第4章-向量组的线性相关性

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第四章向量组的线性相关性§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间2§4.1向量组及其线性组合三维空间的向量:有向线段。建立空间直角坐标系后，它由一点P或一个三元数组(x,y,z)唯一确定。

我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。3

在建立空间直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的加法与数乘就特别方便。

由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把n元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。4定义n个数组成的有序数组称为一个n维行向量或n

维列向量,其中称为该行(列)向量的第i个分量.行向量与列向量统称为向量.

分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量,n

维实(复)向量的全体记为.以后如无特殊说明,向量均指实向量.

约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.

向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.或5

由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组.

如:m×n的矩阵A全体列向量是含n

个m维列向量的向量组,简称A的列组;全体行向量是含m个n维的行向量组,简称A的行组.

再如:解的全体是一个含无穷多个n维列向量的向量组.定义6观察如图三维空间中的向量,必有不可能7对于向量组,表达式称为向量组A的一个线性组合.又如果是向量组A的一个线性组合,即则称向量可由向量组A线性表示.定义8(1)向量可由向量组线性表示存在数使上面方程组有解.即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果……(按定义)(转换为方程组)(用矩阵的秩)9(2)如果向量组中的每个向量都可由向量组线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示.有解(改写为矩阵)(转换为矩阵方程)(用矩阵的秩)一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系!10(3)如果向量组与向量组可以相互表示,则称这两个向量组等价.向量组A与向量组B等价(1)向量组的等价关系是不是等价关系?(用矩阵的秩)(2),A的行组与B

的行组等价吗?关于线性表示的三种情况关键是学会转换11例1解记

问为何值时,不能由A线性表示;能由A唯一表示;能由A有无穷多种表示,并求所有表示方法.设向量组A:向量只需讨论解的情况.这就是P76例12.结论是时,方程组无解,不能由A表示.时,方程组有唯一解,可由A唯一表示.12时,方程组有无穷多解,可由A无穷多种表示.通解为所有表示方法:其中k为任意实数.即13例2(P87例3)

设n维向量组构成的矩阵为

,证明n阶单位矩阵E的列组可由向量组A线性表示的的充要条件是

(即A是行满矩阵).证上述问题等价地问有没有解.该题已经作为例题讲过了,这就是P81的第19题.14，例3向量组A与向量组B等价吗?解法一又易知,故等价.15解法二最简阶形一样(不计零行),故等价.16例4(P108习题5)已知证明(1)能线性表示;(2)不能由线性表示.证如果则与条件矛盾.(2)要证(1)要证

第四章向量组的线性相关性§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间18§4.2向量组的线性相关性看看三维空间中的向量(如图)设可表为,说明这三个向量任何一个都不能由其它两个向量线性表示,说明它们是异面的.这三个向量在一个平面内(共面).19

我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.定义向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关;否则,如果任一向量都不由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立).设向量组如果其中一个

该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导.如何改成数学表达式?20等价定义如果存在不全为零的数使得则称该向量组线性相关.否则,如果设便能推出则称该向量组线性无关.按后者不妨设则符合前面定义.反之,按前者不妨设又符合后者定义.等价吗?21存在不全为零的数使即有非零解.与以前类似，还是转换！向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)上面方程组有非零解.(用矩阵的秩)22(P88例5)问向量组和的线性相关性?的线性相关.的线性无关.例123t

取何值时,下列向量组线性相关?解记当t=5时,上面向量组线性相关.例224设线性无关,问满足什么时,线性相关.向量组:

分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,首先要把它改写成矩阵乘积的形式.则例325设(要讨论上面方程组何时有非零解)由于故26上面方程组有非零解当时,线性相关.27另证:由于是列满秩矩阵,故线性相关上面秩<3殊途同归28

证明向量组线性无关.证利用条件设法推出即可.设(1)

(1)式左乘得(1)式成为(2)(2)式左乘同理推出例429(参见P90定理5)(1)“部分相关,则整体相关.反之…”观察知相关,从而相关.设要证相关.使用方便的一些推论30(2)“个数大于维数必相关”A的列组是4个3维向量,必相关.设要证A的列组线性相关.31(3)

无关,

相关则可由A

唯一表示.这由有唯一解.又说明:如果一个向量可用无关组表示,则表法必然是唯一的.为以后引用方便,给它起个名子叫唯一表示定理.32写成矩阵乘积:从而(4)向量组B可由向量组A表示,则(后者的A,B是矩阵)存在矩阵C使得B=AC为以后引用方便,给它起个名子叫表示不等式.33(5)如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关.(Steinitz定理)则必相关如果可由表示,又m>n,则B

必相关.34(6)“短的无关,则长的也无关”.反之…是无关的.也是无关的.35(P109习题16,P110习题17)(题目看书)(16)(17)如果无关,则对任一n维向量必相关.从而,可由线性表示(且表法唯一).反之,单位坐标向量可由表示,由(16)题知它是线性无关的.例6(同P87例3)36重新证P108习题5(以前已作为例题讲过)见P90例7(看书)例7

第四章向量组的线性相关性§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间38§4.3

向量组的秩

对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量),如何把握向量之间的线性关系(即哪些向量可由另外一些向量线性表示?)

希望:在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量,其余的向量都可由这些向量线性表示.这样的部分组要满足什么条件？39(1)线性无关,

(2)A中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关.定义1如果在向量组A中找到r个向量满足则称向量组A0是向量组A的一个最大无关组.(P91定义5)(2)A中任一向量都可由A0表示.(P92等价定义)定义2(1)线性无关,

如果在向量组A中找到r个向量满足则称向量组A0是向量组A的一个最大无关组.40定义

向量组A的最大无关组所含向量的个数r(显然是唯一的)称为向量组A

的秩.仍记为r(A).只含零向量的向量组无最大无关组,规定其秩为0.41回答:

(1)向量组的最大无关组唯一吗?

(2)如果向量组的秩为r,则其任一

r

个线性无关的向量都是其最大无关组吗?(3)向量组与其任一最大无关组等价吗?(4)向量组的任意两个最大无关组等价吗?(5)等价向量组的秩相等吗?42例1求向量组的一个最大无关组和该向量组的秩.

同理,等也是最大无关组.在求解过程中考虑:向量组的秩与它构成矩阵的秩有何关系?易求得说明A中有一个2阶子式不为零.如取前两列前两行:那么,从而线性无关.再看A的任意三列,因为所以任意三列都是线性相关的.根据定义就是一个最大无关组43(P91定理6)三秩相等定理44例2求向量组的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出.接例1,已求得一个最大无关组为要求用表出,这相当于要解方程组解45你能将求最大无关组和把其余向量用该最大无关组表出一步完成吗?类似可求用表出.解46例3(P94例11)求向量一个最无关组,并把其余向量用该最大无关组表出.矩阵的秩=线性无关吗?是最大无关组吗?4748再深入:则与同解即与同解说明:矩阵的初等行变换不改变列之间的线性关系.比如(移项便知)相关(无关)相关(无关)前面的做法,也可依此理论为依据(本质一样).49右边的最大无关组左边的最大无关组50

为什么以前我们把矩阵与向量组以及它们的秩混用同一符号,有了三秩相等定理就能理解了.

但是,如果向量组是无穷向量组符号就不能混用了.有限向量组中的有关结论都可推广到无穷向量组.这部分内容请同学们自学.见P93定理3’和P94例题10.说明:

第四章向量组的线性相关性§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间52§4.4

线性方程组解的结构本节主要讨论(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)

如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?53首先回答第一问题(P96性质1和性质2)记Ax=0的解集为(1)

N(A)对线性运算封闭.证54证(2)假设是N(A)的一个最大无关组,则(取任意实数)即Ax=0的通解为记设,由于是N(A)的最大无关组,有常数使得从而,设即由(1)x

是解,从而55通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.再讨论第(2)和第(3)个问题56

可知道矩阵A的秩r，又说明原方程组只有r个独立的方程且B的前r行对应的方程组是与原方程同解的“最简”方程组.第一步:对系数矩阵A

初等行变换化最简阶梯形B最简阶梯形说明了什么？第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?n–r(未知数的个数减独立方程的个数)57第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式是解吗?线性无关吗?任一解都可由表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数=?n–r(自由变量的个数)第四步:写出基础解系58再来分析一下基础解系的由来:第二步的同解方程组为第三步的通解为就是取代入同解方程组(1)中求得然后再拼成的解向量.类似的……59这就启发我们,由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).只要令为三个线性无关的向量.代入同解方程组(1)中求得然后再拼成解向量.必然是线性无关的,从而也是基础解系.由此得到下面的解法二.60第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基础解系:第四步:写出通解61齐次方程组解的结构定理(P98定理7)齐次方程组的基础解系所含向量个数为设一个基础解系为则通解为62例2设,是的两个不同的解向量,k

取任意实数,则Ax=0的通解是63例3(P101例13)设,证明证记则由说明都是的解因此移项64例4(P101例15)证明设,首先证明利用这一结论注:第二个结论决不是同理可证!证65例5(P101习题27)设A为n

阶方阵,证明(1)(2)(3)证66例6(P110习题24)求一个齐次方程组,使它的基础解系为记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知的A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.

解得基础解系设所求的齐次方程组为,则取即可.解67下面讨论:非齐次方程组解的结构以下总假设有解,而其对应的齐次方程组的基础解系为这里68性质(P102性质3,性质4)(1)

设都是(1)的解,则是(2)的解.(2)

设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解x是(2)的解,从而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:69非齐次方程组解的结构定理设是(1)的任一解,则(1)的通解为70例7即得方程组的一个解(P102例16)解71在对应的齐次方程中取得齐次方程组的基础解系于是所有通解72设是非齐次Ax=b

的解,则是Ax=0的解是Ax=b的解例873例9设是非齐次Ax=b

的两个不同的解其对应的齐次方程组的基础解系,则Ax=b

的通解是(多选)74例10(P111习题29)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知是它的三个解向量,且求该方程组的通解.解取,则它就是解,从而也是基础解系.基础解系所含向量个数=4–3=1故非齐次方程组的通解为

第四章向量组的线性相关性§4.4线性方程组解的结构§4.3向量组的秩§4.2向量组的线性相关性§4.1向量组及其线性组合§4.5向量空间76§4.5

向量空间集合对于加法及乘数两种运算封闭指

设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．定义

维向量的全体是一个向量空间,记作