2021-2022年高中数学第四章圆的方程3.12空间直角坐标系5作业含解析新人教版必修2202202261124

PAGEPAGE7空间直角坐标系、空间两点间的距离公式基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是()A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)[答案]A[解析]空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．2．在空间直角坐标系中，点M(3,0,2)位于()A．y轴上 B．x轴上C．xOz平面内 D．yOz平面内[答案]C[解析]由x＝3，y＝0，z＝2可知点M位于xOz平面内．3．在空间直角坐标系中，点P(2,3，－5)到原点的距离是()A．6 B．10C．eq\r(38) D．eq\r(34)[答案]C[解析]由两点间距离公式得eq\r(2－02＋3－02＋－5－02)＝eq\r(38).4．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为()A．(3,0,0) B．(0,3,0)C．(0,0,3) D．(0,0，－3)[答案]C[解析]设P(0,0，z)，则有eq\r(12＋－22＋z－12)＝eq\r(22＋22＋z－22)，解得z＝3.5．点P(－1,2,3)关于xOz平面对称的点的坐标是()A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)[答案]B6．已知点A(－3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是()A．(eq\f(7,2)，1，－2) B．(eq\f(1,2)，2,3)C．(－12,3,5) D．(eq\f(1,3)，eq\f(4,3)，2)[答案]B二、填空题7．如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则[答案](1，eq\f(3,2)，1)[解析]由长方体性质可知，M为OB1中点，而B1(2,3,2)，故M(1，eq\f(3,2)，1)．8．在△ABC中，已知A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C(eq\f(1,2)，eq\f(5,2)，3)，则AB边上的中线CD的长是________.[答案]eq\f(5,2)[解析]AB中点D坐标为(eq\f(1,2)，0,3)，|CD|＝eq\r(\f(1,2)－\f(1,2)2＋\f(5,2)－02＋3－32)＝eq\f(5,2).三、解答题9．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，若点P(x,0，z)满足PA⊥AB，PA⊥AC，试求点P的坐标．[解析]因为PA⊥AB，所以△PAB是直角三角形，所以|PB|2＝|PA|2＋|AB|2，即(x＋1)2＋(z＋1)2＝x2＋1＋z2＋1＋1＋1，整理得x＋z＝1 ①同理，由PA⊥AC得|PC|2＝|PA|2＋|AC|2，即(x－2)2＋1＋(z－1)2＝x2＋1＋z2＋4＋1，整理得2x＋z＝0 ②由①②解得x＝－1，z＝2，所以点P的坐标为P(－1,0,2)．10．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．[分析](1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标；(2)代入空间中两点间距离公式即可．[解析](1)因为D是原点，则D(0,0,0)．由AB＝BC＝2，D1D＝3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．∵N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．(2)由两点间距离公式，得|MD|＝eq\r(1－02＋2－02＋3－02)＝eq\r(14)，|MN|＝eq\r(1－22＋2－12＋3－02)＝eq\r(11).能力提升一、选择题1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面的上投影点的坐标分别为()A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0)C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)[答案]B[解析]点A(－1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)．点A(－1,2,1)在xOy平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．2．正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2，－1)、B(3，－2,3)，则正方体的体积是()A．16 B．192C．64 D．48[答案]C[解析]|AB|＝eq\r(3＋12＋－2－22＋3＋12)＝4eq\r(3)，∴正方体的棱长为eq\f(4\r(3),\r(3))＝4.∴正方体的体积为43＝64.3．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，－2,11)、B(4,2,3)、C(6，－1,4)，则△ABC是()A．直角三角形 B．钝角三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形[答案]A[解析]由两点间距离公式得|AB|＝eq\r(89)，|AC|＝eq\r(75)，|BC|＝eq\r(14)，满足|AB|2＝|AC|2＋|BC|2.4．△ABC的顶点坐标是A(3,1,1)，B(－5,2,1)，C(－eq\f(8,3)，2,3)，则它在yOz平面上射影图形的面积是()A．4 B．3C．2 D．1[答案]D[解析]△ABC的顶点在yOz平面上的射影点的坐标分别为A′(0,1,1)，B′(0,2,1)，C′(0,2,3)，△ABC在yOz平面上的射影是一个直角三角形A′B′C′，容易求出它的面积为1.二、填空题5．已知P(eq\f(3,2)，eq\f(5,2)，z)到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝________.[答案]0或－4[解析]利用中点坐标公式可得AB中点C(eq\f(1,2)，eq\f(9,2)，－2)，因为|PC|＝3，所以eq\r(\f(3,2)－\f(1,2)2＋\f(5,2)－\f(9,2)2＋[z－－2]2)＝3，解得z＝0或z＝－4.6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M[答案]eq\f(2\r(39),3)[解析]|AM|＝eq\r(3－02＋－1－12＋2－22)＝eq\r(13)，∴对角线|AC1|＝2eq\r(13)，设棱长x，则3x2＝(2eq\r(13))2，∴x＝eq\f(2\r(39),3).三、解答题7.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过点B1作B1E⊥BD1于点E，求A、E[解析]根据题意，可得A(a,0,0)、B(a，a,0)、D1(0,0，a)、B1(a，a，a)．过点E作EF⊥BD于F，如图所示，则在Rt△BB1D1中，|BB1|＝a，|BD1|＝eq\r(3)a，|B1D1|＝eq\r(2)a，所以|B1E|＝eq\f(a·\r(2)a,\r(3)a)＝eq\f(\r(6)a,3)，所以Rt△BEB1中，|BE|＝eq\f(\r(3),3)a由Rt△BEF∽Rt△BD1D，得|BF|＝eq\f(\r(2),3)a，|EF|＝eq\f(a,3)，所以点F的坐标为(eq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，0)，则点E的坐标为(eq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，eq\f(a,3))．由两点间的距离公式，得|AE|＝eq\r(a－\f(2a,3)2＋0－\f(2a,3)2＋0－\f(a,3)2)＝eq\f(\r(6),3)a，所以A、E两点之间的距离是eq\f(\r(6),3)a.8．如下图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在面对角线A1B上，点Q在面对角线B1(1)当点P是面对角线A1B的中点，点Q的面对角线B1C上运动时，求|PQ(2)当点Q是面对角线B1C的中点，点P在面对角线A1B上运动时，求|PQ(3)当点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C上运动时，求|PQ[分析]建立直角坐标系后，表示出相关点的坐标.(1)确定点P坐标，根据条件设出点Q坐标，表示出|PQ|，用二次函数求最值．(2)确定点Q坐标，根据条件设出点P坐标，表示出|PQ|，用二次函数求最值．(3)设出P，Q两点坐标，表示出|PQ|，利用配方后非零数的和平方最小的条件确定P，Q的坐标．[解析]由已知，以顶点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如右图所示的空间直线坐标系Dxyz.∵正方体ABCD－A1B1C1D1∴可得点A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)．(1)∵点P是面对角线A1B的中点，∴由射影的概念可得P(1，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．又点Q在面对角线B1C∴可设点Q(b,1，b)，b∈[0,1]．由两点间的距离公式得|PQ|＝eq\r(1－b2＋\f(1,2)－12＋\f(1,2)－b2)＝eq\r(2b2－3b＋\f(3,2))＝eq\r(2b－\f(3,4)2＋\f(3,8)).∴当b＝eq\f(3,4)时，|PQ|取得最小值eq\f(\r(6),4)，此时点Q(eq\f(3,4)，1，eq\f(3,4))．(2)∵点Q是面对角线B1C∴由射影的概念可得Q(eq\f(1,2)，1，eq\f(1,2))．又点P在面对角线A1B上运动，∴可设点P(1，a,1－a)，a∈[0,1]．由两点间的距离公式得|PQ|＝eq\r(1－\f(1,2)2＋a－12＋1－a－\f(1,2)2)＝eq\r(\f(1,2)2＋a－12＋\f(1,2)－a2)＝eq\r(2a2－3a＋\f(3,2))＝eq\r(2a－\f(3,4)2＋\f(3,8)).∴当a＝eq\f(3,4)时，|PQ|取得最小值eq\f(\r(6),4)，此时点P(1，eq\f(3,4)，eq\f(1,4))．(3)∵点P在面对角线A1B上运动，点Q在面对角线B1C∴可设点P(1，a,1－a)，Q(b,1，b)，a，b∈[0,1]．由两点间的距离公式得|PQ|＝eq\r(1－b2＋a－1