二项分布与超几何分布专题训练

二项分布与超几何分布专题训练一、知识梳理知识点一n重伯努利试验及其特征n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验的共同特征同一个伯努利试验重复做n次.各次试验的结果相互独立.知识点二二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=Cnpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(n,p).知识点三二项分布的均值与方差若X〜B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p).知识点四超几何分布定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为r.P(X=k)=CkMCN-M，k=m，m+1,m+2,其中n,N,MEN*,MWN,nWN,m=max{0,n—N+M},r=min{n,M}r.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.2•均值：E(X)=N・二、题型归纳】考点一：超几何与二项分布概念的辨析【例1-1】下列随机变量中，服从超几何分布的有 .(填序号)在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.【例1-2】下列例子中随机变量E服从二项分布的有 .随机变量E表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数E；有一批产品共有N件，其中M件为次品,采用有放回抽取方法，E表示n次抽取中出现次品的件数(M〈N)；有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，E表示n次抽取中出现次品的件数.【考点精练】一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：X表示取出的最大号码；X表示取出的最小号码；取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；X表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是（）A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④2•下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为XC•某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次，记命中的次数为XD.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X3•下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）某同学投篮的命中率为0・6,他10次投篮中命中的次数£；某射手击中目标的概率为0.9,从开始射击到击中目标所需的射击次数£；从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数£；有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，£表示n次抽取中出现次品的件数A.0B.1A.0B.1C.2D.34•下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（ ）抛掷一枚骰子，所得点数X某射击手射击一次，击中目标的次数XC.从装有除颜色外其余均相同的5C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设X1,取出白球<0,取出红球D.某医生做一次手术，手术成功的次数X考点二：二项分布的均值与方差【例2】•已知随机变量:，耳满足2C+H=9，且匚〜B（8,p）,E（匚）二2，则e（q）,D（q）分别是（ ）A.5,3B.5,6A.5,3B.5,6C.8,3D.8,6【考点精练】(1、1•设随机变量X,Y满足：Y=3X-1,X〜B2,-，则V(Y)=()V3丿A.4 B.5 C.6 D.72•设随机变量B(2,p),q~B(4,p)，若P(£>1)=9，则P(q>2)的值为( )9A.3281cA.3281c65D.16813•已知随机变量X〜B（5,0.2），随机变量Y=5X+10，则（ ）A.E（Y）=5 B.E（Y）=10 C.D（Y）=20 D.D（Y）=30考点三：二项分布【例3】很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12分、6分、3分、2分的新规定设置了一份试卷（满分100分），发放给新手解答，从中随机抽取了12名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所示，并规定成绩低于95分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95分的为合格.687288955667891000（1） 求这12名新手的平均成绩与方差；（2） 将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4名参加座谈会，用X表示成绩合格的人数，求X的分布列与数学期望.【考点精练】影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图.学生视力测试结果6 6 6 7 7 7S12（1） 写出这组数据的众数和中位数.（2） 若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”•从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列.甲、乙二人进行定点投篮比赛，已知甲、乙二人每次投进的概率均为丄，两人各投1次称为一轮投篮.2（1） 求乙在前3次投篮中，恰好投进2个球的概率；（2） 设前3轮投篮中，甲与乙进球个数差的绝对值为随机变量g,求g的分布列与期望.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客

从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟)•将统计数据按［5,10),110,15),［15,20)，…,［35,40］分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立.在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A;从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟的概率；在上班高峰时段，从甲站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.考点四：超几何分布【例4】某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解本次比赛中学生的总体情况,从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示11叶11叶6872 4 6 981391Z(1)分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定?(2)从甲组同学成绩不低于70分的人中任意抽取3人，设X表示所抽取的3名同学的得分在［70,80)的人数，求X的分布列及数学期望.【考点精练】2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行•它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位:分)，绘制成如图所示的茎叶图：~s^r TO高二8 9 8 63612697 6 5 00734 5 7 99 6 11呂0 2 5 7 8 87 7 110913 3 5 89根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级:测试成绩(单位：分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)等级合格中等良好优秀从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记X为抽到高二年级的人数，求X的分布列，数学期望与方差.为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间•将成绩结果按如下方式分成五组：第一组b0,100)，第二组1100,110)，…，第五组1130,140]•按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；若从第一五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.已知袋中装有5个白球，2个黑球，3个红球，现从中任取3个球.求恰有一个白球的方法种数；求至少有一个红球的方法种数；设随机变量X为取出3球中黑球的个数，求X的概率分布及数学期望.考点五：二项分布与超几何分布的综合【例5】袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X,求X的分布列；若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列.【考点精练】某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1道相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题.已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答3这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率均为二，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相4互独立、互不影响的.求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率.设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y),并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5pm的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35pg/m3以下空气质量为一级；在35〜75pg/m3之间空气质量为二级；在75pg/m3以上空气质量为污染•某市生态环境局从该市2021年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)•PM2.5日均值(pg/m 从这15天的数据中任取1天，求这天空气质量达到一级的概率； 从这15天的数据中任取1天，求这天空气质量达到一级的概率； 从这15天的数据中任取3天的数据，记g表示其中空气质量达到一级的天数，求g的分布列和数学期望； 以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况(一年按365天来计算)，则一年中大约有多少天的空气质量达到一级？某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500],…,(510，515].由此得到样本的频285371 4 344563879863925根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.考点六：二项分布与超几何分布与其他知识综合【例6】某企业为检验某种设备生产的零件质量，现随机选取20个零件进行检验，分出合格品和次品•设每个零件是次品的概率为P(0<P<1)，且相互独立.若20个零件中恰有2个次品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p；0若合格品又分为一等品和二等品，每个零件是二等品的概率为是一等品概率的2倍.已知生产一个一等品可获利100元，生产一个二等品可获利30元，生产一个次品会亏损40元，当每个零件平均获利低于20元时，需对设备进行技术升级.当P满足什么条件时，企业需对该设备进行技术升级？【考点精练】某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A,A，A中的一个，每个乙系列盲盒可以开出1 2 3玩偶B1，B2中的一个.记事件E:一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A，A，A玩偶；事件F：—次性购买n个乙系n 1 2 3 n列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率P(三)及P(佇)；某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选2择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为亍，购买乙系1 1 3列的概率为-；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为；，购买乙系列的概率为匚，前3 4 4一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为1，购买乙系列的概率为1；如此往复，记某人第n次22购买甲系列的概率为Q.n求｛q｝的通项公式；n若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.由于“新冠肺炎”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在疫情控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血糖，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多为此社区根据医