《理论力学》4摩擦

静力学摩擦§4–4滚动摩擦的概念§4–3考虑滑动摩擦时的平衡问题§4–2滑动摩擦性质静力学第四章摩擦§4–1滑动摩擦的概念第四章摩擦§4–1滑动摩擦的概念

滑动摩擦的概念滑动摩擦的分类

(1)按二物体接触面间是否有润滑分类干摩擦：由固体表面直接接触而产生的摩擦。湿摩擦：固体表面之间存在某种液体，则这时出现的摩擦。半干摩擦：当润滑油不足时，固体表面将部分保持直接接触，这种在中间状态下出现的摩擦。2.滑动摩擦的分类当一物体沿着另一物体的表面（或接触面）滑动或具有滑动的趋势时，该表面会产生切向阻力的现象称为滑动摩擦，简称摩擦。这个切向阻力称为滑动摩擦力，简称摩擦力。§4–1

滑动摩擦的概念1.滑动摩擦的概念静（滑动）摩擦：仅出现相对滑动趋势而未发生运动时的摩擦。(2)

按二物体接触点（面）之间有无相对速度分类动（滑动）摩擦：已发生相对滑动的物体间的摩擦。摩擦的分类§4–1

滑动摩擦的概念§4–2

滑动摩擦的性质静摩擦力的性质静摩擦力极限摩擦定律动摩擦定律摩擦角、摩擦锥、自锁摩擦力的大小有如下变化范围：0≤F≤FmaxFNGFNGFFPmaxFN=－G极限值Fmax称为极限摩擦力（最大摩擦力）。当推力FP增加到等于Fmax时的平衡称为临界平衡状态。FP=－F摩擦力的方向总是和物体的相对滑动趋势的方向相反。§4–2

滑动摩擦的性质1.静摩擦力的性质

静摩擦力的最大值Fmax与物体对支承面的正压力或法向反作用力FN

成正比。即：

Fmax=fs

FN

fs

:

静摩擦因数2.静摩擦力极限摩擦定律动摩擦力的方向总是和物体的相对滑动的速度方向相反。动摩擦力Fd与物体对支承面的正压力或法向反作用力FN

成正比。即：

Fd

=fdFNfd

:

动摩擦因数3.动摩擦定律§4–2

滑动摩擦的性质摩擦角

全反力FFNFR全反力

FR=FN+F最大全反力FR对法向反力FN的偏角f。FmaxFNFRmf最大全反力

FRm=FN+Fmax4.摩擦角、摩擦锥、自锁由此可得重要结论：摩擦角的正切=静摩擦系数摩擦角最大全反力FRm对法向反力FN的偏角f。FmaxFNFRmf最大全反力

FRm=FN+Fmax§4–2

滑动摩擦的性质以支承面的法线为轴作出的以2f

为顶角的圆锥。摩擦锥§4–2

滑动摩擦的性质性质：当物体静止在支承面时，支承面的全反力的偏角不大于摩擦角。

摩擦锥的性质摩擦角更能形象的说明有摩擦时的平衡状态。物体平衡时有0≤F≤Fmax则有0≤

≤f所以物体平衡范围0≤F≤Fmax也可以表示为0≤

≤f。≤≤§4–2

滑动摩擦的性质●两个重要结论①如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。FPFRf这种现象称为自锁。§4–2

滑动摩擦的性质②如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦锥外，则不论这个力多小，物体都不能保持平衡。FPFRf●两个重要结论§4–2

滑动摩擦的性质利用摩擦角测定静摩擦系数§4–2

滑动摩擦的性质螺旋千斤顶§4–2

滑动摩擦的性质斜面自锁条件GαFNFGsinα

≤fsGcosα由

F≤Fmax=fsFN平衡时F=Gsinα,FN=Gcosαα≤f≤§4–2

滑动摩擦的性质§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题临界平衡状态分析非临界平衡状态分析1.

临界平衡状态分析

●应用Fmax=fsFN

作为补充方程。

考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。●根据物体的运动趋势来判断其接触处的摩擦力方向，不能任意假设。在许多情况下其结果是一个不等式或范围。§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题两种情况考虑摩擦时的平衡问题的分析与前面相同。但要特别注意摩擦力的分析，其中重要的是判断摩擦力的方向和大小。两种情况2.非临界平衡状态分析（平衡范围分析）●应用F≤fs

FN

作为补充方程。●当物体平衡时，摩擦力F和支承面的正压力FN彼此独立。

摩擦力F的指向可以假定，大小由平衡方程决定。§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题2.列平衡方程。

1.取物块A为研究对象，受力分析如图。解:yAxαGFFNFsαAF§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-1例4-1小物体A重G=10N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4N的力,α=30°，试求作用在物体上的摩擦力。例题

4-13.联立求解。最大静摩擦力yAxαGFFNFs因为所以作用在物体上的摩擦力为§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-1物体不再处于平衡状态，将水平向右滑动。若

fs

=0.2,动摩擦因数

fd=0.19。求作用在物体上的摩擦力。由得比较得作用在物体上的动摩擦力为yAxαGFFNFs§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-1

讨论αGF取物块为研究对象。

1.设F值较小但仍大于维持平衡的最小值Fmin，受力分析如图。列平衡方程解:αGFFsyxFN

例4-2在倾角α大于摩擦角f

的固定斜面上放有重G的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。试求这力容许值的范围。§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-2例题

4-2联立求解得αGFFsyxFN将代入上式得≤≤在平衡范围内所以解得使物块不致下滑的F值≤≥（a）≥§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-2

2.设F

值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax，

受力分析如图。αGFFNFsxy联立求解列平衡方程在平衡范围内所以≤≤≤§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-23.综合条件（a）和（b），得所求为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上所作用水平力F的容许值范围αGFFNFfxy≤≤解得使物块不致上滑的力F值将代入上式得≤（b）≤§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-2≤hdBAFx§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-3例4-3一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数fs

=0.25。问作用于支架的主动力F

的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。例题

4-32.列平衡方程。3.联立求解。

1.取支架为研究对象,受力分析如图。解析法解:FAFNBFNAABCFxxyhOFB补充方程§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-3支架受力分析如图所示。由几何关系得解得几何法FDFRBFRAABCxfh1h2f§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-3例4-4

图示匀质木箱重G=5kN，它与地面间的静摩擦因数

fs

=0.4。图中h=2a=2m，α

=30°。（1）问当D处的拉力F=1kN时，木箱是否平衡？（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。haαADGF§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-4例题

4-4解:因为

Ff<Fmax

，所以木箱不滑动。解方程得取木箱为研究对象，受力分析如图。（1）不发生滑动，即Ff≤Fmax=fsFN

。木箱与地面之间的最大摩擦力为hdaαADGFfFNF列平衡方程

1.判断木箱是否平衡§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-4又因为d=0.171m>0

，所以木箱不会翻倒。解方程得（2）不绕点A翻倒，即

d>0

。hdaαADGFfFNF§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-4

2.求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界时的最小力F。列平衡方程解得木箱发生滑动的条件为

Ff=Fmax=fsFN木箱绕A点翻倒的条件为d=0，则F=F翻=1443N由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为hdaαADGFfFNF§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-4列平衡方程解得补充方程

Ff=Fmax=fsFNhaαADGFfFNF也可以如下分析：(1)木箱有向左滑动趋势§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-4

讨论列平衡方程解得F=F翻=1443N由于F翻<F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为haαADGFfFNF(2)木箱处于绕A点翻倒的临界平衡状态§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-4§4–4

滚动摩阻的概念滚动摩阻的定义滚动摩阻性质与产生原因滚动摩阻定律ARO当一物体沿着另一物体的表面滚动或具有滚动的趋势时，除可能受到滑动摩擦力外，还受到一个阻力偶的作用。这个阻力偶称为滚动摩阻。

2.滚动摩阻性质与产生原因FPFfWFNWAROFPW，FN组成阻止滚动的力偶，即滚阻力偶

Mr。由平衡条件得W=－FN

，Ff=－FPAOFRWFPdFfFN§4–4滚动摩阻的概念1.滚动摩阻的定义AOMrFfFNWFPMr=FNdMr,max=FNδWAROFPAOFRWFPdFfFN滚动摩阻性质§4–4滚动摩阻的概念

3.滚动摩阻定律

实验表明：滚动摩阻力偶矩具有极限值Mr,max，力偶矩一旦增大到超过Mr,max，滚子就不能保持平衡。

滚阻力偶矩的极限值（最大值）可表示为

Mr,max=FNδδ称为滚阻系数，具有长度量纲。它与滚子以及支承面的材料、硬度等物理因素有关。AOMrFfFNWFPWAROFPAOFRWFPdFfFN§4–4滚动摩阻的概念αFHArOαFHAOαMr,maxGFFNyx

1.取轮子为研究对象,受力分析如图。解:§4–4滚动摩阻的概念

例题

4-5例4-5匀质轮子的重量G=3kN，半径r=0.3m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成α=30°的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数δ=0.05

cm，试求力FH的大小。例题

4-52.列平衡方程。3.联立求解。补充方程αFHAOαMr,maxGFFNyx§4–4滚动摩阻的概念

例题

4-5WAROFP1.取轮子为研究对象。2.受力分析如图。例4-6匀质轮子的重量W=10kN，半径R=0.5m；已知轮子与地面的滚阻系数δ=0.005m，摩擦因数fs=0.2，问轮子是先滚还是先滑？通过比较达到临界滑动和临界滚动所需的水平力来判断。解:AOMr,maxFfFNWFP

例题

4-6§4–4滚动摩阻的概念例题

4-6例题

4-63.列平衡方程。讨论滑动：临界时Ff=Fmax=fsFNFP1=Ff=fsFN=fsW

=0.2

×10=2kN讨论滚动：临界时Mr=Mr,max=δFN比较可知先滚动。AOMr,maxFfFNWFP

例题

4-6§4–4滚动摩阻的概念轮子只滚动而不滑动的条件临界时

FP2≤FP1

FP1=Ff=fsFN=fsW即实际上所以轮子一般先滚动。AOMr,maxFfFNWFP

例题

4-6§4–4滚动摩阻的概念

讨论1.向左滚动趋势。2.向右滚动趋势。3.滑动趋势。例4-7匀质轮子的重量W=300N，由半径R=0.4m和半径r=0.1m两个同心圆固连而成。已知轮子与地面的滚阻系数δ=0.005m，摩擦因数fs

=0.2，求拉动轮子所需力FP的最小值。轮子可能发生的三种运动趋势：解:WArOFPR

例题

4-7§4–4滚动摩阻的概念例题

4-7列平衡方程1.轮不滑动，处于向左滚动的临界状态。WArOFPRMr,maxFFN临界时

Mr=Mr,max=δFN解得Mr,max=δFN=1.5

N﹒m负值说明轮不可能有向左滚动的趋势。

例题

4-7§4–4滚动摩阻的概念列平衡方程WArOFPRMr,maxFFN临界时

Mr=Mr,max=δFN解得Mr,max=δFN=1.5

N﹒m2.轮不滑动，处于向右滚动的临界状态。此时滑动摩擦力为

例题

4-7§4–4滚动摩阻的概念轮子向右滚动。此时静摩擦力达到最大值F=Fmax=fsFN=fsW=60N远远大于滚动所需的力FN值。所以拉动轮子的力最小值FN

=5N。3.轮处于滑动的临界状态。WArOFPRMr,maxFFN

例题

4-7§4–4滚动摩阻的概念例4-8制动器的构造和主要尺寸如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮转动所必需的力F1。OABCabcRO1rF1G

例题

4-8§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-8O1CFfFNFFO1xFO1y

1.取鼓轮为研究对象，受力分析如图。解:列平衡方程解方程得OABCabcRO1rF1G

例题

4-8§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题2.取杠杆为研究对象，受力分析如图。OABCabcRO1rF1GAOF1FOxFOyB

例题

4-8§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题列平衡方程由于补充方程≤解方程可得或≤≤得≤代入式(d)得≤所以≥≤AOF1FOxFOyB

例题

4-8§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例4-9长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为G的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角α。αlaABG

例题

4-9§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题例题

4-9

以梯子AB为研究对象，人的位置用距离a表示，梯子的受力如图。解：使梯子保持静止，必须满足下列平衡方程（a）（b）（c）由式（b）和（c）得yαlaABxFFNAGFNB同时满足条件（d）≤由式（a）和（d）得≤≤或（e）≤

例题

4-9§4–3

考虑滑动摩擦时的平衡问题因

0≤a≤l，

当a=l

时，式（e）左边达到最大值。