lesson 17 IIR数字滤波器的设计方法

IIR数字滤波器的设计方法

DesignofIIRDigitalFiltersLesson17复习提问网络转置定理是？为什么系统函数不变？为什么FIR可以采用快速卷积的方法？严格线性相位是？有什么优点？如何实现？线性相位的FIR需要多少次乘法？实际中的数字滤波器的一般的设计步骤包括：根据需要确定滤波器的技术指标，例如滤波器频率响应的幅度特性和截止频率等。用一个稳定的因果系统逼近这些指标，具体来说，就是由这些指标计算系统函数用有限精度的运算实现，包括选择运算结构，进行误差分析和选择存储单元的字长。本小节我们只讨论第二步的问题。IIR数字滤波器的设计方法

设计滤波器之前，要对滤波器的性能提出一个要求，这就是技术指标，包括以下这些：通带截止频率阻带截止频率通带波纹阻带衰减通带与阻带之间的频带称为过渡带，如图所示。性能要求(技术指标)

性能要求(技术指标)通带波纹是指滤波器的幅频响应在通带内满足条件阻带衰减是指滤波器的幅频响应在阻带内满足条件确定滤波器的技术指标后，寻找一个频率响应符合允许指标的离散时间线性系统。所以滤波器实际是一个数学逼近问题。对于IIR系统用有理函数去逼近，对于FIR系统用多项式去逼近所希望的频率响应。性能要求(技术指标)利用模拟滤波器的理论来设计。计算机辅助的最优技术设计方法。本课程只讨论第一种方法，实际上我们也将利用计算机进行辅助设计。IIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器的设计方法首先根据实际要求设计一个模拟滤波器，然后再将这个模拟滤波器转换成数字滤波器。转换方法主要有两种：冲激响应不变法；双线性变换法。IIR数字滤波器的设计方法

冲激响应不变法实现模拟滤波器到数字滤波器的转换双线性变换法实现模拟滤波器到数字滤波器的转换利用上述两种方法设计数字巴特沃斯低通滤波器和数字切比雪夫滤波器冲激响应不变法冲激响应不变法冲激不变法的准则是：使数字滤波器的单位取样响应与所参照的模拟滤波器的单位冲激响应的取样值一样，即实际上，由模拟滤波器转换成数字滤波器，就是要建立模拟系统函数与数字系统函数之间的关系T

为取样周期已知：冲激响应不变法具体来说，是反映的周期延拓与的关系，而不是本身与的关系。这正是冲激响应不变法设计的数字滤波器的频率响应产生混叠失真的根本原因。冲激响应不变法冲激响应不变法是要从s平面映射到z平面，如图所示。这种映射不是简单的代数映射，而是s平面上每一条宽为的水平带重复地映射成整个z平面。冲激响应不变法现在讨论用冲激响应不变法得到的数字滤波器与所参照的模拟滤波器的频率响应之间的关系。令和，得该式表明，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。重复周期为冲激响应不变法如果模拟滤波器频率响应的带宽限制在上述重复周期的一半以内，即那么，数字滤波器的频率响应能够重现模拟滤波器的频率响应，即然而，任何实际的模拟滤波器都不是带限的，因此数字滤波器的频谱必然产生混叠，如图所示。冲激响应不变法如果模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上衰减很大，那么混叠失真将会很小，采用冲激响应不变法就能得到良好的效果。冲激响应不变法这时有上面讨论用冲激不变法设计IIR数字滤波器时，涉及到参数T。但是，如果用数字域频率来规定数字滤波器的指标，那么在冲激响应不变法设计种T

是一个无关紧要的参数，因此，为了方便常取T等于1。冲激不变法最适合于可以部分分式表示的系统函数，这从下面设计步骤可以看出。冲激响应不变法设计步骤如下：1)假设模拟滤波器的系统函数具有一阶极点，且分母的阶数高于分子的阶数。将展开成部分分式式中，为极点。对求反拉普拉斯变换，得冲激响应不变法2)使用冲激不变法求数字滤波器的单位取样响应令，代入上式得冲激响应不变法3)求的Z变换，得冲激响应不变法，比较上面两式，经冲激响应不变法变换之后，s平面的极点变换成z平面的极点，而和系数相等，都为。冲激响应不变法如果模拟滤波器是稳定的，那么由冲激响应不变法设计得到的数字滤波器也是稳定的。这是因为，如果极点都在s平面的左半平面，那么即变换后得到的的极点都在单位圆内。冲激响应不变法当取样率很高，即T很小时，数字滤波器有很高的增益。但是人们常常不希望增益太高，为此，在取样率高时一般不直接用上面的变换式，而改为采用下面式子。冲激响应不变法例4.1

已知一模拟滤波器的系统函数为使用冲激响应不变法求数字滤波器的系统函数。解：将展开成部分方式得冲激响应不变法例4.1解(续)：所以模拟滤波器的两个极点为直接利用公式得如果取T=0.1667s，得下图画出对应的模拟滤波器和数字滤波器的频率响应即冲激响应不变法数字滤波器的幅频响应在高频段有较大失真，而在低频段很接近模拟滤波器的幅频响应。冲激响应不变法在冲激响应不变法中，由于映射不是简单的代数映射，从而使设计的数字滤波器的频率响应产生失真。但是由于模拟频率和数字频率之间有线性关系，即，因此频率之间不存在失真。需要指出，冲激响应不变法仅适合于基本上是带限的低通滤波器，对于高通或带阻滤波器应该附加限带要求，以避免严重的混叠失真。冲激响应不变法MATLAB提供的函数是impinvar，它的用法是[BZ,AZ]=IMPINVAR(B,A,Fs)其中B,A是模拟滤波器分子分母多项式系数，它们按照从高到低的幂次排列。BZ，AZ是数字滤波器分子分母多项式系数，它们按照下面规律排列系数例4.1用MATLAB函数做就是：

[bz,az]=impinvar(2,[143],1/0.1667);双线性变换法双线性变换法双线性变换也是一种由s平面到z平面的映射过程，定义为因此其中T

是取样周期，常数因子不是主要参数，因此常取T=1。双线性变换法与冲激响应不变法不同，它是一种从s平面到z平面的简单映射。双线性变换法将和代入双线性变换式，得因此由此看出，数字域频率与模拟频率之间呈非线性关系双线性变换法由上图看出，当从变到时，从变到。这意味着模拟滤波器的全部频率特性，被压缩成数字滤波器在频率范围内的特性。这种频率标度之间的非线性在高频段较为严重，而在低频段接近于线性，因此数字滤波器的频率特性能够逼近模拟滤波器的频率特性。双线性变换法双线性变换的频率标度的非线性失真可以用预畸变方法来补偿:设所求的数字滤波器的通带和阻带的截止频率分别为和。按以下公式求出模拟滤波器的截止频率和若模拟滤波器按这两个预畸变的频率和来设计，那么用双线性变换所得到的数字滤波器变具有所希望的截止频率特性。双线性变换法由前面的双线性变换式得将代入上式得双线性变换法这说明s平面的轴映射成z平面的单位圆周，左半平面映射成单位圆内部，右半平面映射成单位圆外部。如下图所示双线性变换法双线性映射是一种简单的代数映射，因此变换后的数字滤波器的幅度响应没有混叠失真。如果模拟滤波器是稳定的，即的所有极点都在s平面的左半平面内，那么经双线性变换映射后的极点都在z平面的单位圆内，因此对应的数字滤波器也是稳定的。双线性变换法双线性变换中数字域频率和模拟频率之间的非线性关系限制了它的应用范围，只有当非线性失真是允许的或能补偿时，才能采用双线性变换。通常，低通、高通、带通和带阻滤波器具有分段恒定的频率特性，可以采用预