2022年吉林省四平市公主岭第二中学高三数学文月考试题含解析

2022年吉林省四平市公主岭第二中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，点在上，且，点是的中点，若，，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.已知函数f(x)＝e2x+ex+2-2e4，g(x)＝x2-3aex，集合A＝{x|f(x)＝0}，B＝{x|g(x)＝0}，若存在x1∈A，x2∈B，使得|x1-x2|＜1，则实数a的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知函数（为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是（

）参考答案：D略4.函数的最小正周期是A.

B.

C.2π

D.4π

参考答案：B函数，所以周期为，选B.5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(

)

参考答案：D略6.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论中错误的是A.

B.三棱锥的体积为定值C.

D.异面直线所成的角为定值参考答案：D7.若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】特称命题．【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【解答】解：由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+a（y﹣2ex）ln=0，即2+a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：C8.函数处的切线方程为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（

）种．A

4

B6

C

8

D16参考答案：C.解析：设，即．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且与只能同为偶数，因此对应的方程组为故共有8组不同的值：；．10.已知为等差数列，，则等于

A.-1

B.1

C.3

D.7参考答案：B解析：∵即∴同理可得∴公差∴.选B。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.()m的展开式中各项系数的和为256，则该展开式的二项式系数的最大值为．参考答案：6【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为．【解答】解：由题意可得：令x=1，则（5﹣1）m=256，解得m=4．该展开式的二项式系数的最大值为=6．故答案为：6．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.设集合，如果满足：对任意，都存在,使得，那么称为集合的一个聚点，则在下列集合中：（1）；（2）;(3);(4)，以为聚点的集合有

（写出所有你认为正确的结论的序号）．参考答案：（2）（3）略13.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷：“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目，3个3个数，剩2个，5个5个数，剩3个，7个7个数，剩2个，问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有

个．参考答案：23【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23，或者105k+23（k为正整数）．∴这堆物品至少有23，故答案为：23．【点评】本题考查的是带余数的除法，简单的合情推理的应用，根据题意下求出15、21、70这三个数是解答此题的关键，属于中档题．14.若关于的方程的两实根，满足，则实数的取值范围是。参考答案：略15.已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．参考答案：16.已知是一个公差大于0的等差数列，且满足，令，记数列的前n项和为，对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值是__________。参考答案：10017.在ΔABC中，3sinA=4sinB=6sinC，则cosB=____________参考答案：试题分析：因为，由正弦定理可得，令，则，由余弦定理可得.考点：正弦定理和余弦定理.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分13分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，需切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值，其举办商在赌石游戏中设置了甲乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为，赌中后可获得30万元；未赌中则没有收获，每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额.（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为(单位：万元)，若的概率为，求的大小；（2）若收藏者张先生李先生都选择赌石规则甲或赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累积得到的金额的数学期望最大？参考答案：（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为，收藏者李先生赌中的概率为，且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为（单位：万元）”的事件为，则事件的对立事件为“”．因为，所以，求得．………6分（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为，都选择规则乙赌中的次数为，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为，选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为．由已知可得，，，所以，，从而，．若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得．综上所述，当时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等.………13分19.（本小题满分16分）已知数列的首项为，前项和为，且有，．（1）求数列的通项公式；（2）当时，若对任意，都有，求的取值范围；（3）当时，若，求能够使数列为等比数列的所有数对．参考答案：（1）当时，由解得，当时，，所以，即，又因为，综上，有，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．

4分（2）当时，，此时为等差数列；当时，为单调递增数列，且对任意，恒成立，不合题意；6分当时，为单调递减数列，由题意知得，且有，解得．综上的取值范围是．

10分（3）因为，，所以，由题设知为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是．

16分（或通过的前3项成等比数列先求出数对，再进行证明）20.已知椭圆的右焦点在圆上，直线交椭圆于两点.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设点关于轴的对称点为，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：(Ⅰ)由题设知，圆的圆心坐标是，半径是，

故圆与轴交与两点，.-------------------------1分所以，在椭圆中或，又，所以，或(舍去，因为).---------------------3分于是，椭圆的方程为.--------------------------4分(Ⅱ)因为、

联立方程，所以，.------------------7分因为直线的方程为，令，略21.已知正实数a，b，c，函数f（x）=|x+a|?|x+b|．（Ⅰ）若a=1，b=3，解关于x的不等式f（x）+x+1＜0；（Ⅱ）求证：f（1）f（c）≥16abc．参考答案：【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）原不等式等价于|（x+1）（x+3）|＜﹣x﹣1?x+1＜（x+1）（x+3）＜﹣x﹣1，即可得出结论；（Ⅱ）利用基本不等式与不等式的性质证明f（1）f（c）≥16abc．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等价于|（x+1）（x+3）|＜﹣x﹣1?x+1＜（x+1）（x+3）＜﹣x﹣1?x∈（﹣4，﹣2），∴解集为（﹣4，﹣2）（Ⅱ）∵a，b，c为正数，所以有∴22.已知函数，设是的导数，.(1)求的值；(2)证明：对于任意，等式都成立.参考答案：（1）0；（2）见解析【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：，然后两边求导后，根据条件两边再求导得：，把代入式子求值；（2）由（1）得，和，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后把代入所给的式子求解验证．【详解】（1）∵，∴，则两边求导，，∵为的导数，，∴，两边再同时求导得，，将代入上