高中数学 基本不等式 新人教A必修5

3.4基本不等式（一）.

欣赏体会丰富自我2002年国际数学家大会会标这是在北京召开的第２４届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计。颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。.国际数学家大会国际数学家大会（简称ICM）是国际数学界四年一度的大集会.首次会议于1897年在瑞士苏黎世举行.每次国际数学家大会的开幕式上，由国际数学联合会领导人宣布该届菲尔兹奖获奖者名单，颁发金质奖章和奖金，并由他人分别在大会上报告获奖者的工作。

欣赏体会丰富自我.

数学家的最高荣誉──菲尔兹奖奖章正面是阿基米德头像,并用拉丁文写有：“超越人类极限，做宇宙主人”的格言奖章的背面用拉丁文写着“全世界的数学家们：为知识作出新的贡献而自豪”

欣赏体会丰富自我.从1983年召开的国际数学家大会开始，同时颁发奖励信息科学方面的奈望林纳奖。

1998年在德国柏林举行的第23届国际数学家大会上，国际数学家联合会决定设置高斯奖这一奖项。

欣赏体会丰富自我.高斯奖奖章

欣赏体会丰富自我.陈省身奖将于2010年在印度举行的27届国际数学家大会上首次颁发。“陈省身奖”是国际数学联盟第一个以华人命名的数学大奖。

欣赏体会丰富自我.

数学是思维的体操

abRt△的面积和是S’=＿＿如图,正方形ABCD的面积为S=________，赵爽弦图易知，s≥s’,即等号何时成立？.ADBCEFGHba一般地，对于任意实数a、b，有当且仅当a=b时，等号成立。ACBE(FGH)abD会得到什么？

数学是思维的体操

.当且仅当a=b时，等号成立。基本不等式：注意：两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同.几何平均数算术平均数

数学是思维的体操

.ABCDE如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则CD=＿＿,半径为＿＿你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?

数学是思维的体操

.剖析公式应用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.⑴a、b是两个正数.⑵当且仅当a=b时“＝”号成立’2。正用、逆用，注意成立的条件3。变形用1.基本不等式可以叙述为:

深入探究揭示本质.例1、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

学以致用.1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则

ab≤

2.两个

正数的积为

定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥，

等号当且仅当a＝b时成立.

反思探究例1

勤于总结敢于创新15等号当且仅当a＝b时成立.

13.例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

学以致用.

巩固练习

跳起来摘下丰收果x＞0,当x取何值时，的值最小？最小值是多少？已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？.

小结评价

你会了吗？1。本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。

巅峰回眸豁然开朗2。注意公式的正用、逆用、变形使用。3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。4。我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。.3.4基本不等式（二）.例1.(1)已知并指出等号成立的条件.(2)已知与2的大小关系,并说明理由.(3)已知能得到什么结论?请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系

学以致用.练习2：若，则（）（1）（2）（3）B练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式其中成立的是

等号能成立的是

。（1）（2）（3）(4)

学以致用.应用二：解决最大（小）值问题

例2、已知都是正数，求证（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误小结：利用求最值时要注意：

学以致用.2、已知则xy的最大值是

。1、当x>0时，的最小值为

，此时x=

。21

3、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、D

学以致用.4、在下列函数中，最小值为2的是（）

A、B、C、D、C

学以致用.例3、求函数的最小值构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数的最小值

学以致用.例4、

已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值利用二次函数求某一区间的最值分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、挖掘隐含条件即x=时ymax=∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜则1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

当且仅当3x=1-3x

可用均值不等式法构造和为定值，利用基本不等式求最值.变式一：已知：0＜x，求函数y=x（1-3x）的最大值解：∵0＜x≤∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

如此解答行吗？上题中只将条件改为0<x<1/8,即:

学以致用.(4)

学以致用.错题纠正：例5、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解:即的最小值为过程中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：

学以致用.已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值解:当且仅当即:时取“=”号即此时正确解答是:

学以致用.)(.34,0,0,0,0.2)(),(1.12222224442cbaabccacbbacbaacadbcbdbcaddcbabayxRyxybxaba++³++³++³+++>>>>+³+Î=++证明：求证：已知求证：，是正数，且、已知应用三利用基本不等式证明

学以致用.1、设且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。

作业：（写出过程）3、若，则函数的最小值是____。2、求函数