Mathematic在数学中的应用2

Mathematica在数学中的应用

中国科学院研究生院

TheApplicationofMathematicainMath2Mathematica软件的使用(1)用Mathematica软件进行各种简单数学处理(2)用Mathematica软件进行作图(3)用Mathematica软件编写程序本章教学目的Mathematica中的四种括弧Mathematica一般用到了四种括弧，每种括弧的功能都是不同的，下面总结一下：1、圆括号()：用于组合运算，在计算中表示优先计算关系2、方括弧[]：用在函数中，表示其中为函数的参数3、大括弧{}：用来表示集合4、双括号[[]]：用来表示索引初等代数1.1有理式的展开(常用命令)命令说明Expand[poly]展开多项式polyFactor[poly]对多项式poly作因式分解FactorTerms[poly]提取数字公因子Exponent[poly,x]多项式poly中x的最高次数Cofficient[poly,expr]多项式poly中项expr的系数Poly[[n]]或Part[poly,n]多项式poly的第n项(1)f=Expand[(x+y+3)^2](2)Factor[f](3)Exponent[f,x](4)Coefficient[f,x](5)Factor[(x^3+2x+1)/(x^3+x^2+x+1)](6)Apart[%](*将表达式分解为最简单分式*)1.2有理式运算的常用命令命令说明ExpandNumerator[expr]展开分子ExpandDenominator[expr]展开分母Expand[expr]展开分子,每项除以分母ExpandAll[expr]分子,分母完全展开Together[expr]通分Apart[expr]分解为部分分式之和Cancel[expr]约分命令说明PolynomialQuotient[p,q,x]x的多项式p与q相除的商式PolynomialRemainder[p,q,x]x的多项式p与q相除的余式PolynomialGCD[p1,p2,….]多项式p1,p2,….的最大公因式PolynomialLCM[p1,p2,….]多项式p1,p2,….的最小公倍数1.3多项式的代数运算(1)PolynomialQuotient[1+x^2,x+1,x](2)PolynomialGCD[x^2+2x+1,x^3+1,x^5+1]命令说明Solve[方程或方程组,{变量}]求方程(组)的精确解NSolve[方程或方程组,{变量}]求方程(组)的(全部)近似解FindRoot[方程,{变量,初值}]用Newton法求方程组的一个近似解1.4方程求解(1)Solve[a*x+b==0,x](2)Reduce[a*x+b==0,x](*推导方程组的解*)(3)FindRoot[Sin[x]==0,{x,3}]Mathematica对符号运算的限制用户在使用Mathematica对符号表达式进行处理时,也许会执行Expand[(x+1)^(100^100)]的命令。这个命令执行的结果，表达式将有100^100+1项。也许计算机可以很方便地执行这个计算任务，但到计算的后期，每升高(x+1)的幂指数时，计算的增加量是非常大的。当运算超出计算机容量的限制时，Mathematica的计算只能停下来。即使计算下去，花费时间也是相当客观(1):进行包含10000位数的算术运算(2):展开有1000项的多项式(3):用有几千项的三个以上的变量分解多项式(4):使用一个递归计算1000次以上(5):找出100＊100矩阵的逆矩阵的计算(6):输出结果超过10页的计算用符号做标记在Mathematica中，可以指定符号为不同类型的目标作标记。这个标记就像数值的单位一样。比如：微积分

Mathematica可以完成几乎所有标准数学函数的积分,可以对有理多项式进行积分,只要分母的幂指数不要太高.(1)D[Sin[n*x],{x,3}](2)Dt[Sin[n*x],x](3)Integrate[Log[x],x]有些积分可能无法用确定的式子表示,至少不能用标准的数学函数表示。比如像，这样的积分根本不能用数学手册中定义的标准函数的形式求解。Mathematica对于不可积分的数学表达式将不作任何处理。线形代数计算方法、拟和、最优化计算Mathematica软件的作图给出一个一元函数及其作图区间，用Plot语句可以立刻作出函数在相应区间上的图形(1)Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}](2)Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},

AspectRatio->Automatic,

PlotStyle->{GrayLevel[0.1], Dashing[{0.02,0.01}], Thickness[0.01]},

AxesLabel->{“x”,“y”}]二维函数作图

修改坐标的原点为(3,0),并设定图形名称修改x轴的刻度,y轴的刻度仍然不变在绘图时，允许使用选项对绘制图形的细节提出各种要求和设置。如果不设置任何选项，则Mathematica软件作图时选项取默认值。选项默认值意义AspectRatio1/GoldRatio=0.618图形高度与宽度的比例。如果要图形按实际情况显示，设置的选项应为AutomaticAxesAutomatic是否画坐标轴以及设置坐标轴的中心位置.选项值为None时,不设置坐标轴AxesLabelNone设置坐标轴上的标记符号.用{“字符串1”,“字符串2”}的形式定义轴的横坐标和纵坐标标记PlotRangeAutomatic图形中坐标的范围选项默认值意义PlotPoints22采样函数的点数.对于函数值变化剧烈的表达式,应设定较大的点数PlotStyleAutomatic设置曲线的样式。取默认值时画出一条黑色、实的曲线。选项意义Graylevel[g]灰度比值，g取0到1之间的数,0为黑色，1为白色RGBColor[r,g,b]红、绿、蓝三色的强度，0到1之间的数Thickness线的宽度值为tPlotStyle的可选项目二维参数作图

使用Plot命令只能绘出一般的函数曲线，要绘制参数曲线，可以用ParametricPlot命令,其一般形式:

ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax},选项](1)ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi}](2)ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2Pi},

AspectRatio->Automatic]三维函数作图

作出二元函数f(x,y)的立体图形的命令是Plot3D,其格式为:Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},选项](1)Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,-5,5},{y,-5,5}]与Plot语句类似,Plot3D语句中也可以加入许多选项(2)Plot3D[Sin[Sqrt[x^2+y^2]],{x,-5,5},{y,-5,5}, Boxed->False,Axes->False,

PlotPoints->50,Mesh->False]三维函数作图

图形轴上加上标记

学习过画法几何或工程制图的都知道，制图时通常用三视图来表示一个物体的具体形状特性。我们在生活中也知道从不同观察点观察物体，其效果是很不一样的。在绘制立体图形时，在系统默认的情况下，观察点在(1.3,-2.4,2)处。这个参考点选择是具有一般性的，因此偶尔把图形的不同部分重在一起也不会发生视觉混乱。改变视点

带有阴影和网格的图形对于理解曲面的形状是很有好处的。在有些矢量图形的输出装置中，你可能得不到阴影，但是当有阴影时，输出装置可能要花很长时间来输出它。通常情况下，Mathematica为了使图形更加逼真而用明暗分布的形式给空间立体曲面着色。在这种情况下，Mathematica假定在图形的右上方有三种光源照在物体上。但有时这种方法会造成混乱，此时你可用Lighting->False来采取根据高度在表面上涂以不同灰度的阴影的方法。选项默认值意义AspectRatio1图形高度与宽度的比率AxesTrue是否画坐标轴AxesLabelNone设置坐标轴上的标记符号BoxedTrue是否显示外框MeshTrue是否在表面画网格PlotRangeAutomatic图形中坐标的范围PlotPoints15采样函数的点数ShadingTrue表面是阴影还是空白Plot3D语句的各种常用的选项三维参数作图

在Mathematica软件中三维参数作图有两种形式,一种是空间曲线参数作图,其命令为:ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},选项](1)ParametricPlot3D[{6Cos[t],6Sin[t],3*t}, {t,-8,8},AspectRatio->1]另外一种是空间曲面参数作图,其命令为: ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]}, {u,umin,umax},{v,vmin,vmax},选项](2)ParametricPlot3D[{Cos[u]*Cos[v], Sin[u]*Cos[v],Sin[v]},{u,0,2Pi}, {v,-Pi/2,Pi/2},Axes->False,Boxed->False](2)ParametricPlot3D[{{Cos[u]*Cos[v],Sin[u]*Cos[v],

Sin[v]},{2Cos[u]*Cos[v],2Sin[u]*Cos[v], 2Sin[v]}},{u,0,Pi},{v,-Pi/2,Pi/2}, Boxed->False,Axes->False]数据作图

在Mathematica软件也可以根据数据作出图形,其命令为:

ListPlot[数据,选项](1)p=Table[{n,Prime[n]},{n,1,20}];L istPlot[p](2)ListPlot[p,PlotStyle->AbsolutePointSize[4]](3)ListPlot[p,PlotJoined->True]图形的组合

上述的各种图形命令中，ParametricPlot,ParametricPlot3D，Plot三个语句不仅可以画出一个函数的图形，而且可以同时画出几个函数的图形。其一般形式为： 图形命令[{函数1，函数2，…},变量范围,选项](1)Plot[{Sin[x],x,x-x^3/6,x-x^3/6+x^5/120}, {x,-2Pi,2Pi}]

图形元素作图

如果要绘制一些最基本的图形,可以用Graphics语句(三维图形用Graphics3D)作出基本图形元素,再用Show语句显示图形二维图形元素集合意义Point[{x,y}]点{x,y}Line[{x1,y1},{x2,y2},…]连接{x1,y1},{x2,y2},…的折线段Rectangle[{x1,y1},{x2,y2}]以{x1,y1},{x2,y2}为对角线两顶点的填实矩阵Polygon[{x1,y1},{x2,y2},…]以{x1,y1},{x2,y2}为顶点的填实多边形Circle[x,y,r]圆心在{x,y},半径为r的圆Circle[{x,y},{rx,ry}]中心在{x,y},长短半轴分别为rx,ry的椭圆二维图形元素集合意义Circle[{x,y},r,{t1,t2}]从弧度t1到弧度t2的圆弧Disk[{x,y},r]圆心在{x,y}，半径为r的填实圆Text[“expr”,{x,y}]在{x,y}处的文本”expr”(1)执行下列语句V1=Graphics[Circle[{0,0},{3.5,4}]];V2=Graphics[Line[{{-2,2.5},{-1,2.5}}]];V3=Graphics[Line[{{2,2.5},{1,2.5}}]];V4=Graphics[Circle[{-1.5,1.5},0.5]];V5=Graphics[Circle[{1.5,1.5},0.5]];V6=Graphics[Disk[{-1.65,1.5},0.15]];V7=Graphics[Disk[{1.35,1.5},0.15]];V8=Graphics[Polygon[{{-0.5,-1},{0.5,-1},{0,0}}]];V9=Graphics[Circle[{0,-2},{0.5,0.3}]];v10=Graphics[Text[“Hello”,{0,-5}]];Show[V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7,V8,V9,V10,

AspectRatio->Automatic]三维图形的元素的函数－略，感兴趣的图形查相关手册编程

分枝结构

在复杂的计算中经常需要根据表达式的情况（它是否满足一些条件）确定是否做某些处理，或在满足不同的条件时做不同的处理。Mathematica软件提供了一些描述条件分枝的结构，它们在常用的程序里，用于控制程序的执行过程。1：If语句

Mathematica软件中If语句有三种形式

形式一：If[test,expr]当test的值为True时，对expr求值，将它的值作为整个语句的值；当test的值为False时，则给出空值Null

形式二：If[test,expr1,expr2]

当test的值为True时，求expr1的值作为整个语句的值，当test的值为False时，求expr2的值作为整个语句的值。

形式三：If[test,expr1,expr2,expr3]当test的值为True时，求expr1的值作为整个语句的值，当test的值为False时，求expr2的值作为整个语句的值;当test求不出值为True与False时,求expr3的值作为整个语句的值 (1)abs[x_]=If[x>=0,x,-x](2)f[x_]:=If[x>5,3,2,1](3)f[6](4)f[5](5)f[a]2：Which语句

Which[test1,expr1,test2,expr2,…]

该语句依次求出每一个条件的值，当求出第一个值为True的条件时，求出对应表达式的值作为整个语句的值。(例)g[x_]:=Which[x>=8,8,x>=6,6,x>=4,4,True,0]

用True作为Which语句的最后一个条件，可以处理“其他”情况。在此处即为，当x<4时，g[x]取值为0

循环结构

高级程序设计语言都提供了描述重复执行的循环语句。在Mathematica软件中也提供了一些类似的循环控制结构。1、While[test,expr]在计算时，条件test先被求值。若求出值为True，则对表达式求值，然后再重复上述过程；一旦test的值不是True，整个循环结果计算结束。例如下面的程序可用来计算与100！k=1;s=0;p=1;While[k<=100,s=s+k;p=p*k;k++];Print[“s=”,s,“p=”,p]2、For[start,test,incr,body]在计算时，其初始表达式start首先求值，然后进入循环，依次计算条件test，步长表达式incr与循环体body，一旦test的值不是True，整个循环结构计算结束.s=0;p=1;For[k=1,k<=100,k++,s=s+k;p=p*k];Print[“s=”,s,“p=”,p]3、Do[expr,{i,imin,imax,di]在循环变量i依步长di从imin取到imax