高中数学北师大版2第五章数系的扩充与复数的引入 第5章

第五章§1一、选择题1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解析：由复数的概念知：若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0成立，故为充分条件；但若a＝0且b＝0时，a＋bi＝0为实数，故不是必要条件．所以复数a＋bi为纯虚数是a＝0的充分非必要条件．答案：A2．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则下列结论中正确的是()A．z对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方 D．z一定是实数解析：t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1∴z的对应点在实轴上方．答案：C3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为A．1 B．1或－4C．－4 D．0或－4解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3a＝a2,－a2＝4a))得a＝－4答案：C4．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O为坐标原点，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|等于()\r(2) B．2\r(10) D．4解析：∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,3)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,3)－(1,1)＝(0,2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.答案：B二、填空题5．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－eq\r(5)，则z＝________________.解析：设z＝－eq\r(5)＋bi(b＞0)，则5＋b2＝9；∴b＝2，∴z＝－eq\r(5)＋2i.答案：－eq\r(5)＋2i6．已知下列命题：①复数a＋bi不是实数；②两个复数不能比较大小；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④若z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；⑤若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑥若a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.其中真命题的个数________________．解析：根据复数的有关概念判断命题的真假．①当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②当两个复数都是实数时，两个复数可以比较大小，两个复数至少有一个是虚数时，两个复数不能比较大小．③当x＝－2时，对应的复数为实数，由纯虚数的条件∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,x2＋3x＋2≠0，))解得x＝2.④没有强调a，b∈R这一非常重要的条件．⑤a＝0时，ai＝0是实数，即0对应的不是纯虚数．⑥没有强调a，b，c，d∈R这一非常重要的条件．故题中6个命题都是假命题．答案：0个三、解答题7．实数x分别取什么值时，复数z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)要使z是实数，必须且只须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0,x2－2x－15＝0))，解得x＝5.(2)要使z为虚数，必须且只须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0,x2－2x－15≠0))，解得x≠－3，且x≠5.(3)要使z为纯虚数，必须且只须eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0,x2－2x－15≠0))，解得x＝3或x＝－2.8．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.解析：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，则|z－1|＝|ai－1|＝eq\r(a2＋1)，又|－1＋i|＝eq\r(2)，由|z－1|＝|－1＋i|得eq\r(a2＋1)＝eq\r(2)，解得a＝±1，因此z＝±i.9．已知点集D＝{z||z＋1＋eq\r(3)i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．解析：点集D的图像为以点C(－1，－eq\r(3))为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝|z|.由图可知，当OP过圆心C(－1，－eq\r(3