数值分析2.3迭代法的收敛性

一、矩阵的谱半径

第2章线性方程组的数值解法

§迭代法的收敛性

二、迭代法的收敛条件三、举例复习：1、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算；设A为方阵，Au=λu(u≠0)即λ是方程|λE-A|=0的根2、矩阵的特征值与特征向量的性质3、Ak=AA…A的特征值是一、迭代法的谱半径称迭代公式中的矩阵B为迭代矩阵.定义1：定义2：设A为n阶方阵，λi(i=1,…,n)为A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为称为矩阵A的谱.性质：若矩阵A的谱为谱半径为则Ak=AA…Ak个的谱为(k=1,2,…)谱半径为定理：设A为任意n阶方阵，||.||为任意由向量范数诱导出的矩阵的范数，则证明：对A的任一特征值λi及相应的特征向量ui，都有因为ui为非零向量，即||ui||≠0，于是有由λi的任意性得定理：设A为n阶方阵，则对任意正数ε，存在一种矩阵范数||.||，使得（证明省略）注：对n阶方阵，一般不存在矩阵范数||.||，使得但若A为对称矩阵，则有下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要.定理：设A为n阶方阵，则的充要条件为证明：必要性:若则而于是由极限存在准则，有故充分性:若取则存在一种矩阵范数||.||，使得而于是所以二、迭代法的收敛条件定理：对任意初始向量x(0)和右端项g，由迭代格式x(k+1)=Mx(k)+g

产生的向量序列收敛的充要条件为证明：必要性设存在n维向量x*，使得则x*满足由迭代公式有于是有因为x(0)为任意向量，因此上式成立必须即充分性:若则λ=1不是M的特征值，所以|I－Ｍ|≠0于是对任意n维向量g，方程组(I－M)x=g有唯一解，记为x*，即并且又因为故对任意初始向量x(0)，都有即由迭代公式产生的向量序列{x(k)}收敛。推论1：若迭代矩阵满足||M||<1，则迭代公式产生的向量序列{x(k)}收敛。推论2：松弛法收敛的必要条件是0<ω<2证明:设松弛法的迭代矩阵M有特征值因为由定理，松弛法收敛必有又因为而于是有所以注：定理表明，迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向量及方程组的右端项无关。对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，因此可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。举例：解方程组讨论Jacobi法与Gauss-Seidel法的收敛性。解：由定理，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵的谱半径是否＜１，故应先求迭代矩阵。而故A分解后的各矩阵分别为Jacobi迭代法的迭代矩阵为其特征方程为因此有故Jacobi法收敛如果用Gauss-Seidel迭代，由可得于是迭代矩阵为其特征方程为故所以Gauss-Seidel迭代法发散。???请思考:(1)若记不住Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的矩阵表示，怎么写出迭代矩阵？(2)试归纳判断迭代法收敛的方法？答:(1)从分量表示开始

(2)先用两个推论，再用充要条件，即||M||<1迭代法收敛松弛法收敛0<ω<2迭代法收敛下面对一些特殊的系数矩阵给出几个常用的判断收敛的条件。定义：若n阶方阵A=(aij)满足且至少有一个i

值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱对角占优阵。若对所有i，不等号均严格成立，则称A为严格对角占优阵。例如：矩阵是严格对角占优阵矩阵不是严格对角占优阵设有线性方程组Ax=b，下列结论成立：若A为严格对角占优阵，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。2.若A为严格对角占优阵，0<ω≤1，则松弛法收敛。3.若A为对称正定阵，0<ω<2，则松弛法收敛.

即：若A是对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为0<ω<2。归纳判断迭代法收敛的方法如下：1.首先根据方程组的系数矩阵A的特点判断；2.可根据迭代矩阵的范数判断；3.只好根据迭代矩阵的谱半径判断.三、举例例1：设有方程组Ax=b，其中讨论用三种迭代法求解的收敛性。解：首先Ａ不是对角占优阵，但Ａ是对称阵，且其各阶顺序主子式均大于０，故Ａ为对称正定阵，由判别条件３可得Gauss-Seidel法与松弛法(0<ω<2)均收敛。又因为Jacobi迭代法的迭代矩阵为故||B||1=||B||∞=1，因此不能用范数判断。下面计算迭代矩阵的谱半径。解特征方程可得谱半径故Jacobi迭代法不收敛。值得注意的是：改变方程组中方程的顺序，即将系数矩阵作行交换，会改变迭代法的收敛性。例2：设方程组Ax=b的系数矩阵为则Jacobi法与Gauss-Seidel法的迭代矩阵分别是其谱半径分别为故这两种迭代法均不收敛。但若交换两个方程的次序，得原方程组的同解方程组显然Aˊ是严格对角占优阵，因此对方程组用Jacobi法和Gauss-Seidel法均收敛。例3：设A=(aij)是二阶方阵，且a11a22≠0.试证求解方程组Ax=b的Jacobi法与Gauss-Seidel法同时收敛或发散。证明：Jacobi迭代矩阵为其谱半径为而Gauss-Seidel法的迭代矩阵为其谱半径为则有显然同时