式（模型）。（2）对于小椭圆形实验罐，要给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。这里需要考虑罐体两端有油/无油的不同情况。

（3）对于（2）得到的实验罐在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量的模型，将变位参数代入计算，得出修正后的油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。并与原标定值比较，分析罐体变位的影响。第二部分：根据实际检测数据，识别实际储油罐罐体是如何变位的，估计出变位参数，给出实际罐罐容表的修正标定方法和结果。并分析检验模型的正确性和方法的可靠性。这一部分属于“反问题”。（4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量V与油位高度h及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的关系模型，即的关系模型。具体而言，第二部分有以下几个问题要完成。这一问要根据油位高度分别考虑两端有油或一端有油的情况，同时考虑偏转情况，所以，具体的解析表达式可能会比较复杂。由于实际罐内油量初值未知，所以，罐内对应于某一油位高度的储油量准确值未知。因此，不能由（4）求出的表达式解出和。（5）根据附件2的检测数据，估计实际储油罐的纵向倾斜角度和横向偏转角度。所以，这一问要给出估计参数和的准则，然后再进行估计。（6）根据（4）得到模型和参数估计值和，给出罐体变位后油位高度h间隔为10cm的罐容表标定值。（7）利用附件2的实际检测数据，分析检验模型的正确性和方法的可靠性。解题思路

（1）对于小椭圆形实验罐，给出它在无变位情形下油位高度与储油量的计算公式（模型）。xyOhab利用积分可以计算出油位高度为h时实验罐的截面面积，于是得到油位高度与储油量的计算公式：其中a，b，L分别是实验罐截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度，h为油位高度。这个计算公式也可以从相关文献中查到。将实验罐的实际参数代入计算，容易得到实验罐无变位情形的正常罐容表。

（2）对于小椭圆形实验罐，给出它在纵向倾斜变位情形下油位高度与储油量计算的修正模型。

油面下降到Ⅰ区时，油浮显示油位高度总是0，不随实际油量的变化而变化，无需要考虑油面在I区内油量的计算公式。同理，当油位高度上升到Ⅴ区时，由于油浮显示油位高度总是2b，也无需考虑油面在Ⅴ区内的油量计算公式。2b

因而，只需讨论油面分别处于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三个区域内时，储油量与油位高度、油罐纵向倾角的关系表达式。当油面分别处于Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三个区域内，计算储油量的截面面积沿x轴积分，可分别得到当h处于不同高度时储油量的计算公式：其中，l为探针到左侧面的距离。

（3）将变位参数代入上述公式计算，得出修正后的油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。罐体变位后高度间隔为10cm的罐容表标定值油面高度油的容量油面高度油的容量油面高度油的容量1070.13501371.88903072.4320281.86601798.521003450.7230595.25702232.501103776.6440965.66802661.421204012.75

进一步，与正常的标定值比较分析可知，实验罐在纵向倾斜变位情形，实际油量与原标定值的最大误差在257L以上，平均误差达190L以上，平均相对误差达到30%以上。（4）对于实际储油罐，建立罐体变位后罐内储油量V与油位高度h及纵向倾斜角度和横向偏转角度之间的关系模型，即。由于本问较复杂，需要分情况建立模型，可以先考虑只发生纵向变位的情况。其中球冠Ⅰ的体积表达式为：其中球冠III的体积表达式为：其中圆柱体II的体积表达式为：在不考虑罐体横向变位的情况下（即），储油罐的体积与辅助变量的关系表达式为：在不考虑横向变位的情况下（即），储油罐的油位高

与辅助变量的关系表达式为：根据以上与的转换关系，就可以得到罐体内油量与油位高及纵向倾斜角的关系表达式进一步，考虑罐体在产生纵向变位的基础上，又产生了横向变位，此时罐体的位置如下图：由于罐体只产生纵向变位时油位高度与储油量

的对应关系已得到，再根据上面推导出的与同时发生纵向和横向变位时油位高h，就可以求出一般情况下，即罐体同时产生纵向和横向变位的油位高h与储油量V之间的关系模型。未产生横向变位时油位高与产生横向变位后油位高h之间满足如下关系：（5）根据附件2的检测数据，估计实际储油罐的纵向倾斜角度和横向偏转角度。根据附件2数据可以得到不同时刻的出油量，同时可以计算对应的油位改变量。这一问就可以归结为求解非线性最小二乘问题：根据前一问的模型表达式，可以得到理论上储油量的改变量。或利用附件2的部分数据（例如前半部分），借助软件和各种数值方法可以估计出实际储油罐的纵向倾斜角度和横向偏转角度。事实上，储油量对横向偏转变位角不敏感。如果经分析说明了这一点，这一问也可以直接考虑纵向变位的单参数估计问题。具体的估计值依所用的计算方法不同而有差别，一般地，（6）根据模型和前一问得到的参数估计值和，就可以给出罐体变位后的罐容表标定值。