华东理工大学概率论与数理统计课件第四章

大数定理：讨论大量随机变量(suíjībiànliànɡ)的算术平均值稳定性的一系列定理中心极限定理(dìnglǐ)：讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理(dìnglǐ)第4章中心极限定理与大数定律精品资料1.中心极限(jíxiàn)定理：概率论中有关论证随机变量(suíjībiànliànɡ)和的极限分布是正态分布(Gauss)分布的一系列定理。

意义:大量的独立同分布的随机变量之和的分布可近似认为是正态分布.

这是数理统计中大样本问题研究的理论基础.精品资料定理1林德贝格-勒维定理(独立同分布中心(zhōngxīn)极限定理)设X1,X2,…,Xn,…为独立同分布序列,期望μ,方差σ2>0,设注以上(yǐshàng)定理表明只要n比较大,就有近似结果:精品资料例1用机器(jīqì)包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概率?解设一箱净重(jìngzhòng)为X,箱中第i袋味精净重(jìngzhòng)为Xi,(i=1,2,…,200)则X1,X2,…,X200独立同分布,EXi=100,DXi=102=100,且由中心极限定理得X近似服从正态分布,EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,所求为P(X>20500)=1-P(X≤20500)=0.0002故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.精品资料例2一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载(chāozài)的概率大于0.9772.解设Xi(i=1,2,…,n)为装运(zhuāngyùn)的第i箱的重量,n是所求的箱数.则

X1,X2,…,Xn独立同分布,EXi=50,DXi=52=25,令由中心极限定理得所以即最多可以装98箱.精品资料定理(dìnglǐ)2若随机变量μn～Ｂ(n,p)(n=1,2,…),则对任意a<b有注:(1)定理称为棣莫佛-拉普拉斯定理.(2)它表示当n很大时,二项分布可用正态分布近似(jìnsì)逼近:即若X~B(n,p),当n很大时,有近似(jìnsì)结果X~N[np,np(1-p)].精品资料定理3(泊松定理)二项概率(gàilǜ)的泊松近似例3:每颗子弹击中飞机的概率(gàilǜ)为0.01,连发500发,求命中5发的概率(gàilǜ).精品资料例4某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,随机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理(dìnglǐ)求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值.解设X表示(biǎoshì)100户中被盗索赔户数,则X~B(100,0.2)由棣莫佛-拉普拉斯定理得：X近似服从正态分布,EX=np=20,DX=np(1-p)=16,所以X~N(20,16)所求P(14≤X≤30)=0.927精品资料精品资料例5某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能(cáinéng)以99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。精品资料例6：某厂有400台同类机器，每台发生故障的概率为0.02，假如各台机器彼此(bǐcǐ)独立，求最多2台机器发生故障的概率。解：精品资料例7：某车间有200台独立工作(gōngzuò)的车床，各台车床开工的概率都是0.6，每台开工车床要耗电1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少千瓦电力，才能以99.9％的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。解：则精品资料查表得精品资料2.大数(dàshù)定律定义设随机变量(suíjībiànliànɡ)序列{Xn},如果存在一个常数列,使得对任意的ε>0，有则称{Xn}服从大数定律.精品资料大数(dàshù)定理切比雪夫大数(dàshù)定理辛钦大数定理伯努利大数定理马尔可夫大数定理泊松大数定理精品资料定理4(马尔可夫大数定律)设{Xn}为独立(dúlì)随机变量序列,且有则对任意的ε>0,有证:精品资料定理(dìnglǐ)5(切比雪夫大数定律)设{Xn}是两两不相关随机变量序列,方差一致有界D(Xn)=σn2<C(n=1,2,...),其中常数C与n无关,则对任意的ε>0,有证:精品资料定理6(泊松大数定律)设每次试验中事件A发生的概率为pk，n次重复独立试验中事件A发生的次数为,事件的频率,则对任意ε>0,有证:精品资料定理7(伯努里利大数定律)设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为，事件的频率有,则对任意ε>0,(伯努里利大数(dàshù)定律是泊松大数(dàshù)定律的特例)意义：Bernoulli大数定理(dìnglǐ)表明当试验次数无限增加时事件A的频率按概率收敛到事件A的概率.这为频率的稳定性提供了理论依据.精品资料定理8(辛钦大数(dàshù)定律)设{Xi}为相互独立的随机变量序列,且有相同期望E(Xi)=u,(i=1,2,...),则对任意的ε>0,有大数定理是参数估计和假设检验的重要理论(lǐlùn)基础.

注意

辛钦大数定理成立的条件中只需的数学期望存在；而当的方差存在时，其即为切比雪夫大数定理的直接推论.精品资料例1.互相(hùxiāng)独立随机变量序列，且

的分布(k=1,2,…),

试证大数定理成立.解：互相(hùxiāng)独立，且满足马尔可夫大数定理精品资料例2.为独立同分布(fēnbù)序列，的概率

分布(fēnbù)为

试证服从大数定律.证：独立同分布，且故满足辛钦大数(dàshù)定律.精品资料例3.独立同分布，

则是否满足(mǎnzú)辛钦大数定理？解：不存在，不满足辛钦大数(dàshù)定理精品资料精品资料应用:用频率代替概率(gàilǜ)时误差的近似估计Bernoulli大数(dàshù)定理:而由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可得精品资料已知某厂生产(shēngchǎn)一批无线电元件,合格品占1/6(1)选出6000个这种元件(yuánjiàn),试问在这6000个元件(yuánjiàn)中,合格品的比例与1/6之差小于1%的概率是多少?(2)选出6000个这种元件,试问误差限定为多少时,才能保证频率与概率之差不大于的概率为0.99?此时合格品数落在哪个范围内?(3)选出多少个这种元件,使选出的这批元件中合格品的比例与1/6的差异不大于