太原理工大学大地测量学基础-第六章课件

第六章高斯投影及其计算测量工作的主要工作量是测图和工程测量（含矿山测量），大地坐标、空间直角坐标虽有一个地球一个坐标系的方便之处，但在工程与测图应用中却有不方便、不直观、不适合人类直观的视觉效果等不足，因而需有另一类坐标系---平面坐标系测量中常用的平面直角系有高斯投影（簇）平面直角坐标系、兰勃脱投影平面坐标系等，本章主要讲授内容投影的意义Significanceofprojection投影方程Equationofprojection投影变形Deformationofprojection地图投影的分类Classificationofprojection6-1地图投影概念及正形投影一、投影的意义由人类视觉感受可知,绘制于平面上的图更便于理解和应用；大地坐标基于曲面，不能直接用来进行平面测图;空间直角坐标既不能用来平面测图，甚至连直观的高程参数也没有。从计算的复杂性考虑,椭球面上的计算比平面上要复杂的多,平面上的计算简单且明了;二、投影方程投影方程是建立椭球面上的点与平面上的点一一对应关系的数学表达式

式中：L，B——椭球面上某点的大地坐标

x，y——是该点投影投影面：是可以展成为平面的曲面，如椭圆(或圆)柱面，圆锥面以及平面等投影方程的意义：表达了椭球面上一点同投影面上相应点坐标之间的解析关系，投影方程中的函数F1和F2称投影函数。三、地图投影变形（从变形产生的长度比开始）1．长度比定义定义：指投影前后线段长度的比值称长度比（Lengthratio）长度比性质：一点上的长度比，不仅随点的位置变化，而且随线段的方向而发生变化。不同点上的线段长度比不同同一点上不同方向的长度比也不相同2．投影变形的分类投影变形定义：当椭球面（一个不可展平的曲面）上的元素（如一段距离、一个方向、一个角度、一个图形等）投影到平面上后，与其原距离、方向、角度及图形比必产生差异，这个差异称投影变形。投影变形分类（有四种情况）1.长度变形：长度比与1之差，r可能为正、负或零。2.方向变形：投影前后方向差称方向变形，3.角度变形：投影前的角度与投影后对应角度之差称为角度变形,用u表示。4.面积变形：原面上单位圆的面积为，投影后变形椭圆的面积为，则投影的面积比：面积变形为：P-1

变形分析结论：各种研究表明，地图投影必然产生变形，即变形是不可避免的，但可根据需要来掌握和控制它，达到使某种变形为零，而其他变形最小。3.投影分类按投影面来分，有圆锥投影、圆柱投影、平面投影等按变形性质来分，则有等角（投影前后角度保持不变）、等面积（投影前后面积保持不变）、任意投影等按创立者姓名命名，如兰勃特、墨卡托、高斯投影等地图投影之圆柱（或椭圆柱）投影投影方法：取圆柱(或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面(或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。投影后，纬线投影为一组平行线，且对称于赤道；经线是与纬线垂直的另一组平行线。设中央经线投影为x轴，赤道投影为y轴可形成平面直角坐标系。圆柱（或椭圆柱，或圆锥）投影按投影面和原面的相对位置关系可分类如下：正轴投影：即圆锥轴或圆柱轴与地球自转轴相重合时的投影，此时称正轴圆锥投影或正轴圆柱投影斜（侧）轴投影：即投影面与原面相切于除极点和赤道以外的某一位置所得的投影横轴投影：投影面的轴线与地球自转轴相垂直，且与某一条经线相切所得的投影。比如横轴椭圆柱投影等。切or割投影为调整变形分布，投影面还可以与地球椭球相切或相割，相割时会有两条标准线，形成割圆柱（或椭圆柱，或圆锥）投影。我国大地测量中，采用横轴椭圆柱面等角切投影，即所谓的高斯投影。地图投影之圆锥投影简介投影方法：取一圆锥面与椭球某条纬线相切或相割，将纬圈附近的区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。投影后：纬线投影成同心圆，经线是这些圆的半径，且经线交角与经差成比例方位（平面）投影方法：取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以极点为圆心的同心圆；经线则为它的向径，且经线交角不变；地图投影之方位投影简介四、椭球面到平面的正形投影(OrthomorphicMapProjection)1.正形投影的特点正形投影条件：长度比与方向无关在投影点上，各方向微分线段的长度比不随方向而变化，即该点上长度比保持一常数；或者说在该点上，任何两条微分线段的交角，等于椭球面上相应的角度，也就是说角度没有变形。正形投影时，椭球面上的角度可不加改正变为平面角度投影前，椭球面上的微分弧长投影后，正形投影面上该微分弧长长度比2.正形投影条件—数学条件1)等量坐标概念引入在分带投影中，点的经度可用等量经度，分析图中几何关系可知：为简化公式，可引入等量纬度(红圈中部分为其微分量)，即

长度比公式变成2)正形投影条件的公式推导(长度比m与方向无关，从长度比关系式推导投影条件公式)长度比关系式建立：考虑等坐标，下列等价关系成立被称做等量坐标上两式完全等价，对等量坐标表达式全微分将上微分结果代入下式并令

式（1）引入长度比与方位角无关的基本条件式（2）由图示，并顾及有下列关系式存在有下式存在即有关系式：代入式（2）正形投影条件为：长度比与方向无关，即：F=0,E=G

代入式（1）顾及式（1）中各式得：求解式（3）、式（4），舍去不合理结果，可得得正形投影由椭球面至平面投影的柯西-黎曼条件：柯西-黎曼条件是正形投影必须遵循的基本公式柯西-黎曼条件是正形投影的充分必要条件，同理可得平面正投影到椭球上的柯西-黎曼条件在满足F＝0，E＝G条件下，长度比公式化简为3.柯西—黎曼条件的几何意义

椭球面向平面投影随纬度的增加y减小L=常数B=常数正形投影几何意义之子午线收敛角点A为椭球面上点在平面上的投影，是L＝常数的子午微分弧段是B＝常数的平行圈微分弧段在平面上的投影

是子午线收敛角，它是直角坐标纵线(x＝常数)及横线(y＝常数)分别与子午线和平行圈投影间的夹角，从坐标线按反时针量取。

与相似，故有关系式图中各线段长度因正形投影的长度比m与方向无关，故有

由投影方程：可得下列全微分方程式（1）式中负号意义在于：纬度增加y坐标减小

由以上关系式，也可得到柯西—黎曼条件：等价于将式(2)稍作变化,还可得可得子午线收敛角计算公式及长度比公式6-2高斯投影与国家平面直角坐标系一、高斯投影概念1.高斯—克吕格投影的产生卡尔·弗里德里赫·高斯(1777-1855)，德国数学家、物理学家1820～1830年间，高斯对德国汉诺威三角测量成果进行数据处理时，采用了他本人研究的将一条中央子午线长度投影规定为固定比例尺度的椭球正形投影，但当时没有发表和公布；1866年史赖伯（德）出版的名著《汉诺威大地测量投影方法的理论》首先对高斯投影的有关理论进行了整理和加工，从而使高斯投影的理论得以公布于世；1912年德国测量学家克吕格在他出版的名著《地球椭球向平面的投影》补充和深入阐述了高斯投影理论，从此，人们将这种投影称之为高斯—克吕格投影。1919年德国学者巴乌盖尔建议采用3°带投影，并把坐标纵轴西移500km，在纵坐标前冠以带号，从完全而形成了现在的高斯投影体系。高斯投影是等角圆柱投影（墨卡托投影，1569）中的一种我国于1952年起正式采用高斯－克吕格投影2.高斯投影的几何概念（ConceptofGauss-KrugerProjection

）墨卡托投影横轴墨卡托投影关于墨卡托投影墨卡托投影作为海图制图的数学基础已被世界各国使用了近400年。墨卡托投影仍是当代较大比例尺分幅海图或赤道附近的航空图的主要投影方式。墨卡托投影中，纬线投影为平行直线，经线投影为与纬线垂直而且间隔相等的平行直线，两经线间的距离与相应的经差成正比墨卡托投影之高斯投影及其几何概念－等角横切椭圆柱投影NSc中央子午线高斯投影平面赤道中央子午线高斯投影平面中央子午线赤道高斯投影含义高斯投影的条件1）正形条件；2）中央子午线投影为一直线；3）中央子午线投影后长度不变。高斯投影平面赤道中央子午线附：通用横轴墨卡托投影－等角横割椭圆柱投影

UniversalTransverseMercator(UTM)

美国军事测绘局1938年提出，美、德等60多个国家使用，因各国采用的地球椭球体的不同而存在差异，它的投影条件为：1）正形条件；2）中央子午线投影为一直线；3）中央子午线投影后长度比等于0.9996。（1）选择0.9996长度比可使6°带的中央经线与边缘经线的长度变形的绝对值大致相等；（2）两条无长度变形的线为割线，其位置距中央经线以东以西各180km，相对于中央子午线之经差约±1°40′。UTM投影特点北极点P二、高斯投影的分带1.分带原因、原则及实施分带原因：长度变形离中央子午线越远变形越大，分带有效控制长度变形分带原则：从限制长度变形考虑，带宽越小越好，分带越多越好；但为减少换带计算及换带计算引起的计算误差，又要求分带不宜过多。我国制图分带实施情况：统一分带：国家测图采用六度带和三度带两种带宽统一分带。六度带用于中小比例尺（1:2.5万～1:50万）测图，三度带用于大比例尺（1:1万以上）测图；任意分带：各单位（如矿区、城市）采用3度或1.5度带宽分带，也有0.75度带宽分带，中央子午线取当地平均经度。注意：联合国波恩会议1962年建议采用等角圆锥投影作为1:100万地图的数学基础。1978年我国制定的《1:100万地形图编绘规范》规定我国1:100万地形图投影采用边纬线和中纬线变形绝对值相等的等角割圆锥投影，投影带的划分与国际百万分之一地图的分幅一致。1949年以后我国出版的一些挂图和地图集中常使用等面积割圆柱投影。首子午线第1带0°12°6°央子中午线赤道NS2.统一分带方法分带投影3º带奇数带中央子午线与6º带中央子午线重合3º带偶数带中央子午线与6º带分带子午线重合统一分带效果图3.高斯投影投影带的重迭分带坐标系是独立的，为解决跨带平差问题，相邻带间要有重叠15′和30′分别相当于1:5万和1:10万图幅的经幅；共重叠45′东延30′，西扩15′中国国土南北、东西之经纬度之最新疆帕米尔高原乌兹别里山口附近（73°40′）黑龙江省抚远县乌苏里江汇合处（135°02′30″）黑龙江省漠河镇以北的黑龙江江心（53°31′10″）南海南沙群岛的曾母暗沙（3°52′）61°22′30″我国大陆所处的经度范围是东经73°27′~东经135°09′统一6°带投影与统一3°带投影的带号范围分别为13~23，25~45两种投影带的带号不重复，根据y坐标前的带号可以判断属于何种投影带三、高斯投影直角坐标系分带投影后坐标系及坐标的形成赤道高斯坐标有自然坐标与通用坐标之分自然坐标—投影形成的坐标通用坐标—带号+自然坐标+500km统一分带的相关计算–统一6°带相关计算已知6°带带号N计算中央子午线经度2）已知6°带中央子午线的经度反算带号3)计算任意经度所在投影带的带号公式统一分带的相关计算–统一3°带相关计算1）已知3°带带号n计算中央子午线经度2）已知3°中央子午线经度计算带号3)计算任意经度所在投影带的带号公式商有余数时+16-4高斯投影坐标计算（正反算与邻带换算）

一、高斯投影正算（DirectSolutionofGaussProjection）高斯坐标与大地坐标有关参数间关系1）坐标

2）方位角

3）距离

4）方向，等角，但仍需顾及弧化弦的方向曲率改正1、高斯投影坐标正算公式高斯投影条件：(1)中央子午线投影后为直线，中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。(2)中央子午线投影后长度不变；(3)投影具有正形性质，即正形投影条件。根据上述投影条件，对一具体投影带而言，若在椭球上有以中央子午线对称的两点P1和P2，该两点在带内的大地坐标可表示为和，投影后的平面坐标一定为(x，-y)和(x，y)，这就要求在待定的投影公式中，当B＝常数，以代换时，x值不变号，而y值则变号，亦即下式中，第一式为的偶函数，第二式为的奇函数式(1)高斯投影正算公式的导出因高斯投影是分带式投影，每带内经差不大，因此是一个微小量，所以可将式(1)中的函数展开为经差的幂级数，可写成如下形式：式(2)(1)

式(2)必满足柯西黎曼条件之正算条件按上述条件对式(2)求相应导数，有：（还应考虑单位的转换）上式成立的前提是等式两边系数相等,即显然,求出左列各系数的关键是求定m0,进而可依次定出中央子午线的投影就是时的x坐标值,由式(2)第一式可知,,若中央子午弧长为X,则有:(2)

求第一个系数m1根据高斯投影的第二个条件,投影后中央子午线长度不变,满足此条件就是使投影后的纵坐标x应该等于投影前从赤道量至该点的子午弧长因为：顾及关系式：变换可得：于是有：系数m1也可表示为：式(3)（3）求其它系数式中:系数m2为：同法可求出其它系数（4）将求出的各系数代入式(2)，即下式可得高斯投影正算公式之5次式投影带宽小于,计算精度要求达0.001m时,使用下列6次式高斯投影正算公式的作用：参考椭球高斯平面二、高斯投影反算公式（InverseSolutionofGaussProjection）1.反算过程(x，y)(B，L)，相应地有如下投影方程2.高斯投影反算条件：(1)x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；(2)x轴上的长度投影保持不变；(3)正形投影。3.反算公式的导出1)反算条件分析由投影第一条件可知，由于y值比起椭球半径是一个相对较小的数值，因而可以将大地坐标B及展开成y的幂级数；又由于是对称投影，在此幂级数中，大地纬度B必是y的偶函数，大地经差必是y的奇函数。式(1)式中：n。，n1,n2,…是待定系数，它们都是纵坐标x的函数。由投影的第三条件可知，反算投影必满足柯西-黎曼条件：

式(2)注意到等量纬度的定义3)反算公式建立：投影函数式(1)可写成下面的级数形式：反算投影的柯西-黎曼条件变为：对式(2)求偏导,代入上述柯西-黎曼方程显然求出满足上式的系数是实现反算投影的关键2）求系数要使上式成立,必有同阶幂系数相等,即求出n1的关键是确定nO,由反算投影的第二条件“x轴上的长度投影保持不变”可知:式(3)(1)求在中央子午线上y=0时,x=X,此时对应的F点称为底点，其纬度称为底点纬度，用Bf表示，显然有式Bf已知底点这里的B与原椭球面上P点的纬度B是不相等的no是底点(P点在x轴上的垂足)的纬度Bf，即x＝X时的子午弧长所对应的纬度由于式(3)中所有系数都是x=X的函数,而X=Bf,因此,式(3)中所有系数也都是底点纬度Bf的函数。基于此，若用X代替x，则各阶导数值应冠以字f，以标明是用底点纬度Bf计算的导数值。也可理解为:反算后各点的纬度都是

Bf的函数。于是式(3)中的第一式其中：式(4)故式(4)可理解为对式（4）可这样理解：由于所有系数ni都是Bf的函数,于是有：(2)求（3）其它系数式(5)即有下式存在:由于系数是渐次求定的,即ni+1由ni求出；而式(5)也可写成再顾及进而求得各阶系数根据上述分析，可求得各系数（4）求其它系数求定结果将以上各系数代入式(2)，经整理得

投影带宽小于时,计算精度可达0.0001秒高斯投影坐标正、反算几何解释三、UTM公式高斯正算高斯反算UTM正算UTM反算椭球参数和定位相同四、高斯投影坐标正、反算实用公式(适于电算的公式)1.高斯投影正算公式(适于电算的公式)

经变换可得基于克拉素夫斯基椭球元素的正算公式

式中：基于1975国际椭球参数的正算电算公式：

式中：2.高斯投影反算公式(适于电算的公式)引入符号：

适于克拉索夫斯基椭球基准的反算公式代入克氏参数可得到反算电算公式

基于1975椭球的反算公式代入1975椭球参数可得到反算电算公式

三、高斯坐标的临带换算（ZoneConversionintheGaussProjection）

1.三度带和六度带的邻带换算限制高斯投影长度变形的需要产生了分带问题，分带投影形成各带独立的平面直角坐标系，这种情况下位于相邻两带边缘的点就分属两个坐标系，实际工作中，需将一个带的高斯坐标换算为相邻带的高斯坐标，这种计算称为高斯坐标的邻带换算。三度带和六度带的邻带换算方法东带西带中央子午线中央子午线3度带6度带换带特例当三度带的中央子午线与六度带中央子午线重合时，两带坐标完全相同无需任何转换。5-4第二次归算—椭球面上的方向、长度归算至高斯平面本节内容提要椭球面三角网归算至高斯平面

ReductionofTriangulationNetworkonEllipsoidtoGaussPlane

方向改正ReductionofDirections平面子午线收敛角

GridConvergence坐标方位角的计算

SolutionofGridAzimuth距离改正ReductionofDistance一、椭球面三角网至高斯平面的归算内容1.基本概念回顾真北方向坐标北方向真方位角坐标方位角子午线收敛角N'P1'P2'A12T12Nxoy2.归算内容大地线方向平面弦线方向大地线长平面弦长大地方位角坐标方位角(B,L)(x,y)1）坐标计算：2）方向改正（曲率改正）：将大地线投影曲线方向归算为它的弦线方向。将椭球面三角形的各内角，归算为相应直线组成的平面三角形的各内角。3）距离改正：将大地线长归算为平面弦长所加的改正。4）坐标方位角的计算：将椭球面上的大地方位角，归算为相应投影边的平面坐标方位角。二、方向改正1.改正的内涵：将椭球面上两点间大地线方向归算至其平面上相应投影点间的弦线方向的改正称为方向改正，以δij表示2.改正产生原因：由于大地线投影曲线的弯曲而产生的，其大小和曲线曲率有关，也称曲率改正。3.方向改正的近似公式将椭球近似为球，误差小于0.1秒令

0km481216202428323640100km0.0″1.02.03.04.05.16.17.18.19.110.12000.0″2.04.16.18.110.112.214.216.218.320.33000.0″3.06.19.112.215.218.221.324.327.430.4方向改正较大,对各等三角测量都不能忽略(与“三差”改正不同)4.方向改正的较精密公式较精密公式推导较复杂,略去推导给出改正误差小于0〞.01的较精密公式,适用于平均边长13km，且ym<250km时，一般可用于二等三角网改正计算,推导时仍将椭球近似为球。5.方向改正的精密公式精密公式仍略去推导,改正误差小于0〞.001的较精密公式,可用于一等三角网改正计算。注意：计算方向改正时,三角网尚未完成平差,因而坐标是未知的,公式中需要的计算用坐标叫资用坐标,可用用迭代的方法计算坐标的较精确值以供使用。三、距离改化公式将椭球面上的大地线化算为高斯平面的直线需经下列两步:大地线变平面曲线平面曲线化为平面直线这个过程中距离必产生改正,如图所示1.平面曲线化为平面直线如图所示根据余弦函函数的幂级数展开式,有结论：此项距离化算所产生的改正数极小,可忽略2.大地线化为平面曲线1）将长度比公式具体化椭球面至高斯平面的距离改化决定于长度比，因此需先讨论长度比计算式的具体形式根据长度比定义对高斯投影而言,m恒大于1，长度变形(m-1)恒为正

（1）先导出用大地坐标求m的公式根据前面导出的正形投影长度比公式（2）再导出用高斯投影平面坐标求m的公式根据正算公式的y坐标计算式,在仅考虑主项时有:由高斯投影正算公式,可得代入长度比公式可得用大地坐标求长度比的公式式（1）代入式（1），有2）导出距离改化公式对长度比公式（2）稍作变化即可得距离改正公式式（2）一般计算中取下式做距离改化公式3）长度比的变化规律高斯投影长度变形的规律：

(1)长度比m只与点的位置(B,l)或(x,y)有关，即m只是点位坐标的函数，只随点的位置不同而变化，在一点上与方向无关。这同正形投影一般条件是一致的。

(2)当y＝0(或l＝0)时，亦即在纵坐标轴(或中央子午线)上，各点的长度比m都等于l，也就是说，中央子午线投影后长度不变。

(3)当时，不管为正还是为负，即不管该点在纵坐标轴之东还是之西，由于m是y(或l)的偶函数，故m恒大于1。这就是说，不在中央子午线上的点，投影后都变长了。(4)长度变形(m-1)与成比例地增大对于在椭球面上等长的子午线来说，离开中央子午线愈远的那条，其长度变形愈大而对某一条子午线来说，在赤道处有最大的变形。四、平面子午线收敛角公式

将椭球面大地方位角A改化成平面坐标方位角，必须知道平面子午线收敛角和方向改化角。

1．平面子午线收敛角的定义

在椭球面上的子午线与平行圈线是一对正交法/斜截线，正形投影后,它们的投影线也正交，于是子午线收敛角即为图示的角。注：子午线与卯酉线是正交法截线L=常数B=常数子午线投影平行圈线投影定义2.子午线收敛角的计算1）由大地坐标计算子午线收敛角的公式已知点的大地坐标(B,L),求在平行圈上，B＝常数，即dB＝0，于是对于及可有根据高斯投影正算公式可得

式（1）由公式

可将上式第二式可表示为

代入式（1）可得令tan＝x，根据反正切函数的幂级数展开公式，有

顾及式(2)经整理得由大地坐标L，B计算平面子午线收敛角的公式

式(2)式(3)子午线收敛角与大地坐标关系(1)为的奇函数，而且愈大，也愈大；(2)有正负，的符号与相同；(3)当不变时，随纬度增加而增大。

2）由高斯平面坐标（x，y）计算子午线收敛角的公式由大地坐标计算子午线收敛角公式可知，欲求需先用高斯坐标求定和sinB,cosB(1)已由高斯投影反算公式给出(2)用高斯坐标表示大地纬度的正弦、余弦分析：当已知一点的高斯坐标(x,y)时,即有下列等式存在：

x=X=Bf（还应考虑单位的转换）即已知(x,y)相当于已知Bf，因而Bf是已知条件，求定用高斯坐标表示的sinB、cosB，即是求定用Bf表示的sinB和cosB则有：根据正弦函数的幂级数展开公式:考虑纬度反算公式,即下式：有再求仿求的过程,可得根据余弦函数的幂级数展开公式展开后,有代入已求定的(3)用高斯坐标求子午线收敛角将上述表达式及代入子午线收敛角计算式(3)可得由平面坐标计算子午线收敛角的公式:3)适合于电算的公式对克拉索夫斯基椭球有下列计算子午线收敛角的实用公式对1975国际椭球有下列计算子午线收敛角的实用公式五、坐标方位角的计算如图示，坐标方位角和大地方位角的关系为：注意，大地线在弯曲方向是变化的高斯投影后，中央子午线、赤道投影为直线，分别成为高斯坐标的纵、横轴在的子午线上，所有线段投影后均为曲线，纬度越大，x越大，y越小，投影曲线以x轴对称，且弯向x轴。投影后经、