测量结果的质量评价和不确定度-上-PP97-2003-20150830修改版

测量数据评价测量不确定度评定、表达与应用(一)2015.09.武汉.中国计量科学研究院培训中心一、测量结果质量的评价，测量结果不确定度的评估及表达二、测量结果不确定度在合格评定中的应用三、不确定度评估的蒙特卡洛方法简介

测量结果质量的评价测量不确定度评估与表达主要内

容一、测量不确定度概念的产生和发展二、测量不确定度评估的规范要求三、基本术语四、测量与测量误差五、随机变量及其慨率分布六、测量结果的质量评价七、测量结果不确定度的评估八、测量不确定度的应用与表达一、测量不确定度概念的产生和发展1.对测量结果的质量进行评价，是与经济贸易、科学技术向深度和广度的发展相适应的。

■测量结果的确认中；■测量结果的实验室比对、能力验证中；■测试方案策划、测试方法认证，等。2.对测量质量及其评价方法的基本要求■同一个或同一类被测量的测量结果应：

准确；可靠；可以互相比较。■对测量质量的评价应：方式一致、易于理解、可以操作。

3.测量结果的两种不同评价方法⑴.测量结果的误差评定方案

误差定义的概念化，误差结果是估计值；确定性误差和随机性误差可能同时存在，但两者性质各异、测度不同，其综合存在数学上的难题。⑵.测量结果的不确定度评定方案

将测量结果的正确性和分散性分开来讨论，用测量结果的不确定度来作为测量质量的表征。该方案的评价方法具有四个特点：

--

具有普遍适用性

适用于各种测量领域和各种准确度等级的测量。

--具有内部协调一致性

测量的质量表征可以从对测量结果有影响的分量中导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分解为下一级分量无关。

--具有可传播性

当将一个测量结果用于下一个测量时，前者的质量表征可作为后者的测量结果质量表征的分量。

--具有实用性

在诸如工业、商业以及与健康或安全有关的某些领域中，往往要求提供较有具有高置信概率的测量结果散布的区间。该评价方法能够方便地给出这样的区间及相应的包含概率。测量结果的不确定度评定方法夲身也有一个深化和发展的过程认识的求同存异，包括国际和国內；方法的逐步细化和统一；实际运用的推广；

测量不确定度的应用和规范化表示，标志着我国计量事业发展的水平。依据ISO/IEC指南制定的JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》，颁布至今已有十余年时间，对全国范围内使用和评定测量的不确定度，尤其在计量标准的建立、计量技术法规的制定、计量校准证书的发布和量值的国际比对等方面起到了重要的指导和规范作用，使我国计量测试领域对测量结果的表述与国际接轨，对科学技术交流、商贸交易、计量证书互认等方面起到了积极的作用。4.国际和国內规范的趋同▲国际标准

ISO/IECGuide98测量不确定度及其第三部分

ISO/IECGuide98-3-2008《测量不确定度表示指南》(GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement)，简称GUM。

GUM方法是当前国际通行的观点和方法，其作用在于可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。ISO/IECGuide99:2007International

Vocabularyof

Metrology——BasicandGeneralConceptsandAssociatedterms

(VIM）

《国际计量学词汇——基础通用的概念和相关术语》

VIM第三版ISO3534-1-1993

StatisticsVocabularyandSymbolsPart1：ProbabilityandGeneralStatiaticalTerms

《统计学术语和符号--第一部分：概率和通用统计学术语》▲国家计量规范

JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的修订版本：JJF1059-2012

包括：

JJF1059.1-2012

《测量不确定度评定与表示》

JJF1059.2-2012《用蒙特卡洛法评定测量不确定度》

JJF1059.3-2012《测量不确定度在合格评定中的使用原则》▲国家计量规范JJF1001-2011

JJF1001-2011《通用计量术语及定义》▲GJB/T3756：1999《测量不确定度的表示与评定》；▲GB/

T

27411-2012《检测实验室中常用不确定度评定方法与表示》；▲GB/Z

22553-2010《利用重复性、再现性和正确度的估计值评估不确定度的指南》ISO/TS21748：2004，IDT。二、测量不确定度评估的规范要求

1.ISO/IEC17025:2005

《检测与校准实验室能力的通用要求》○实验室应建立测量不确定度的评估程序，规定计算方法○校准实验室：实施的所有校准项目均应报告校准结果的不确定度○检测实验室：要掌握评估程序和方法;用户要求或实施重要检测时要报告

2.

CNAS-CL01：2006《检测与校准实验室能力的认可准则》

CNAS-CL07：2011《测量不确定度的要求》○应确定检/校设备用于测量时对结果不确性的影响○检测实验室对每个适用的典型试验均应有不确定度评定实例；应有能力对每一项有数值要求的测量结果进行测量不确定度评估。3.

CNAS-CL系列准则文件

○CNAS-CL07：2011《测量不确定度的要求》（2011年第二次修订），2011年11月1日发布，2011年11月1日实施。○CNAS-CL05：2011《测量不确定度评定实施指南》

2011年02月15日发布，2011年05月01日实施。○

CNAS-CL06：2006《量值溯源要求》

○CANS

GL06：2006

《化学分析中不确定度的评估指南》欧州化学工作者联合会(EURACHEM)和化学介析与国际溯源合作组织(CITAC)

《分析测量中的不确定度评估》指南H3第二版，IDT。

○

CNASGL27：2009

《声明检测或校准结果及与规范符合性的指南》

三、基本术语1.

测量:measurement

通过实验获得可合理赋予某量一个或多个量值的过程。注：①测量不适用于标称特性。标称特性：不以大小区分的现象、物体或物质的特性。如人的性别，油漆的颜色，多肽中氨基酸的序列，等。不要混淆标称特性值与标称量值。②测量意味着量的比较并包括实体的计数。

③测量的先决条件是对与测量结果预期用途应适应的量的描述、测量的程序以及根据规定测量程序(包括测量条件)进行操作的经过校准的测量系统。

JJF1001-1998

测量：以确定量值为目的的一组操作。

注：①操作可以是自动地进行的。②测量有时也称计量。2.

量值

valueofaquantity

VIM

1.19

用数和参照对象一起表示的量的大小。

注：①根据参照对象的类型，量值可表示为：一个数和一个测量单位的乘积；量纲为一或测量单位为1时，通常只写出数；一个数和一个作为参照对象的测量程序；一个数和一个标准物质。②数可以是复数，如(7+j3)Ω。例：

●15kg，l0s，一40℃；

5.34m或534cm；质量摩尔浓度：1.76

mmol/kg；●某玻璃样品折射率：1.52；某质量分数：3μg

/

kg或3×10-9；●43.5HRC，3.4马赫(速度)，12g(重力加速度)；●某物质的量浓度：50国际单位/I

(世卫组织国际标

准80/552)；等。

3.被测量

measurand

(

JJF1001-2011)

拟测量的量。

●被测量应相应于所需的准确度进行完整的定义，以便对与测量有关的所有的实际用途来说，其值是单一的。●JJF1001-1998被测量定义为：“作为测量对象的特定量”，

ISO/IECGuide98-3：2008中定义为“受到测量的特定量”，新的定义使概念更加明确。●测量涉及测量系统和实施测量的条件，它们可能会改变研究中的现象、物体或物质，使得实际受到测量的量可能不同于定义的要测量的被测量，以至于必须经过修正才能得到拟测量的量值。4.

量的真值

【VIM2.21】truequantityvalue,truevalueofquantity

简称真值（truevalue）

与量的定义一致的量值

注：1在描述关于测量的“误差方法”中，认为真值是唯一的，实际上是不可知的。在“不确定度方法”中认为，由于定义本身细节不完善，不存在单一真值，只存在与定义一致的一组真值，然而，从原理上和实际上，这一组值是不可知的。另一些方法免除了所有关于真值的概念，而依靠测量结果计量兼容性的概念去评定测量结果的有效性。

2在基本常量的这一特殊情况下，量被认为具有一个单一真值。3当被测量的定义的不确定度与测量不确定度其他分量相比可忽略时，认为被测量具有一个“基本唯一”的真值。这就是GUM和相关文件采用的方法，其中“真”字被认为是多余的。

JJF1001-1998原注：①量的真值只有通过完善的测量才有可能获得。②真值按其本性是不确定的。③由于定义本身细节的不完善，与给定的定义一致的值不一定只有一个。5.约定量值

【VIM2.12】conventionalquantityvalue

又称量的约定值（conventionalvalueofaquantity）

简称约定值（conventionalvalue）

对于给定目的，由协议赋予某量的量值。注：1有时将术语“约定真值”用于此概念，但不提倡这种用法。2有时约定量值是真值的一个估计值。3约定量值通常被认为其有适当小（可能为零）的测量不确定度。例：①标准自由落体加速度(以前称标准重力加速度)

gn

=9.806

65

m2s-1②常数委员会CODATA推荐的约瑟夫逊常量：KJ-90=483

597.9

GHzV-1，阿伏加德罗常数：NA=

6.022

136

7×1023mol-1，③给定质量标准的约定量值m

=

100.00347g在实验室比对中，经常取某量多次测量结果的平均值作为其约定量值，或取参考实验室的测得值为约定量值。

6.测得的量值measurementquantityvalue

又称量的测得值，简称测得值。代表测量结果的量值。注：⒈对于有重复示值的测量，每个示值可提供相应的测得值。用这一组独立的测得值可以计算出作为结果的测得值，如平均值或中位值，通常它附有一个已减小了的与其相关联的测量不确定度。⒉当认为代表被测量的真值范围与测量不确定度相比小得多时，量的测得值可认为是实际唯一真值的估计值，通常是通过重复测量获得的各独立测得值的平均值或中位值。

⒊当认为代表被测量的真值范围与测量不确定度相比不太小时，被测量的测得值通常是一组真值的平均值或中位值的估计值。⒋在测量不确定度表示指南(GUM)中，对测得的量值使用的术语有“测量结果”和“被测量的值的估计”或“被测量的估计值”。

●“测量值”术语比较模糊，未表明待测的、被测的还是已测得的，所以现在用术语“测得值”表示测量得到的值。●通常，当测得值附有测量不确定度及有关信息时才称为测量结果。

7.

测量结果measurement

result，resultofmeasurement

与其它有用的相关信息一起赋予被测量的一组量值。注1

测量结果通常包含这组量值的“相关信息”，诸如某些可以比其他方式更能代表被测量的信息。它可以概率密度函数（PDF）的方式表示。

测量结果在未实施测量前，是一个随机变量；实施测量后，测量结果的这组量值是该随机变量总体的一个样本。注2：测量结果通常表示为单个测得的量值和一个测量不确定度。对某些用途，如认为测量不确定度可忽略不计，则测量结果可表示为单个测得的量值。在许多领域中这是表示测量结果的常用方式。注3：在传统文献和上一版VIM中，测量结果定义为赋予被测量的值，并按情况解释为平均示值、未修正的结果或已修正的结果。8.

影响量influencequantity

(JJF1001：2012)

在直接测量中不影响实际测量的量，但影响示值与测量结果之间关系的量。例：

a)用安培计直接测量交流电流恒定幅度时的频率；

(安培计对频率的响应特性将影响电流示值)；

b)在直接测量人体血浆中血红蛋白浓度时，胆红素物质的量浓度

(测量仪器的波长分辨力不足)；

c)用于测量某杆长度的测微计的温度

(测微计长度示值的温度特性)；测微计的温度并不是该被测杆本身的温度，杆的温度可以进入被测量的定义中。d)测量物质的量分数时，质谱仪离子源的本底压力。(质谱仪的测量量程的有效范围)注：1.间接测量涉及各直接测量的合成，每项直接测量都可能受到影响量的影响。2.在GUM中“影响量”是按VIM第2版定义的，它不仅包括影响测量系统的量，也包括影响实际测量的量。并且在GUM中不受直接测量的限制。

【理解】

⑴.影响量不是被测量。⑵.针对直接测量，影响量将导致其测量结果的偏差和分散。⑶.按JJF1001：2011定义，影响量不影响实际的被测量；而

GUM和VIM第2版定义影响量不仅包括影响测量系统的量，也包括影响实际测量的量。这只一个归并方式的差异问题。无论归到那里，影响量导致的测量结果的偏差和分散都应考虑。

JJF1059.1-2012术语中未直接引入术语“影响量”。

⑷.

影响量既可以是输入量

(直接测量量)的不确定性的来源，也可以作为间接测量中的输入量，直接导致测量输出量(最终测量结果)的不确定性。9.

参考量值

referencequatityvalue

简称参考值。用作与同类量的值作比较的基础的量值。注:①参考量值可以是被测量的真值，这种情况下它是未知的；也可以是约定量值，这种情况下它是已知的。②带有测量不确定度的参考量值通常由以下参照对象提供：

a).一种物质，如有证标准物质；

b).一个装置，如稳态激光器；

c).一个参考测量程序；

d).与测量标准的比较(结果)。四、测量与测量误差1.测量仪器[计量仪器]measuringinstrument

单独地或连同辅助设备一起用以进行测量的器具。2.

实物量具materialmeasure

使用时以固定形态复现或提供给定量的一个或多个己知值的器具(如:砝码、量块、标准电阻、标准信号发生器、标准物质等)。3.

测量设备

measuringequipment

测量仪器、测量标准、参考物质、辅助设备以及进行测量所必需的资料的总称

4.测量系统

measuringsystem

组装起来以进行特定测量的全套测量仪器和其他设备。

注：

①测量系统可以包含实物量具和化学试剂。②固定安装着的测量系统称为测量装备。

例：(a)测量半导体材料电导率的装置；

(b)校准体温计的装置。

5.

测量范围(工作范围)measuringrange

测量仪器的误差处在规定极限内的一组被测量的值。○应注意其与标称范围----量程的区别6.

标称值

nominalvalue(标注在)测量仪器上表明其特性或指导其使用的量值，该值为(经修约取整后的)园整值或近似值。

○往往是通过与标准器比对所确定的近似值。○单值实物量具，标称值就是指量具本身所复现的值(示值)。○多值或多刻度的测量仪器，标称值通常指其满刻度值(总标称值)。

7.

测量准确度accuracyofmeasurement

被测量的测得值与其真值之间的一致程度。注：①概念“测量准确度”不是一个量，不给出有数字的量值。当测量提供较小的测量误差时就说测量是较准确的。准确度是一个定性概念。②术语“测量准确度”不应与“测量正确度”、“测量精密度”相混淆，尽管它与这两个概念有关。③测量准确度有时被理解为赋予被测量的测得值之间的一致程度。

8.测量正确度truenessofmeasurement

无穷多次重复测量所得量值的平均值与一个参考量值间的一致程度。注：①测量正确度不是一个量，不能用数值表示。②测量正确度与系统测量误差有关，与随机测量误差无关。③术语“测量正确度”不能用“测量准确度”表示，反之亦然。9.测量精密度measurementprecision

简称精密度(precision)在规定条件下，对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度。

是在规定条件下，测量结果分散性的表征。注：①测量精密度通常用不精密程度以数字形式表示，如在规定测量条件下的标准偏差、方差或变差系数。②规定条件可以是重复性测量条件、期间精密度测量条件、复现性测量条件。③测量精密度用于定义测量重复性、期间测量精密度或测量复现性。④术语“测量精密度”不能用于指“测量准确度”，这是错误的。10.测量误差

measurementerror

测量误差简称误差。

测得的量值减去参考量值。

●实际上参考量值是存在不确定度的，获得的是测量误差的估计值。●从概念上说，理想的测量误差是测得值偏离真值的程度，而测量误差的估计值是测得值偏离参考量值的程度。●测量中的过错常称为“粗大误差”或“过失误差”，它不属于定义的测量误差的范畴。11.

测量仪器的准确度

accuracyofameasuringinstrument

测量仪器给出接近于真值的响应的能力。注：测量仪器准确度是定性的概念

如:一等标准电阻;0.2级电压表;0级量块;Ⅲ级秤等。

12.测量仪器的准确度等级

accuracyclassofameasurementstandard在规定工作条件下，符合规定的计量要求，使测量误差或仪器的不确定度保持在规定极限内的测量仪器或测量系统的等别或级别。注:①准确度等级常用约定的数字或符号表示。②准确度等级也适用于实物量具。■准确度等级的划分主要依据是测量仪器的最大允许示值误差，有时还要考虑其他计量特性指标的要求。准确度等级是测量仪器最具概括性的特性。■“级”根据仪器示值误差的允许范围来确定，表示示值误差的档次。“等”根据仪器的测量扩展不确定度来确定，表明测出的实际值扩展不确定度的档次。等和级的区别通常约定为：测量仪器示值不加修正值使用的分为级；测量仪器示值加修正值使用的分为等。有时计量标准器分为等，而同类的工作计量器具分为级。■通常在相应的技术标准、计量检定规程或有关技术规范等文件中，会具体规定准确度等级的标识符号，划分准确度等级的各项有关计量性能的要求及其允许的误差范围。■不以等级划分准确度档次的测量仪器，常用最大允许误差(mpe)作为准确度的标识。而知道测量仪器的等别、级别，也就可以知道该器具测量结果的最大允许误差。

如按“等”划分档次的测量仪器，其mpe≈±(3/2)U95或mpe≈±U99。■要注意区分测量仪器的准确度和测量结果的准确度的差异。仪器的准确度等级只是确定了在参考条件下，测量仪器本身的误差的允许极限，并不等于用于实际测量时，该仪器所得结果的准确度指标。■仪器的准确度等级标识符号只是一种表达形式，等级的划分常用示值的最大允许误差、引用误差、最大允许误差等一系列有数值内涵的定量来表达。●“级”(class)，示值不加修正值使用。如：拉力/压力万能试验机、材料试验机、工作测力仪、扭矩板子、砝码、压力表、真空表、电流/电压表、绝缘电阻表、流量计、滴定管、钢卷尺、X射线测厚仪、非自动秤、转速表、生化分析仪、光照度计等；●“等”(order、grade

)，示值加修正值使用。如：量块、活塞式压力计、标准电阻等。

参见李慎安《测量不确定度百问》第九章“常用测量仪器不确定度评定”

-中国计量标准出版社●准确度等级的划分示例电工仪表按其最大允许引用误差划分为：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0七级。表示这些仪表以示值范围的上限(满刻度值)为引用值的最大引用误差为±0.1%FS，….，±5%FS等。称重传感器以最大允许误差划分准确度等级。如准确度代号为B级的称重传感器，当施加的负荷m处于0≤m≤5000ν时，其最大允许误差为0.35

ν。百分表以示值的最大允许误差分为0，1，2三级；

标准水银温度计以示值的最大允许误差分为一等、二等。13.仪器的测量不确定度instrumental

measurementuncertainty

由所用的测量仪器或测量系统引起的测量不确定度的分量。

注：1.除原级测量标准采用其他方法外，仪器的不确定度是通过对测量仪器或测量系统的校准得到。2.仪器不确定度对测量结果的影响通常按B类测量不确定度来评定。3.对仪器的测量不确定度的有关信息可在检定/校准证书、仪器说明书中给出。

14.[测量仪器的]示值

indication[ofameasuringinstrument]

测量仪器所给出的量值。注：①由显示器读出的值可称为直接示值，将它乘以仪器常数即为示值。②这个量值可以是被测量的值、测量信号的(输出)值或用于计算被测量之值的其他量的值。③对于实物量具，示值就是它所标出的值。⑴.测量仪器的[示值]误差

errorofindication0fameasuringinstrument

测量仪器示值与对应输入量的真值之差。

测量的示值误差=测量结果示值-被测量真值示值修正值=一(测量的示值误差)

被测量真值=测量结果示值+修正值

注：①由于真值不能确定，实用上使用约定真值；②此概念主要用于与参考标准相比较的仪器；

●.在描述显示式仪器类测量仪器的示值特性时，最常用到的两个名词是“示值误差”和“最大允许误差”，应注意其区别。前者是针对个别仪器而言的，后者是针对同一型号的批量生产的仪器。一般来说，两台相同型号仪器的最大允许误差是相同的,但其示值误差却有可能不同。

●示值误差是客观存在的，可以通过对测量仪器进行校准/检定，来确定它的示值误差。示值误差本身存在不确定性，因而任何测量列的示值的误差也存在不确定性。●最大允许误差(mpe)是人为规定的。它是产品技术规范/规程等对同一型号测量仪器产品所规定的允许误差的极限(±△),是规定的示值误差的允许范围。生产厂在某种仪器出厂检验时，凡误差不超过其产品技术规范（说明书）中规定的最大允许误差(mpe)

的产品，均可出厂。

●一般仪器说明书或样本中说的accuracy实际上就是指最大允许误差，它可以用绝对误差、相对误差、引用误差、分贝误差的允许范围等形式来表示。

部分说明书可能按该仪器的量程标称值(额定值)给出其最大允许误差mpe。

mpe=±a=±(kF×量程标称值+kR×示值读数)mpe的绝对值称作最大允许误差的模。

如某款数字电压表:

▼量程标称值为10V,测量示值读数为0.5V,

▼最大允许误差的模

2×10-6×(量程)+14×10-6×(读数)

则‖测量误差‖≤10×2×10-6+0.5×14×10-6=27μV

表示此数字电压表在量程为10V读数为0.5V时,其可能的测量误差均匀分布在半宽为27μV的范围内〔-27μV～+27μV〕。⑵.测量仪器测量结果示值误差的修正

修正：对估计的系统误差的补偿。

①第一种修正方式

TV(Qˊ)

=q+η

TV(Qˊ)-

被测量约定量值；

q

-

未修正的测量结果示值；

η

-

修正值；示值修正值η

=-（测量的示值误差）在测量模型中，η与测量结果是相加的，(η)补偿的不确定度依赖于测量仪器示值的校准，或根据实践经验或有关资料估计。

②第二种修正方式

TV(Qˊ)

=q×δ

TV(Qˊ)-

被测量约定量值；

q

-

未修正的测量结果示值；

δ

-

修正因子；

修正因子：为补偿系统误差而与未修正的测量结果相乘的数字因子。

δ

=TV(Qˊ)÷q≈TV(Qˊ)÷q平均

在测量模型中，δ与测量结果示值是相乘的，(δ)补偿的不确定度为：⑶.（测量仪器的）引用误差

测量仪器的示值误差除以仪器的特定值（一般称为引用值，如量程或标称范围的上限）。引用误差=示值误差÷引用值

如:0.1%FS,读作满度误差为千分之一。15.测量重复性measurementrepeatability

简称重复性（repeatability）

在一组重复性测量条件下的测量精密度。16.重复性测量条件

measurementrepeatabilityconditionof

measurement

简称重复性条件（repeatabilitycondition）。指相同测量程序、相同操作者、相同测量系统、相同操作条件和相同地点，并在短时间内对同一或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。注：在化学中，术语“序列内精密度测量条件”有时用于指“重复性测量条件”。17.测量复现性

measurementreproducibility

简称复现性reproducibility

在复现性测量条件下的测量精密度。18.复现性测量条件

measurementreproducibilityconditionof

measurement

简称复现性条件reproducibilitycondition不同地点、不同操作者、不同测量系统，对同一或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。注：①不同的测量系统可采用不同的测量程序。②在给出复现性时应说明改变和未改变的条件及实际改变到什么程度。19.期间精密度测量条件

intermediate

precision

condition

of

measurement

除了相同测量程序、相同地点，以及在一个较长时间内对同一或相类似的被测对象重复测量的一组测量条件外，还可包括涉及改变的其他条件。注：①改变可包括新的校准、新的标准器、操作者和测量系统。②对条件的说明应包括改变和未改变的条件及实际改变到什么程度。

③在化学中，术语“序列间精密度测量条件”有时用于指“期间精密度测量条件”。

20.偏差

deviation

一个值减去其参考量值。注:这里的值或一个值指的测量得到的值,而参考值是指设定值、应有值或标称值。21.相对误差

relativeerror

测量误差除以被测量的真值。注：由于真值不能确定，实际上用的是约定真值。五、随机变量及其慨率分布1.随机事件

随机事件是不确定性事件。在大量重复观测条件下,随机事件发生与否是有规律可循的。2.随机变量

在一定条件下，如果一个变量取某值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的变量称作随机变量。常规测量的结果和测量的误差都是随机变量。■.概率概率是用以度量随机事件出现的可能性大小的数值，其值域为〔0，1〕。必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0。■.概率分布随机变量X取值小于预先指定的实数x的概率与x的关系，称作随机变量X的概率分布。

⑴.概率密度表示测量结果的值与该值落在某一区间的概率之间的对应关系。通常用概率密度函数PDF：的形式给出。⑵.概率密度函数（PDF）的定义为：即概率密度函数是当时，测量值落在区间中的概率与之比的极限。

概率分布F(x)示意图F(x)

1F(x2)=P2(X＜x2)

xk=

F-1(Pk)F(x1)=P1(X＜x1)0ax1x2bX重复测量结果的PDF示意图第i次测量值概率测量值0

⑶.概率密度函数和概率分布函数的关系PDF和概率分布的关系示意F(x)1

f

(x)

=

d

F

(x)

/

dx

=△P/△x

△P

0

x0-

△xx0x

概率分布和PDF函数的关系示意

f

x1x2P(

X<x1)

P(

X>x2)

p2

=

f（x2）

p1

=

f（x1）概率密度f(x)+∞-∞

3.随机变量统计规律的完全表达在规定条件下重复测量，重复测量次数足够多，可以用随机变量概率分布函数F

(x)：P

(

X<

x

)随机变量概率密度函数

PDF：f

(x)来完全表述。对于一个随机变量（如测量结果等）■给定它的F(x)，就可以知道：

--该随机变量的取值范围（xmin，xmax）；

--该随机变量小于给定值x0

的概率，及其依随x0的递增，在0～1范围内的分布式样和形态。■给定它的f(x)，就可以知道：

--该随机变量的取值范围（xmin，xmax）；

--该随机变量的取值落在给定值x0附近小区间内的概率，及其依随x0的递增，在pmin～pmax

范围内的分布式样和形态。4.正态分布的随机变量⑴.若随机变量X的概率密度函数PDF为：

则称随机变量X服从正态分布。⑵.当重复测量的测量结果是受大量、微小、独立因素影响的连续型随机变量时,其概率分布可近似为正态分布正态分布随机变量的概率密度函数示意图

f（μ）

f

x1x2

p2

=

f（x2）

p1

=

f（x1）均值μ概率密度f(x)+00-00概率密度函数PDF：f(x)

=

dF

/

dx概率分布函数F(x)

=

P(

X<x

)⑶.正态分布概率分布曲线的特点

在以随机变量取值为横轴,其出现概率为纵轴的直角坐标系中,正态分布概率分布曲线具有：单峰性,即曲线在随机变量数学期望处具有极大值；对称性,即曲线有一对称轴,轴左右两侧的曲线是对称的；有一水平渐近线，即曲线两头将无限接近横轴；在对称左右两侧的曲线上离对称轴等距处,各有一个拐点。此距离等于随机变量方差的正平方根(标准差)。正态分布的概率分布曲线总体均值μ68.27%95.45%99.73%⑷.标准正态分布将服从正态分布的随机变量Y作标准归一化处理后得到的新变量X

，将服从标准正态分布，记作：

概率密度函数PDF：φ(x)0.00.099750.19950.29930.399-2-1012

标准正态分布N(0,1)

图中纵轴为标准正态分布的概率密度函数值

,横轴为变量x取值标准正态分布的概率分布Φ(x)示意图

5.分布如果随机变量X服从标准正态分布，

则X的函数的概率分布即为分布，记作：0.00.050.100.1501020304050卡方分布

χ2

的PDF图中纵轴为χ2分布的概率密度函数值f(y),

横轴为变量x2

取值N=5N=10N=20N=306.t

分布/Student分布

如Y

和X为两个相互独立的随机变量，其中Y服从标准正态分布，

X

服从分布，则Y和X的函数T，服从自由度为n的t

分布，记作：

其中,

t分布是期望值为零的对称分布，当n无限增大时，t

分布趋向于标准正态分布。0.00.10.20.30.4-4-2024Student学生分布t(n)的PDFN=100N=10

图中纵轴为t

分布的概率密度函数值f(x),

横轴为变量x

取值7.随机变量的其他常用概率分布⑴.随机变量的均匀(矩形)分布示意

E(X)=0，V(X)=a×3-1/2

1/2a均值μ概率密度f(x)+00-00

-a+a例:□数据修约截尾引入的舍入不确定性误差□数字式电子计量仪器因量化(A/D)引入的不确定性误差□被测物或测量部件出现摩擦引入的不确定性误差□仪器度盘或齿轮回差引入的不确定性误差□平衡指示器调零不准引入的不确定性误差□数字式电子计量仪器数字分辨率引入的不确定性误差(±1差);□其它显示器分辨率引入的不确定性误差□李萨育图形不稳定引入的不确定性误差⑵.随机变量的梯形分布示意

E(η)=0，V(η)=﹙a2+b2﹚1/2×3-1/2

hU95h10概率密度f(η)+00-00-a+a-b+b⑵.随机变量的梯形分布示意

hU95

0概率密度f(η)+00-00-a+a-b+b⑶.随机变量的三角分布示意

E(η)=μ，V(η)=a×6-1/2

1/a均值μ概率密度f(η)+00-00μ-aμ+a⑷.随机变量的反正弦分布示意

E(η)=μ，V(η)=a×2-1/2均值μ概率密度f(η)μ+aμ-a⑸.随机变量的投影分布示意测量时，常需将仪器和被测件处于完全平行或垂直的理想状态，但由于安装调整的影响，实际位置和理想位置总会有差异，给测量结果带来随机偏差δ，它是由实际状态的投影与原状态不一致造成的，故称为

投影偏差：δ=1-cosβ

，其分布称作投影分布。其中β是一小角，β～U〔-A，+A〕。投影分布

E〔δ〕=A2/6≈Δ/3，

V〔δ〕≈A4/45-A6/315+O(A5)，σ≈3Δ/10。

E(η)=μ，V(η)=a×2-1/20f(δ

)δ投影

偏差δ

的实例■长度测量。用激光或标准尺沿某物径向测其长度l，由于β存在，实际测得为lˊ，其偏差l

δ=lˊ-l=-l×(

1-cosβ

)。

β

lˊ

δ■园的直径测量。测量线与园心有距离，使得实测的直径dˊ与该园的直径d在园周上有交角β，则

δ=dˊ-

d=-d×(

1-cosβ

)■测力机压载力测量。测力机施荷方向与垂直方向有偏角β存在，造成施荷实际力值为F=P×cosβ，与测力机理想力值P间有相对偏差：δ=(F-P)/P=-(1-cosβ)%。

β

引起δ

的不确定性。例:□当为常数,

则服从反正弦分布;□度盘偏心引入的测角度的不确定性误差;□正弦(余弦)振动引入的测位移的不确定性误差;□高频信号因失配引入的不确定性的功率测量误差8.随机变量的数字表征

从概率论和数理统计原理讲，知道了一个随机变量的概率分布函数或PDF，就可以完整地确定它的全部的可能取值(取值范围)以及每一种取值的数值大小和发生的概率。但在实际测量问题中，由于求分布函数的解析式并不容易，往往只需知道该随机变量的一些特征量，如平均值、测量标准差即可。这些特征量主要是数学期望和方差。⑴.数学期望表征随机变量概率分布中心位置的特征量，数学期望是随机变量的统计平均值。★连续型随机变量X的期望一般用μ

表示：

测量值的期望是对被测量进行无穷多次测量所得的测量结果值的算术平均值的极限。在数理统计中把期望值看成为总体的平均值。

数学期望表征测量结果分布中心的位置⑵.方差描述随机变量总体的分散性或离散性的特征量。它是随机变量的每一个可能的取值对其数学期望的偏差的平方的数学期望，它描述了随机变量X

对数学期望的分散程度。★方差是无穷多次测量的测得值与期望之差平方的算术平均值的极限，用σ2

表示。

其中，μ是测量值的数学期望。方差也称为散度，表示测得值相对其期望的分散程度的大小。★标准偏差（简称标准差）：方差的正平方根，用

σ表示。标准差表征测量结果分散的程度Fμ,σ

(x)

σ

小表明测量结果的取值比较集中，σ大表明测量结果的取值比较分散，所以更常用标准差σ

表示测量结果分散的程度。

⑶.算术平均值和实验标准偏差实际测量不可能测量无穷多次，期望和方差都是理想概念，在有限多次测量情况下，可用算术平均值和实验标准偏差来作期望和方差的无偏估计。

★正态随机变量数学期望的无偏估计值,为该随机变量一系列观测值的算术平均值。

★正态随机变量方差的无偏估计值,为该随机变量一系列观测值的实验标准偏差的平方。

在相同条件下，对被测量进行有限次独立重复测量，各次测量值为xi，测量次数为n，则实验标准偏差可以按下列方法估算(贝塞尔公式)：

★即使在同一条件下，对同一量进行多组测量，每组的平均值都会不相同。因而，平均值本身也是随机量。算术平均值的实验标准偏差为：

通常，表征(单次测量的)结果的重复性。而用来评价(进行n次测量的)测量结果平均值的重复性。测量结果概率分布的表示方法

重复测量的测量结果的概率分布:

重复测量的测量结果平均值的概率分布:9.【中心极限定理】

设X1，

X2，…Xn为n个互相独立的随机变量序列，服从同一分布，即具有相同的数学期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=

σ2＞0(

i=1，2，…n

)。则对于任意一个实数x

(-∞≤x≤+∞)，下列表达式恒成立：

即当n充分大，各变量平均值的归一化标称(标准)变量近似服从标准正态分布：或等效地，

随机变量序列之和近似服从正态分布：

随机变量序列之算术平均值近似服从正态分布：当序列n

=1，即为随机变量序列X近似服从正态分布。⑵.中心极限定理在测量实践中的应用

在测量实践中，有许多测量结果(随机量)是在大量的相互独立的随机因素的综合影响下形成的，但其中的每一个别因素在总的影响中所起的作用又都是微小的。在这种背景下，研究受到多个微小因素影响的随机变量的统计规律，具有明显的意义。

中心极限定理的直观理解：大量的、相互独立的、均匀小的随机变量之和及其均值，都具有近似的正态分布，而不管这些变量原来的分布如何以及是否有相同的分布。

正态分布最接近现实中存在的大多数随机变量的分布状况，是数理统计中的最基本最重要的分布形式，对这种分布也己经有了比较深入的研究,存在着大量成果可资利用。

重复测量结果的分布示意总体均值μ第i次测量值测量值分布样本均值真值样本均值分布概率密度测量值0六、测量结果的质量评价

对同一个或同类被测量的测量结果的基本要求是：

准确、可靠；

可以互相比较。评价方式应一致，易于理解并可以实际操作。1.

测量结果准确度描述

测量的正确度(Accuracyofmeasurement):

测量结果接近被测量真值的程度。

无穷多次重复测量所得量值的平均值与一个参考量值间的一致程度。

测量的精密度(Precisionofmeasurement):

测量结果的分散的程度。在规定条件下，对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度。2.

测量误差

errorofmeasurement

简称误差测得的量值减去参考量值。注:①由于真值不能确定，实际上用的是参考量值。②当有必要与相对误差相区别时，此术语有时称为测量的绝对误差。3.

随机误差和系统误差测量的误差

=测量结果-被测量参考量值

=(测量结果-测量结果的总体均值)+(测量结果的总体均值-被测量参考量值)=误差分量1(随机误差)

+

误差分量2(系统误差)重复测量误差的分布示意

总体均值μ测量值系统误差随机误差抽样分布样本均值真值当测量次数足够多(样本足够大),

总体均值≈样本均值测量值系统误差随机误差殘差抽样分布样本均值真值⑴.系统测量误差

systematic

measurement

error在重复性测量中保持不变或按可预见方式变化的测量误差的分量。注：①系统测量误差的参考量值是真值，或是测量不确定度可忽略不计的测量标准的测得值，或是约定量值。②系统测量误差及其来源可以是已知或未知的。对于已知的系统测量误差可以采用修正补尝。③系统测量误差等于测量误差减去随机测量误差。●系统误差的参考量值是真值时，系统误差是一个概念性的术语。

当用测量不确定度可忽略不计的测量标准的标准值，或给定的约定量值作为参考量值时，可得到系统误差的估计值。●由系统误差估计值可以求得修正值或修正因子，可对测得值进行修正补偿。但由于参考量值是有不确定度的，因此，由系统误差估计值得到的修正值也是有不确定度的。

●系统误差的来源可以是已知的或未知的。对已知的来源，如果可能，还可以从测量方法上采取措施予以减小或消除系统误差。例如在用等臂天平称重时，可用交换法或替代法消除天平两臂不等引入的系统误差。

JJF1059-1998：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。注：①如真值一样，系统误差及其原因不能完全获知。②对测量仪器而言，其示值的系统误差称偏移(bias)。★系统误差大致来源于影响量，它对测量结果的影响是系统性的，必然要发生的。⑵.随机测量误差randommeasurement

error

在重复性测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量。注:①随机测量误差的参考量值是对同一被测量由无穷多次重复测量得到的平均值。等于误差减去系统误差。②一组重复测量的随机测量误差形成一个分布，该分布可用期望和方差描述，其期望通常可假设为零。

JJF1059-1998：测量结果与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。注:

①随机误差等于误差减去系统误差。②因为测量只能进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的统计估计值。★随机误差大致来源于影响量的变化，这种变化在时空上是不可预知的，它会引起被测量重复观测值的随机变化。

●随机误差是在重复测量中按不可预见的方式变化的测量误差的分量，它们是由影响量的随机时空变化所引起的，并导致重复测量中数据的分散性。测得值的重复性就是由于所有影响测得值的影响量不能完全保持恒定而引起的。●现在，一般不用测量误差、随机误差这样的术语描述测量结果的质量；获得系统误差估计值的目的通常是为了得到修正值。

4.测量误差的来源

从测量的角度看，测量误差可能来自于以下若干方面：①对被测量的定义不完整或不完善；②实现被测量定义的方法不理想；③取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表所定义的被测量；

④对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量或控制不完善；⑤对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移)；⑥测量仪器的分辨力或鉴别力不够；⑦赋予计量标准的值和标准物质的值不准确；⑧在数据处理计算中，引用的常数或其他参量的值不准确；数据修约、截尾引入误差；⑨测量方法和测量程序的近似性和假定性；⑩在表面上完全相同的条件下，被测量再重复观测值的变化等。此外，被观测对象本身量值的不稳定(变动性)也会造成测量数据的变动，它不是严格意义上的测量误差，但却是观测实践中常遇到的问题。

这些因素可能单独地或组合起作用。最终造成多次重复测量结果相对于被测量真值的偏离和分散，这就是测量误差。传统上认为测量误差由系统因素引起的系统误差和偶然因素引起的随机误差组合而成。5.系统因素的影响：◆带来可识别的系统性偏离

被测量的定义不完整；

测量方法和测量程序的近似性和假定性造成的确知偏离；

计量标准给出的校准值；

标准物质给出的校准值；

其它确知的影响量引入的确知影响，等。

◆造成不能识别的系统性偏离和分散

真值的不可确定；

被测量定义的不完善；

计量标准或标准物质给出的校准值的不确定性(量值传递的上级给出的偏差的不确定性)；

有限次测量结果的均值相对于理想均值的不确定性；

测量仪器的分辨力或鉴别力不够；

数字式测量仪器的量化误差；

影响量监测和控制的不确定性，等。6.偶然因素的影响

造成随机性的偏离和分散。

影响量的偶然变化；

测量仪器测量示值的分散性；

数据修约引入误差，等。

测量结果的可识别的偏移是可以修正的，测量结果的正确度在很